Prawdziwa liczba to liczba racjonalna lub nieracjonalna. Zwykle, gdy ludzie mówią "liczba", mają na myśli "liczbę rzeczywistą". Oficjalnym symbolem liczb rzeczywistych jest pogrubione R lub tablica pogrubiona R {\i0} {\displaystyle \mathbb {R} }.

Co oznacza "liczba rzeczywista" — intuicja i zapis

Prawdziwe (rzeczywiste) liczby można wyobrazić sobie jako punkty na nieskończenie długiej linijce, zwanej osiową liczbą. Na tej osi istnieje znak odpowiadający zeru, a po obu stronach zera rozciągają się liczby dodatnie (po prawej) i ujemne (po lewej). Liczby dodatnie są "większe od zera", liczby ujemne są "mniejsze od zera" i oznacza się je znakiem minus (-).

Każda liczba rzeczywista ma rozwinięcie dziesiętne (albo w dowolnej innej podstawie): rozwinięcie może być skończone (np. 0,5), okresowe (np. 1,333... = 4/3) lub nieskończone i nieokresowe (np. π, √2). Terminacja lub okresowość rozwinięcia dziesiętnego charakteryzuje liczby racjonalne; rozwinięcia nieskończone i nieokresowe odpowiadają liczbom nieracjonalnym.

Własności algebraiczne i porządkowe

Zbiór liczb rzeczywistych ma bogatą strukturę:

  • ciało: liczby rzeczywiste są ciałem — są zamknięte na dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (z wyjątkiem dzielenia przez zero). Oznacza to, że suma, różnica, iloczyn i iloraz dwóch liczb rzeczywistych (jeżeli dzielnik nie jest zerem) są ponownie liczbami rzeczywistymi;
  • porządek: istnieje naturalne uporządkowanie liczb rzeczywistych (relacja "≤"), zgodne z działaniami arytmetycznymi: dodanie tej samej liczby do obu stron nierówności zachowuje porządek, a mnożenie przez dodatnią liczbę także zachowuje porządek;
  • gęstość: liczby rzeczywiste są gęste — między dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi zawsze znajduje się inna liczba rzeczywista. Co więcej, między dowolnymi dwoma liczbami rzeczywistymi znajduje się zarówno liczba racjonalna, jak i nieracjonalna;
  • kompletność: najważniejsza cecha liczb rzeczywistych to własność kompletności (własność kresu górnego, tzw. „least upper bound property”). Oznacza ona, że każdy niepusty podzbiór liczb rzeczywistych, który jest ograniczony z góry, ma kres górny (supremum) będący liczbą rzeczywistą. Kompletność można formułować też przez własność zbieżności ciągów Cauchy’ego — każdy ciąg Cauchy’ego w R ma granicę w R.

Niepoliczalność i moc continuum

Prawdziwe liczby są niepoliczalne. Oznacza to, że nie istnieje bijekcja między zbiorem liczb naturalnych a zbiorem liczb rzeczywistych — nie da się „wypisać” wszystkich liczb rzeczywistych w postaci sekwencji. Argument słynny autorstwa Georga Cantora (tzw. dowód przekątniowy) wykazuje, że każda próba wypisania wszystkich rozwinięć dziesiętnych zostanie przez Cantora skontruowana liczba, która różni się od każdego elementu listy choćby jedną cyfrą, więc pozostaje poza listą.

Moc zbioru liczb rzeczywistych nazywa się continuum i oznacza się często symbolem c. Chociaż zarówno zbiór liczb całkowitych, jak i zbiór liczb rzeczywistych są nieskończone, zbiór rzeczywistych ma „większą” nieskończoność — jest nieprzeliczalny, podczas gdy całkowite są przeliczalne.

Przykłady liczb rzeczywistych i ich podzbiory

  • liczby całkowite (…,-2,-1,0,1,2,…) są podzbiorem liczb rzeczywistych;
  • liczby racjonalne (ilorazy liczb całkowitych) też leżą w R;
  • liczby nieracjonalne — np. √2, π, e — mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone i nieokresowe;
  • liczby złożone (kompleksowe) tworzą szerszy system liczbowy: istnieją liczby, które nie są rzeczywiste, lecz należą do liczb zespolonych — jak np. i = √(−1). Każda liczba rzeczywista jest także liczbą złożoną (kompleksową) o części urojonej równej zeru, ale nie każda liczba złożona jest rzeczywista — zob. liczby złożone.

Operacje i własności praktyczne

  • Zero jest elementem neutralnym dodawania: dodanie zera do dowolnej liczby rzeczywistej nie zmienia tej liczby.
  • Dodanie liczby dodatniej zwiększa wartość, dodanie liczby ujemnej zmniejsza wartość. Mnożenie przez liczbę dodatnią zachowuje znak, mnożenie przez liczbę ujemną zmienia znak (przykładowo: (-a)·b = -(a·b)).
  • Zamknięcie na działania oraz własność porządku i kompletności sprawiają, że rachunek i analiza funkcji (granice, ciągłość, pochodne, całki) opierają się często na własnościach liczb rzeczywistych.

Dodatkowe uwagi

Różne przydatne cechy R wynikają z jego struktury. Na przykład przedział domknięty [a,b] jest zwarty (Heine–Borela) — każda pokrywa otwartymi podzbiorami ma podpokrycie skończone — co jest kluczowe w analizie. Z drugiej strony, zbiór liczb wymiernych ma lukę: chociaż jest gęsty, nie jest kompletny — istnieją ciągi Cauchy’ego złożone z liczb wymiernych, które nie mają granicy wymiernej (np. ciąg przybliżeń √2).

Podsumowując: liczby rzeczywiste tworzą podstawowy i dobrze ustrukturyzowany system liczbowy używany w większości działów matematyki i zastosowań. Są one niepoliczalne, gęste, tworzą uporządkowane, kompletne ciało i obejmują mniej złożone systemy, takie jak liczby całkowite i racjonalne.