Liczba

Metody numeracji

Numery dla ludzi

Istnieją różne sposoby nadawania liczbom symboli. Metody te nazywane są systemami numerycznymi. Najczęstszym systemem numerycznym, którego ludzie używają, jest podstawowy system numeryczny. System liczb dziesiętnych bazowych nazywany jest również systemem liczb dziesiętnych. System liczb dziesiętnych bazowych jest powszechny, ponieważ ludzie mają dziesięć palców u rąk i nóg. Istnieje 10 różnych symboli {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9} używanych w systemie dziesiętnych liczb bazowych. Te dziesięć symboli nazywa się cyframi.

Symbol liczby składa się z tych dziesięciu cyfr. Pozycja tych cyfr pokazuje, jak duża jest liczba. Na przykład, liczba 23 w systemie liczb dziesiętnych naprawdę oznacza (2 razy 10) plus 3, a 101 oznacza 1 x sto (=100) plus 0 x 10 (=0) plus 1 x 1 (=1).

Numery maszyn

Inny system liczbowy jest bardziej powszechny w przypadku maszyn. System numeracji maszyn nazywany jest binarnym systemem numeracji. Binarny system numerów jest również nazywany systemem dwóch podstawowych numerów. Istnieją dwa różne symbole (0 i 1) używane w systemie numerów bazowych. Te dwa symbole są nazywane bitami.

Symbol dla numeru binarnego składa się z tych dwóch bitowych symboli. Pozycja symboli bitowych pokazuje, jak duża jest liczba. Na przykład liczba 10 w systemie liczb binarnych oznacza w rzeczywistości 1 x 2 plus 0, a liczba 101 oznacza 1 x 4 (=4) plus 0 x 2 (=0) plus 1 x 1 (=1). Liczba binarna 10 jest taka sama jak liczba dziesiętna 2. Liczba binarna 101 jest taka sama jak liczba dziesiętna 5.

Nazwy numerów

Język angielski ma specjalne nazwy dla niektórych liczb w systemie dziesiętnym, które są "mocami dziesięciu". Wszystkie te potęgi dziesięciu liczb w systemie liczb dziesiętnych używają tylko symbolu "1" i symbolu "0". Na przykład, dziesięć dziesiątek to to samo co dziesięć razy dziesięć, albo sto. W symbolach jest to "10 × 10 = 100". Ponadto, dziesięć setek to dziesięć razy sto, czyli tysiąc. W symbolach jest to "10 × 100 = 10 × 10 × 10 = 1000". Niektóre inne potęgi dziesięciu liczb również mają specjalne nazwy:

• 1 - jeden
• 10 - dziesięć
• 100 - sto
• 1000 - jeden tysiąc
• 1.000.000 - jeden milion

W przypadku większych numerów istnieją dwa różne sposoby nazywania ich w języku angielskim. W "długiej skali" nowa nazwa jest nadawana za każdym razem, gdy numer jest milion razy większy od ostatnio nazwanego numeru. Nazywa się go również "British Standard". Skala ta była kiedyś powszechna w Wielkiej Brytanii, ale obecnie nie jest często stosowana w krajach anglojęzycznych. Jest ona nadal używana w niektórych innych krajach europejskich. Inną skalą jest "skala krótka", w ramach której nowa nazwa jest nadawana za każdym razem, gdy liczba jest tysiąc razy większa od ostatniej wymienionej liczby. Skala ta jest o wiele bardziej powszechna w większości krajów anglojęzycznych w dzisiejszych czasach.

• 1 000 000 000 000 - jeden miliard (skala krótka), jeden milliard (skala długa)
• 1 000 000 000 000 - jeden bilion (skala krótka), jeden miliard (skala długa)
• 1,000,000,000,000 - jeden kwadrylion (skala krótka), jeden bilard (skala długa)

Rodzaje liczb

Liczby naturalne

Liczby naturalne to liczby, których normalnie używamy do liczenia, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 itd. Niektórzy mówią, że 0 jest też liczbą naturalną.

Inna nazwa dla tych liczb to liczby dodatnie. Liczby te są czasami zapisywane jako +1, aby pokazać, że różnią się od liczb ujemnych. Ale nie wszystkie liczby dodatnie są liczbami naturalnymi (na przykład 1 2 {\i1}frac {\i1}{\i1}jest dodatnia, ale nie naturalna).

