Liczby rzeczywiste

Prawdziwa liczba to liczba racjonalna lub nieracjonalna. Zwykle, gdy ludzie mówią "liczba", mają na myśli "liczbę rzeczywistą". Oficjalnym symbolem prawdziwych liczb jest pogrubione R lub tablica pogrubiona R {\i0} $\mathbb {R}$ .

Niektóre prawdziwe numery są nazywane pozytywnymi. Pozytywny numer jest "większy od zera". Prawdziwe liczby można uznać za nieskończenie długą linijkę. Istnieje znak dla zera i każdej innej liczby, w kolejności wielkości. W przeciwieństwie do linijki, są liczby poniżej zera. Są one nazywane ujemnymi liczbami rzeczywistymi. Liczby ujemne są "mniejsze od zera". Są one jak lustrzane odbicie liczb dodatnich, z tą różnicą, że są oznaczone znakami minusowymi (-), więc są oznaczone inaczej niż liczby dodatnie.

Jest nieskończenie wiele prawdziwych liczb. Nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej. Bez względu na to, ile jest liczb rzeczywistych, zawsze jest ich więcej, które trzeba policzyć. Między liczbami rzeczywistymi nie ma pustych miejsc. Oznacza to, że jeśli weźmiemy dwie różne liczby rzeczywiste, to zawsze znajdzie się między nimi trzecia liczba rzeczywista, niezależnie od tego, jak blisko siebie znajdują się dwie pierwsze liczby.

Jeżeli do innej liczby dodatniej zostanie dodana liczba dodatnia, to liczba ta staje się większa. Zero jest również liczbą rzeczywistą. Jeżeli do danej liczby dodane jest zero, to liczba ta nie ulega zmianie. Jeżeli do innej liczby dodano liczbę ujemną, to liczba ta staje się mniejsza.

Prawdziwe liczby są niepoliczalne. Oznacza to, że nie ma sposobu, aby umieścić wszystkie liczby rzeczywiste w sekwencji. Każdy ciąg liczb rzeczywistych pominie liczbę rzeczywistą, nawet jeśli ciąg jest nieskończony. To sprawia, że liczby rzeczywiste są wyjątkowe. Nawet jeśli istnieje nieskończona ilość liczb rzeczywistych i nieskończona ilość liczb całkowitych, możemy powiedzieć, że jest "więcej" liczb rzeczywistych niż liczb całkowitych, ponieważ liczby całkowite są policzalne, a liczby rzeczywiste są niepoliczalne.

Niektóre prostsze systemy liczbowe znajdują się wewnątrz prawdziwych liczb. Na przykład, liczby racjonalne i całkowite znajdują się w liczbach rzeczywistych. Istnieją również bardziej skomplikowane systemy liczb niż liczby rzeczywiste, takie jak liczby złożone. Każda liczba rzeczywista jest liczbą złożoną, ale nie każda liczba złożona jest liczbą rzeczywistą.

Różne rodzaje liczb rzeczywistych

Istnieją różne rodzaje liczb rzeczywistych. Czasami nie mówi się o wszystkich prawdziwych liczbach na raz. Czasami mówi się tylko o specjalnych, mniejszych zestawach. Te zestawy mają specjalne nazwy. Są:

Naturalne liczby: To są liczby rzeczywiste, które nie mają wartości dziesiętnych i są większe od zera.
Całe numery: To są pozytywne liczby rzeczywiste, które nie mają liczb dziesiętnych, a także zera. Liczby naturalne są również liczbami całkowitymi.
Integratorzy: To są prawdziwe liczby, które nie mają liczb dziesiętnych. Są to zarówno liczby dodatnie jak i ujemne. Liczby całkowite są również liczbami całkowitymi.
Racjonalne liczby: Są to liczby rzeczywiste, które można zapisać jako ułamki liczb całkowitych. Liczby całkowite są również liczbami racjonalnymi.
Liczb transcendentalnych nie da się uzyskać poprzez rozwiązanie równania ze składowymi całkowitymi.
Irracjonalne liczby: To są prawdziwe liczby, których nie można zapisać jako ułamek liczb całkowitych. Liczby transcendentalne są również nieracjonalne.

Liczba 0 (zero) jest specjalna. Czasami jest brana pod uwagę jako część podzbioru, a innym razem nie jest. Jest to element tożsamości dla dodawania i odejmowania. Oznacza to, że dodawanie lub odejmowanie zera nie zmienia liczby początkowej. W przypadku mnożenia i dzielenia, elementem tożsamości jest 1.

Jedna prawdziwa liczba, która nie jest racjonalna, to 2. ${\sqrt {2}}$ . Ten numer jest nieracjonalny. Jeżeli kwadrat jest narysowany z bokami o długości jednej jednostki, długość linii między jego przeciwległymi narożnikami będzie wynosić 2 {\i0} {\i1}sqrt {\i1}} ${\sqrt {2}}$ .

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest liczba rzeczywista?

O: Liczba rzeczywista to każda liczba racjonalna lub irracjonalna, którą można wyrazić za pomocą rozwinięcia dziesiętnego. Jest to najczęstszy rodzaj liczby, o którym mówi się, gdy mówi się "liczba".

P: Jaki symbol reprezentuje liczby rzeczywiste?

P: Czym różnią się liczby dodatnie od ujemnych?

O: Liczby dodatnie są "większe od zera", natomiast liczby ujemne są "mniejsze od zera" i mają dołączony znak minus (-), aby można je było oznaczać inaczej niż liczby dodatnie.

P: Czy jest więcej liczb rzeczywistych niż całkowitych?

O: Tak, liczb rzeczywistych jest nieskończenie wiele, natomiast liczby całkowite są policzalne. Oznacza to, że mimo iż obu typów liczb jest nieskończenie wiele, to jednak liczb rzeczywistych jest więcej niż całkowitych.

P: Czy wszystkie liczby złożone są również liczbami rzeczywistymi?

O: Nie, każda liczba rzeczywista jest liczbą złożoną, ale nie każda liczba złożona jest liczbą rzeczywistą. Podobnie 3/7 jest liczbą racjonalną, ale nie całkowitą.

P: Czy można ułożyć wszystkie liczby rzeczywiste w ciąg?

O: Nie, ponieważ zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest niepoliczalny, co oznacza, że niezależnie od tego, jak długi będzie ciąg, zawsze pominie przynajmniej jedną z nich.