Liczby rzeczywiste — definicja, własności, niepoliczalność i przykłady

Poznaj definicję, własności, niepoliczalność i przykłady liczb rzeczywistych — intuicyjne wyjaśnienia, grafiki i praktyczne zadania dla uczniów i studentów.

Autor: Leandro Alegsa

21-01-2026 10:14

Prawdziwa liczba to liczba racjonalna lub nieracjonalna. Zwykle, gdy ludzie mówią "liczba", mają na myśli "liczbę rzeczywistą". Oficjalnym symbolem liczb rzeczywistych jest pogrubione R lub tablica pogrubiona R {\i0} $\mathbb {R}$ .

Co oznacza "liczba rzeczywista" — intuicja i zapis

Prawdziwe (rzeczywiste) liczby można wyobrazić sobie jako punkty na nieskończenie długiej linijce, zwanej osiową liczbą. Na tej osi istnieje znak odpowiadający zeru, a po obu stronach zera rozciągają się liczby dodatnie (po prawej) i ujemne (po lewej). Liczby dodatnie są "większe od zera", liczby ujemne są "mniejsze od zera" i oznacza się je znakiem minus (-).

Każda liczba rzeczywista ma rozwinięcie dziesiętne (albo w dowolnej innej podstawie): rozwinięcie może być skończone (np. 0,5), okresowe (np. 1,333... = 4/3) lub nieskończone i nieokresowe (np. π, √2). Terminacja lub okresowość rozwinięcia dziesiętnego charakteryzuje liczby racjonalne; rozwinięcia nieskończone i nieokresowe odpowiadają liczbom nieracjonalnym.

Własności algebraiczne i porządkowe

Zbiór liczb rzeczywistych ma bogatą strukturę:

ciało: liczby rzeczywiste są ciałem — są zamknięte na dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (z wyjątkiem dzielenia przez zero). Oznacza to, że suma, różnica, iloczyn i iloraz dwóch liczb rzeczywistych (jeżeli dzielnik nie jest zerem) są ponownie liczbami rzeczywistymi;
porządek: istnieje naturalne uporządkowanie liczb rzeczywistych (relacja "≤"), zgodne z działaniami arytmetycznymi: dodanie tej samej liczby do obu stron nierówności zachowuje porządek, a mnożenie przez dodatnią liczbę także zachowuje porządek;
gęstość: liczby rzeczywiste są gęste — między dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi zawsze znajduje się inna liczba rzeczywista. Co więcej, między dowolnymi dwoma liczbami rzeczywistymi znajduje się zarówno liczba racjonalna, jak i nieracjonalna;
kompletność: najważniejsza cecha liczb rzeczywistych to własność kompletności (własność kresu górnego, tzw. „least upper bound property”). Oznacza ona, że każdy niepusty podzbiór liczb rzeczywistych, który jest ograniczony z góry, ma kres górny (supremum) będący liczbą rzeczywistą. Kompletność można formułować też przez własność zbieżności ciągów Cauchy’ego — każdy ciąg Cauchy’ego w R ma granicę w R.

Niepoliczalność i moc continuum

Prawdziwe liczby są niepoliczalne. Oznacza to, że nie istnieje bijekcja między zbiorem liczb naturalnych a zbiorem liczb rzeczywistych — nie da się „wypisać” wszystkich liczb rzeczywistych w postaci sekwencji. Argument słynny autorstwa Georga Cantora (tzw. dowód przekątniowy) wykazuje, że każda próba wypisania wszystkich rozwinięć dziesiętnych zostanie przez Cantora skontruowana liczba, która różni się od każdego elementu listy choćby jedną cyfrą, więc pozostaje poza listą.

Moc zbioru liczb rzeczywistych nazywa się continuum i oznacza się często symbolem c. Chociaż zarówno zbiór liczb całkowitych, jak i zbiór liczb rzeczywistych są nieskończone, zbiór rzeczywistych ma „większą” nieskończoność — jest nieprzeliczalny, podczas gdy całkowite są przeliczalne.

Przykłady liczb rzeczywistych i ich podzbiory

liczby całkowite (…,-2,-1,0,1,2,…) są podzbiorem liczb rzeczywistych;
liczby racjonalne (ilorazy liczb całkowitych) też leżą w R;
liczby nieracjonalne — np. √2, π, e — mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone i nieokresowe;
liczby złożone (kompleksowe) tworzą szerszy system liczbowy: istnieją liczby, które nie są rzeczywiste, lecz należą do liczb zespolonych — jak np. i = √(−1). Każda liczba rzeczywista jest także liczbą złożoną (kompleksową) o części urojonej równej zeru, ale nie każda liczba złożona jest rzeczywista — zob. liczby złożone.

