Liczby zespolone

Złożona liczba jest liczbą, ale różni się od zwykłych liczb na wiele sposobów. Liczba złożona składa się z dwóch liczb połączonych razem. Pierwsza część jest liczbą rzeczywistą. Druga część liczby złożonej jest liczbą urojoną. Najważniejsza liczba urojona jest nazywana i {\i0} $i$ , zdefiniowana jako liczba, która będzie -1, gdy zostanie kwadratowana ("kwadratowana" oznacza "pomnożona przez siebie"): i 2 = i × i = - 1 {\i0}wyraźny styl i^{\i0}=i\i0}czasy i=-1\i0} } $i^{2}=i\times i=-1\$ . Wszystkie inne wyimaginowane liczby są i {\i0} $i$ pomnożone przez liczbę rzeczywistą, w ten sam sposób, w jaki wszystkie liczby rzeczywiste mogą być pomyślane jako 1 pomnożone przez inną liczbę. Funkcje arytmetyczne, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, mogą być używane w przypadku liczb złożonych. Podążają one również za właściwościami komutatywnymi, asocjacyjnymi i rozdzielczymi, tak samo jak liczby rzeczywiste.

Złożone liczby zostały odkryte podczas próby rozwiązania specjalnych równań, które mają w sobie wykładniki. Zaczęły one stwarzać prawdziwe problemy dla matematyków. Dla porównania, używając liczb ujemnych, można znaleźć x w równaniu a + x = b {\i1}wyraźny styl a+x=b} $a+x=b$ dla wszystkich wartości rzeczywistych a i b, ale jeśli dozwolone są tylko liczby dodatnie dla x, to czasami nie można znaleźć dodatniego x, jak w równaniu $3 + x = 1$ .

Z wykładem, jest trudność do pokonania. Nie istnieje żadna prawdziwa liczba, która daje -1, gdy jest kwadratowa. Innymi słowy, -1 (lub jakakolwiek inna ujemna liczba) nie ma prawdziwego pierwiastka kwadratowego. Na przykład, nie ma żadnej liczby rzeczywistej x {\i1}, która rozwiązuje ( x + 1 ) 2 = - 9 {\i1} {\i1} ^{\i1}=-9} $(x+1)^{2}=-9$ . Aby rozwiązać ten problem, matematycy wprowadzili symbol i i nazwali go wyimaginowaną liczbą. Jest to wyimaginowana liczba, która da -1, gdy zostanie wyrównana do kwadratu.

Pierwszymi matematykami, którzy o tym pomyśleli, byli prawdopodobnie Gerolamo Cardano i Raffaele Bombelli. Żyli oni w XVI wieku. Prawdopodobnie to Leonhard Euler wprowadził pismo i {y:i}displaystylemathrm. } $\mathrm {i}$ dla tego numeru.

Wszystkie złożone liczby mogą być zapisane jako a + b i {\i1}wyświetlacz a+bi} $a+bi$ (lub a + b ⋅ i {\i1}wyświetlacz a+b\i0}cdot i} $a+b\cdot i$ ), gdzie a jest nazywany rzeczywistą częścią numeru, a b jest nazywany częścią wyimaginowaną. Piszemy ℜ ( z ) {\i1} {\i1}Style Re (z)} $\Re (z)$ lub Re (z){\i0} {\i1}Style Re (z)} (z)} $\operatorname {Re} (z)$ dla rzeczywistej części złożonej liczby z {\i1} $z$ . Więc, jeżeli z = a + b i {\i1}{\i1}splaistyle z=a+bi} $z=a+bi$ , piszemy a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\i1}{\i1}splaistyle a=== Re (z){\i0} (z)} $a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)$ . Podobnie piszemy ℑ ( z ) {\i1} $\Im (z)$ {\i1}{\i1}lub Im ( z ) {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1} (z)} $\operatorname {Im} (z)$ dla wyimaginowanej części numeru złożonego z {\i1} $z$ ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\i0} {\i1}...{\i0} b= {\i1}Im (z)\i0} = nazwa operatora {\i0} (z)} $b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)$ , dla tego samego $z$ . Każda liczba rzeczywista jest również liczbą złożoną; jest to liczba złożona $z z$ z ℑ ( z ) = 0 {\i0} $\Im (z)=0$ .

Numer złożony może być również zapisany jako zamawiana para, $(a, b)$ . Zarówno a, jak i b są liczbami rzeczywistymi. Każda liczba rzeczywista może być po prostu zapisana jako + 0 ⋅ i {\i1}wyświetlacz a+0\cdot i}lub jako para $a+0\cdot i$ $(a, 0)$ .

Czasami, j $j$ {\i1}jest napisane zamiast i {\i0} $i$ {\i1}...{\i1} W elektrotechnice, i {y:i}wyrazy Styl $i$ i}oznaczają prąd elektryczny. Pisanie i {y:i}stystylu $i$ i}może powodować wiele problemów, ponieważ niektóre liczby w elektrotechnice to liczby złożone.