Jeśli 0 jest nazywane liczbą naturalną, to liczby naturalne są takie same jak liczby całkowite. Jeżeli 0 nie jest nazywane liczbą naturalną, to liczby naturalne są takie same, jak liczby całkowite. Jeżeli więc słowa "liczby naturalne" nie są użyte, to będzie mniej zamieszania, czy zero jest wliczone czy nie. Ale niestety, niektórzy mówią, że zero nie jest liczbą całkowitą, a niektórzy mówią, że liczby całkowite mogą być ujemne. "Pozytywne liczby całkowite" i "nieujemne liczby całkowite" są innym sposobem włączenia zera lub wyłączenia zera, ale tylko wtedy, gdy ludzie znają te słowa.

Liczby ujemne

Liczby ujemne to liczby mniejsze od zera.

Jednym ze sposobów na myślenie o liczbach ujemnych jest użycie linii numerycznej. Na tej linii zero dzwonimy do jednego punktu. Następnie każdą pozycję na tej linii oznaczymy (zapiszemy nazwę) według tego, jak daleko na prawo od punktu zerowego to jest, na przykład punkt pierwszy jest jeden centymetr po prawej stronie, punkt drugi jest dwa centymetry po prawej stronie.

Teraz pomyśl o punkcie, który znajduje się jeden centymetr na lewo od punktu zerowego. Nie możemy nazwać tego punktu pierwszym, ponieważ jest już punkt nazywany pierwszym. Dlatego też nazywamy ten punkt minus 1 (-1) (ponieważ jest on oddalony o jeden centymetr, ale w przeciwnym kierunku).

Poniżej znajduje się rysunek linii numerycznej.

Wszystkie normalne operacje matematyczne mogą być wykonywane z liczbami ujemnymi:

Jeśli ludzie dodają liczbę ujemną do innej, jest to równoznaczne z odebraniem liczby dodatniej z tymi samymi cyframi. Na przykład, 5 + (-3) jest takie samo jak 5 - 3 i jest równe 2.

Zabranie ujemnej liczby od innej jest równoznaczne z dodaniem liczby dodatniej z tymi samymi cyframi. Na przykład, 5 - (-3) jest tym samym, co 5 + 3 i wynosi 8.

Jeśli pomnożą razem dwie liczby ujemne, otrzymają liczbę dodatnią. Na przykład, -5 razy -3 to 15.

Jeśli pomnożą liczbę ujemną przez liczbę dodatnią, lub pomnożą liczbę dodatnią przez liczbę ujemną, uzyskają wynik ujemny. Na przykład, 5 razy -3 to -15.

Ponieważ znalezienie pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej jest niemożliwe, ponieważ liczba ujemna razy ujemna równa się possitve. Symbolizujemy pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej jako i.

Integratorzy

Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne, wszystkie ich przeciwieństwa, oraz liczba zero. Liczby dziesiętne i ułamki nie są liczbami całkowitymi.

Racjonalne liczby

Liczby racjonalne to liczby, które można zapisać jako ułamki. Oznacza to, że można je zapisać jako a podzielone przez b, gdzie liczby a i b są liczbami całkowitymi, a b nie jest równe 0.

Niektóre liczby racjonalne, takie jak 1/10, potrzebują skończonej liczby cyfr po przecinku, aby zapisać je w formie dziesiętnej. Liczbę jedną dziesiątą zapisuje się w postaci dziesiętnej jako 0.1. Liczby zapisane w postaci skończonej liczby dziesiętnej są racjonalne. Niektóre liczby racjonalne, takie jak 1/11, potrzebują nieskończonej liczby cyfr po przecinku, aby zapisać je w formie dziesiętnej. Cyfry następujące po kropce dziesiętnej mają powtarzalny wzór. Liczba jedenasta jest zapisywana w postaci dziesiętnej jako 0.0909090909 ... .

Procent można by nazwać liczbą racjonalną, ponieważ procent taki jak 7% można zapisać jako ułamek 7/100. Można go również zapisać jako ułamek dziesiętny 0,07. Czasami stosunek jest uważany za liczbę racjonalną.

Irracjonalne liczby

Liczby nieracjonalne to liczby, których nie można zapisać jako ułamek, ale które nie mają części urojonych (wyjaśnione później).

Irracjonalne liczby często występują w geometrii. Na przykład, jeśli mamy kwadrat o boku 1 metra, to odległość między przeciwległymi narożnikami jest pierwiastkiem kwadratowym z dwóch, który wynosi 1,414213 ... . Jest to liczba irracjonalna. Matematycy udowodnili, że pierwiastek kwadratowy z każdej liczby naturalnej jest albo liczbą całkowitą, albo nieracjonalną.

