W algebrze istnieje kilka zasad, które mogą być wykorzystane do dalszego rozumienia równań. Są one nazywane regułami algebry. Chociaż zasady te mogą wydawać się bezsensowne lub oczywiste, to jednak mądrze jest zrozumieć, że właściwości te nie utrzymują się we wszystkich gałęziach matematyki. Dlatego warto wiedzieć, jak te reguły aksjomatyczne są deklarowane, zanim przyjmie się je za oczywiste. Zanim przejdziemy do zasad, zastanówmy się nad dwoma definicjami, które zostaną podane.
- Naprzeciwko - przeciwieństwem "stylu a"
jest "styl -a
". - Wzajemnie - wzajemnym stylem a jest 1 a stylem a.
.
Zasady
Commutative property of addition
Commutative" oznacza, że funkcja ma ten sam wynik, jeśli liczby są zamienione. Innymi słowy, kolejność terminów w równaniu nie ma znaczenia. Gdy operatorem dwóch terminów jest dodanie, zastosowanie ma "komutatywna właściwość dodawania". W terminologii algebraicznej daje to a + b = b + a {\i1}styla a+b=b+a}
.
Należy pamiętać, że nie dotyczy to odejmowania! (tj. a - b ≠ b - a {\i1}spis stylistyczny a-b \i0}neq b-a}
)
Commutative property of multiplication
Jeżeli operatorem dwóch terminów jest mnożenie, stosuje się "komutatywną właściwość mnożenia". W kategoriach algebraicznych, daje to a ⋅ b = b ⋅ a {\i1}displaystyle a\i0}cdot b=b\i0cdot a}
.
Należy pamiętać, że nie dotyczy to podziału! (tzn. a b ≠ b a {\i1} {\i1}displaystyle {\i1}frac {a}{\i1}{\i1} {\i1}neq {\i1}frac {\i1}{a}} 
kiedy a ≠ b {\i1}splaistyle a\i0}neq b} 
)
Własność uzupełniająca
Określenie "powiązany" odnosi się do grupowania liczb. Asocjacyjna właściwość dodawania oznacza, że przy dodawaniu trzech lub więcej terminów, nie ma znaczenia, w jaki sposób terminy te są grupowane. Algebraicznie, daje to a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\i1}wyraźny styl a+(b+c)=(a+b)+c}
. Należy pamiętać, że nie ma to znaczenia dla odejmowania, np. 1 = 0 - ( 0 - 1 ) ≠ ( 0 - 0 ) - 1 = - 1 {\i1} {\i1} styropian 1=0-(0-1)\neq (0-0)-1=-1}
(patrz właściwość dystrybucyjna).
Właściwość kojarzona z rozmnażaniem
Asocjacyjna właściwość mnożenia oznacza, że przy mnożeniu trzech lub więcej terminów, nie ma znaczenia, w jaki sposób terminy te są zgrupowane. Algebraicznie, daje to ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c {\i0}wyraźny styl a \i0}cdot (b\i0cdot c)=(a\i0cdot b)\i0cdot c) 
. Należy pamiętać, że nie dotyczy to podziału, np. 2 = 1 / ( 1 / 2 ) ≠ ( 1 / 1 ) / 2 = 1 / 2 {\i1} {\i1}styl 2=1/(1/2)\i0}neq (1/1)/2=1/2}
.
Własność dystrybucyjna
Właściwość rozdzielająca mówi, że mnożenie liczby przez inny termin może być rozdzielone. Na przykład: a ⋅ ( b + c ) = a b + a c {\i1}displaystyle a\i0}cdot (b+c)=ab+ac}
. (Nie należy tego mylić z właściwościami kojarzącymi! Na przykład a ⋅ ( b + c ) ≠ ( a ⋅ b ) + c {\i1}displaystyle a \i0}cdot (b+c)\i0}neq (a\i0cdot b)+c}
.) .
Dodatkowa właściwość tożsamościowa
Tożsamość" odnosi się do własności liczby, która jest jej równa. Innymi słowy, istnieje operacja dwóch liczb, tak że równa się ona zmiennej sumy. Właściwość "Identyfikacja dodatku" określa, że suma dowolnej liczby, a 0 jest tą liczbą: a + 0 = a {\i1}styla a+0=a}
. To samo odnosi się do odejmowania: a - 0 = a {\i1}stylu a-0=a}
.
Tożsamość multiplikatywna własność
Mnożnikowa właściwość identyfikacyjna stwierdza, że iloczyn dowolnej liczby i 1 jest tą liczbą: a ⋅ 1 = a {\i1}styl a {\i0}cdot 1=a}
. To samo odnosi się do podziału: a 1 = a {\i1}stylu {\i1}frac {a}{\i1}=a}
.
Dodatkowa właściwość odwrotna
Odwrotna właściwość dodatku jest nieco odwrotna od właściwości identyczności dodatku. Gdy operacja jest sumą liczby i jej przeciwieństwem, a jest równa 0, to operacja ta jest ważną operacją algebraiczną. Algebraicznie, stwierdza ona, co następuje: a - a = 0 {\i0} 
. Dodatkową odwrotnością 1 jest (-1).
Odwrotna właściwość mnożnikowa
Odwrotna właściwość mnożnikowa oznacza, że gdy operacja jest iloczynem liczby i jej wzajemności, a równa jest 1, operacja ta jest ważną operacją algebraiczną. Algebraicznie, stwierdza ona, co następuje: a = 1 {\i1}
. Odwrotność mnożnikowa 2 wynosi 1/2.