Zbiór wszystkich złożonych liczb jest zazwyczaj zapisany jako C {\i1}styk stylistyczny {\i0}mathbb {C} } $\mathbb {C}$ .

Operacje na złożonych liczbach

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, o ile dzielnik nie jest równy zero, oraz wykładanie (podnoszenie liczb do wykładników) są możliwe w przypadku liczb złożonych. Niektóre inne obliczenia są również możliwe w przypadku liczb złożonych.

Zasada dodawania i odejmowania liczb złożonych jest dość prosta:

Let z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\i1}displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} $z=(a+bi),w=(c+di)$ , następnie z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\i1}displaystylu z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} $z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ , i z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\i1}displaystylu z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} $z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$ .

Mnożenie jest trochę inne:

z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\i1}Displaystyle z\i0}cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } $z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

Kolejną godną uwagi operacją dla numerów złożonych jest koniugacja. Złożony koniugat z - {\i1}- {\i1}- ${\overline {z}}$ do z = a + b i {\i0}-{\i1}- $z=a+bi$ jest a - b i {\i1}-{\i1}-{\i1} $a-bi$ .

z z z - = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\i1}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} $z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}$ .

Możemy to wykorzystać do podziału:

bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i$

w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\i1}Displaystyle {\i1}{\i1}=w(\i1}{\i1}{\i1})=(c+di)\i0}cdot \i1}left(\i1}{\i1}{\i1}a^{\i0}+b^{\i0}}-{\i1}-{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}-left((cx+dy)+(dx-cy)i}right)\i0}. } ${\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).$

Inne formy opisu numerów złożonych

Złożone liczby mogą być pokazane na tak zwanej złożonej płaszczyźnie. Jeśli masz liczbę z = a + b i {\i1} {\i1}wyświetlacz z=a+bi} $z=a+bi$ , możesz przejść do punktu na osi rzeczywistej i b na osi wyobrażonej i narysować wektor z ( 0 , 0 ) {\i1}wyświetlacza (0,0)} $(0,0)$ do ( a , b ) {\i1}wyświetlacza (a,b)} $(a,b)$ . Długość tego wektora można obliczyć przy użyciu twierdzenia Pitagorejczyka i kąta pomiędzy dodatnią osią rzeczywistą a tym wektorem, idąc w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Długość wektora dla liczby z $z$ jest nazywana jego modułem (napisanym jako |z |z $|z|$ {\i1}), a kąt jest nazywany jego argumentem ( argumentu z {\i0}z {\i1}zarg z} $\arg z$ ).

Prowadzi to do trygonometrycznej formy opisywania liczb złożonych: przez definicje sinusoidy i cosinusoidy, dla wszystkich z {\i0}styl z} $z$ stoi, że

z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\i1}Displaystyle z=|z?{\i0}(\i1}cos \i1}arg z+i\i0}sin z.{\i0} } $z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z).$

Jest to ściśle związane z formułą De Moivre'a.

Istnieje nawet inna forma, zwana formąwykładniczą.

Liczba złożona może być przedstawiona wizualnie jako dwie liczby tworzące wektor na diagramie Arganda, reprezentujące płaszczyznę złożoną.

Wniosek

Po dodaniu liczb złożonych do matematyki, każdy wielomian o złożonych współczynnikach ma korzenie, które są liczbami złożonymi. Udane dodanie liczb złożonych do matematyki pomogło również otworzyć drogę do stworzenia innego rodzaju liczb, które mogłyby rozwiązać i pomóc wyjaśnić wiele różnych problemów, na przykład: liczby hiperzłożone, sedenion, liczby hiperrzeczywiste, liczby surrealne i wiele innych. Zobacz rodzaje liczb.

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest liczba złożona?

O: Liczba złożona to liczba składająca się z dwóch części, z których pierwsza jest liczbą rzeczywistą, a druga liczbą urojoną.

P: Jaka jest najważniejsza liczba urojona?

O: Najważniejszą liczbą urojoną jest i, którą definiuje się jako liczbę, która po podniesieniu do kwadratu będzie miała wartość -1.

P: Jak wykorzystuje się funkcje arytmetyczne w przypadku liczb złożonych?

O: Funkcje arytmetyczne, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, można stosować w przypadku liczb złożonych. Podobnie jak liczby rzeczywiste, mają one właściwości komutacyjne, asocjacyjne i rozdzielcze.

P: Jaki symbol reprezentuje zbiór liczb złożonych?

O: Zbiór liczb złożonych jest często przedstawiany za pomocą symbolu C.

P: Dlaczego odkryto liczby zespolone?

O: Liczby zespolone zostały odkryte podczas prób rozwiązywania specjalnych równań, w których występują wykładniki, ponieważ stanowiły one prawdziwe problemy dla matematyków.

P: Kto wprowadził zapis i dla tego typu liczb?

O: Prawdopodobnie Leonhard Euler wprowadził zapis i dla tego typu liczb.

P: Jak można zapisać liczbę złożoną jako parę uporządkowaną?

O: Liczbę złożoną można zapisać jako parę uporządkowaną (a, b), gdzie zarówno a, jak i b są liczbami rzeczywistymi.