Jednym ze znanych irracjonalnych numerów jest pi. Jest to obwód (odległość dookoła) okręgu podzielony przez jego średnicę (odległość w poprzek). Liczba ta jest taka sama dla każdego okręgu. Liczba pi wynosi około 3,1415926535 ... .

Nieracjonalna liczba nie może być w pełni zapisana w formie dziesiętnej. Miałaby ona nieskończoną liczbę cyfr po przecinku. W przeciwieństwie do 0,333333 ..., te cyfry nie powtarzałyby się wiecznie.

Rzeczywiste liczby

Numery rzeczywiste to nazwa wszystkich zestawów numerów wymienionych powyżej:

• Liczby racjonalne, w tym liczby całkowite
• Nieracjonalne liczby

To są wszystkie liczby, które nie zawierają wyimaginowanych numerów.

Wyimaginowane numery

Wyimaginowane liczby są tworzone przez liczby rzeczywiste pomnożone przez liczbę i. Ta liczba jest pierwiastkiem kwadratowym z minus jeden (-1).

W liczbach rzeczywistych nie ma liczby, która po wyrównaniu do kwadratu czyni liczbę -1. Dlatego matematycy wymyślili liczbę. Nazwali tę liczbę i, albo jednostkę urojoną.

Wyimaginowane numery działają na tych samych zasadach, co numery rzeczywiste:

• Sumę dwóch wyimaginowanych liczb można znaleźć wyciągając (uwzględniając) i. Na przykład, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Różnica dwóch wyimaginowanych liczb jest podobna. Na przykład, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Przy mnożeniu dwóch liczb wyimaginowanych należy pamiętać, że i × i (i2) wynosi -1. Na przykład, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Numery wyimaginowane były nazywane wyimaginowanymi, ponieważ kiedy zostały po raz pierwszy znalezione, wielu matematyków nie sądziło, że istnieją. ^[] Osobą, która odkryła wyimaginowane liczby, był Gerolamo Cardano w latach 1500. Pierwszym, który użył słów liczby urojonej był René Descartes. Pierwszymi osobami, które użyły tych liczb, byli Leonard Euler i CarlFriedrich Gauss. Obaj żyli w XVIII wieku.

Złożone liczby

Liczby złożone to liczby, które składają się z dwóch części: części rzeczywistej i części wyimaginowanej. Każdy napisany powyżej typ liczby jest również liczbą złożoną.

Liczby złożone są bardziej ogólną formą liczb. Numery złożone mogą być rysowane na płaszczyźnie numerycznej. Składa się ona z rzeczywistej linii numerycznej i wyimaginowanej linii numerycznej.

            3i|_                  2i|_ . 2+2i | | | i|_ | | | | | | | -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 | -i|_ .                                                                                                     ________________________________________                                                                     3-i | | .-2-2i -2i|_ | | -3i|_ | .                                                                                                 

Cała normalna matematyka może być wykonana przy użyciu złożonych liczb:

• Aby dodać dwie złożone liczby, należy dodać osobno część rzeczywistą i urojoną. Na przykład, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Aby odjąć jedną złożoną liczbę od drugiej, należy odjąć oddzielnie część rzeczywistą i wyimaginowaną. Na przykład, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Pomnożenie dwóch złożonych liczb jest skomplikowane. Najłatwiej jest opisać to w sposób ogólny, dwoma złożonymi liczbami a + bi i c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\i1}displaystylu (a+b\i0}mathrm {i} )\i0} =a\i0}times c+a\i0}times dmathrm {i} +{i} \Czasami c+b {i}mathrm {i} \{i} =ac+admathrm {i} =ac+admathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\i0} }

Na przykład (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Liczby transcendentalne

Liczba rzeczywista lub złożona jest nazywana liczbą transcendentną, jeśli nie może być uzyskana w wyniku algebraicznego równania ze współczynnikami całkowitymi.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\i1}styl a_{n}x^{n}+\i1}dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Udowodnienie, że pewna liczba jest transcendentalna może być niezwykle trudne. Każda liczba transcendentalna jest również liczbą nieracjonalną. Pierwszymi osobami, które zauważyły, że istnieją liczby transcendentalne, byli Gottfried Wilhelm Leibniz i Leonhard Euler. Pierwszym, który faktycznie udowodnił istnienie transcendentalnych liczb, był Joseph Liouville. Zrobił to w 1844 roku.

Dobrze znane liczby transcendentalne:

• e
• π
• ea dla języka algebraicznego a ≠ 0
• 2 2 {\i1}Style 2^{\i0}sqrt {\i1}

√2 jest irracjonalne.