Operacje i własności praktyczne

Zero jest elementem neutralnym dodawania: dodanie zera do dowolnej liczby rzeczywistej nie zmienia tej liczby.
Dodanie liczby dodatniej zwiększa wartość, dodanie liczby ujemnej zmniejsza wartość. Mnożenie przez liczbę dodatnią zachowuje znak, mnożenie przez liczbę ujemną zmienia znak (przykładowo: (-a)·b = -(a·b)).
Zamknięcie na działania oraz własność porządku i kompletności sprawiają, że rachunek i analiza funkcji (granice, ciągłość, pochodne, całki) opierają się często na własnościach liczb rzeczywistych.

Dodatkowe uwagi

Różne przydatne cechy R wynikają z jego struktury. Na przykład przedział domknięty [a,b] jest zwarty (Heine–Borela) — każda pokrywa otwartymi podzbiorami ma podpokrycie skończone — co jest kluczowe w analizie. Z drugiej strony, zbiór liczb wymiernych ma lukę: chociaż jest gęsty, nie jest kompletny — istnieją ciągi Cauchy’ego złożone z liczb wymiernych, które nie mają granicy wymiernej (np. ciąg przybliżeń √2).

Podsumowując: liczby rzeczywiste tworzą podstawowy i dobrze ustrukturyzowany system liczbowy używany w większości działów matematyki i zastosowań. Są one niepoliczalne, gęste, tworzą uporządkowane, kompletne ciało i obejmują mniej złożone systemy, takie jak liczby całkowite i racjonalne.

Różne rodzaje liczb rzeczywistych

Istnieją różne rodzaje liczb rzeczywistych. Czasami nie mówi się o wszystkich prawdziwych liczbach na raz. Czasami mówi się tylko o specjalnych, mniejszych zestawach. Te zestawy mają specjalne nazwy. Są:

Naturalne liczby: To są liczby rzeczywiste, które nie mają wartości dziesiętnych i są większe od zera.
Całe numery: To są pozytywne liczby rzeczywiste, które nie mają liczb dziesiętnych, a także zera. Liczby naturalne są również liczbami całkowitymi.
Integratorzy: To są prawdziwe liczby, które nie mają liczb dziesiętnych. Są to zarówno liczby dodatnie jak i ujemne. Liczby całkowite są również liczbami całkowitymi.
Racjonalne liczby: Są to liczby rzeczywiste, które można zapisać jako ułamki liczb całkowitych. Liczby całkowite są również liczbami racjonalnymi.
Liczb transcendentalnych nie da się uzyskać poprzez rozwiązanie równania ze składowymi całkowitymi.
Irracjonalne liczby: To są prawdziwe liczby, których nie można zapisać jako ułamek liczb całkowitych. Liczby transcendentalne są również nieracjonalne.

Liczba 0 (zero) jest specjalna. Czasami jest brana pod uwagę jako część podzbioru, a innym razem nie jest. Jest to element tożsamości dla dodawania i odejmowania. Oznacza to, że dodawanie lub odejmowanie zera nie zmienia liczby początkowej. W przypadku mnożenia i dzielenia, elementem tożsamości jest 1.

Jedna prawdziwa liczba, która nie jest racjonalna, to 2. ${\sqrt {2}}$ . Ten numer jest nieracjonalny. Jeżeli kwadrat jest narysowany z bokami o długości jednej jednostki, długość linii między jego przeciwległymi narożnikami będzie wynosić 2 {\i0} {\i1}sqrt {\i1}} ${\sqrt {2}}$ .

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest liczba rzeczywista?

O: Liczba rzeczywista to każda liczba racjonalna lub irracjonalna, którą można wyrazić za pomocą rozwinięcia dziesiętnego. Jest to najczęstszy rodzaj liczby, o którym mówi się, gdy mówi się "liczba".

P: Jaki symbol reprezentuje liczby rzeczywiste?

P: Czym różnią się liczby dodatnie od ujemnych?

O: Liczby dodatnie są "większe od zera", natomiast liczby ujemne są "mniejsze od zera" i mają dołączony znak minus (-), aby można je było oznaczać inaczej niż liczby dodatnie.

P: Czy jest więcej liczb rzeczywistych niż całkowitych?

O: Tak, liczb rzeczywistych jest nieskończenie wiele, natomiast liczby całkowite są policzalne. Oznacza to, że mimo iż obu typów liczb jest nieskończenie wiele, to jednak liczb rzeczywistych jest więcej niż całkowitych.

P: Czy wszystkie liczby złożone są również liczbami rzeczywistymi?

O: Nie, każda liczba rzeczywista jest liczbą złożoną, ale nie każda liczba złożona jest liczbą rzeczywistą. Podobnie 3/7 jest liczbą racjonalną, ale nie całkowitą.

P: Czy można ułożyć wszystkie liczby rzeczywiste w ciąg?

O: Nie, ponieważ zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest niepoliczalny, co oznacza, że niezależnie od tego, jak długi będzie ciąg, zawsze pominie przynajmniej jedną z nich.

Przeszukaj encyklopedię