Przejdź do treści
Strona główna

Liczby zespolone: definicja, własności, historia i zastosowania

Przegląd liczb zespolonych: definicja a+bi, działania, postać trygonometryczna i wykładnicza, interpretacja geometryczna, krótka historia oraz główne zastosowania w matematyce i technice.

Autor: Utworzono: Zaktualizowano:

Przegląd i podstawowa definicja

Liczby zespolone rozszerzają zbiór liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną oznaczaną zwykle literą i. Każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci a + b i, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi; a nazywamy częścią rzeczywistą, a b częścią urojoną liczby. W zapisie pary porządkowej odpowiada to postaci (a, b). W praktykach inżynierskich zamiast i używa się czasem symbolu j, aby uniknąć pomyłek z prądem elektrycznym.

{\displaystyle i}

Jednostka urojona spełnia definicję i^2 = -1, co oznacza, że nie istnieje żadna liczba rzeczywista, której kwadrat daje -1. Wprowadzenie i pozwoliło rozszerzyć zbiór rozwiązań wielu równań algebraicznych i uczynić rachunek bardziej spójnym. Każdą liczbę rzeczywistą można traktować jako liczbę zespoloną o części urojonej równej zero.

{\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ }

Galeria obrazów

3 Obrazy
Circle cos sin
en.wikipedia.org · Public domain

Działania i podstawowe własności algebraiczne

Działania na liczbach zespolonych definiuje się tak, by zgadzały się z intuicją arytmetyczną i by zachowywały własności pola. Dodawanie i odejmowanie wykonuje się składowo: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. Mnożenie określa wzór (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i oraz korzysta z faktu, że i^2=-1. Dzielenie realizuje się przez mnożenie przez sprzężenie: (a+bi)/(c+di)=((a+bi)(c-di))/(c^2+d^2).

{\displaystyle i}

Własności takie jak przemienność, łączność i rozdzielność zachodzą również w zbiorze liczb zespolonych, dzięki czemu tworzą one strukturę algebraiczną nazywaną ciałem. Dla dowolnej liczby zespolonej z=a+bi definiuje się sprzężenie ̅z=a-bi, moduł |z|= sqrt{a^2+b^2} oraz argument arg(z), określający kąt, jaki tworzy wektor reprezentujący z z osią rzeczywistą.

{\displaystyle a+x=b}

Postać trygonometryczna i wykładnicza

Liczby zespolone można również przedstawić geometrycznie w płaszczyźnie zespolonej (diagram Arganda) jako wektory o współrzędnych (a,b). Dzięki temu mnożenie liczb zespolonych odpowiada mnożeniu długości i dodawaniu kątów. Postać trygonometryczna ma postać r(cos θ + i sin θ), gdzie r=|z|, θ=arg(z). Eulerowska postać wykładnicza z użyciem stałej e jest niezwykle praktyczna: r e^{iθ} = r (cos θ + i sin θ).

x

Dzięki tej reprezentacji prościej wykonuje się potęgowanie i pierwiastkowanie: mnożenie dwóch liczb w postaci wykładniczej sprowadza się do mnożenia modułów i sumowania argumentów, a potęgowanie używa wzoru de Moivre'a.

{\displaystyle (x+1)^{2}=-9}

Krótka historia i rozwój pojęcia

Początki pracy z liczbami, które obecnie nazywamy zespolonymi, sięgają XVI wieku i były motywowane próbami rozwiązywania równań algebraicznych. Wśród pionierów wymienia się Gerolamo Cardana i Raffaele Bombellego, którzy jako pierwsi operowali formalnie na wyrażeniach zawierających pierwiastki z liczb ujemnych. Później, dzięki pracy matematyków takich jak Leonhard Euler i Carl Friedrich Gauss, pojęcie stało się bardziej ustrukturyzowane, wprowadzono powszechnie przyjętą notację i związek z geometrią płaszczyzny.

{\displaystyle \mathrm {i} }

Współczesne spojrzenie traktuje liczby zespolone jako punkt na płaszczyźnie lub jako element dwuwymiarowego wektorowego ciała, co dało podstawy do ich szerokiego zastosowania w analizie zespolonej i teorii funkcji analitycznych.

{\displaystyle a+bi}

Zastosowania i przykłady użycia

Liczby zespolone mają zastosowania w licznych dziedzinach: w teorii równań wielomianowych, w analizie funkcji zespolonych, w elektrotechnice i teorii obwodów, w teorii sygnałów i filtrów, w mechanice kwantowej oraz w analizie drgań i kontroli układów dynamicznych. W elektrotechnice stosuje się konwencję oznaczania jednostki urojonej jako j, aby nie mylić jej z oznaczeniem prądu elektrycznego.

{\displaystyle a+b\cdot i}

Przykład prosty: rozwiązanie równania x^2+1=0 prowadzi do x=±i. W zastosowaniach inżynierskich mnożenie sygnałów w formie zespolonej, opis obwodów rezonansowych czy analiza częstotliwościowa opierają się na rachunku zespolonym: zamiana do postaci wykładniczej ułatwia analizę amplitud i faz.

{\displaystyle \Re (z)}

Rozróżnienia, notacja i zbiór liczb zespolonych

W literaturze matematycznej używa się operatorów Re(z) i Im(z) do oznaczania części rzeczywistej i urojonej liczby z; zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczany jest zwykle symbolem C. Cechą wyróżniającą jest to, że każde równanie wielomianowe stopnia n ma w zbiorze liczb zespolonych dokładnie n rozwiązań (licząc z krotnościami) — jest to treść Fundamentalnego Twierdzenia Algebry.

{\displaystyle \operatorname {Re} (z)}

W praktycznych zapiskach: a + b·i lub a + bi to typowe formy, a alternatywnie para (a,b). Notacja i zamiast j stosowana jest w matematyce i fizyce; w elektrotechnice i inżynierii preferuje się j. Zbiór liczb zespolonych jest zamknięty na działania arytmetyczne i tworzy kontekst do badań w analizie zespolonej, teorii funkcji i zastosowaniach inżynierskich.

{\displaystyle z}

Przykładowe właściwości i szybkie formuły

  • Sprzężenie: ̅z = a - b i; z̅z = |z|^2.
  • Moduł i argument: |z| = sqrt(a^2+b^2), arg(z) = atan2(b,a).
  • Mnożenie w postaci trygonometrycznej: r_1 e^{iθ_1} · r_2 e^{iθ_2} = (r_1 r_2) e^{i(θ_1+θ_2)}.
  • Dzielenie: z_1/z_2 = (z_1 × ̅z_2)/|z_2|^2, o ile z_2 ≠ 0.

{\displaystyle z=a+bi}

Gdzie znaleźć więcej informacji

W literaturze oraz zasobach internetowych można znaleźć szczegółowe omówienia teorii funkcji analitycznych, rachunku rezydualnego, transformacji Fouriera i Laplace'a, gdzie liczby zespolone odgrywają kluczową rolę. Dla podstaw warto sięgnąć po podręczniki analizy matematycznej i algebry liniowej.

{\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}

Przydatne odnośniki: definicja liczby, liczba rzeczywista, liczba urojona, dodawanie zespolone, mnożenie zespolone, własności algebraiczne, komutatywność, asocjatywność, równania algebraiczne, liczby ujemne, przykłady równań, liczby dodatnie, pierwiastek kwadratowy, Gerolamo Cardano, XVI wiek, Leonhard Euler, para (a,b), elektrotechnika, prąd elektryczny, zbiór liczb zespolonych.

{\displaystyle \Im (z)}

{\displaystyle \operatorname {Im} (z)}

{\displaystyle z}

{\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)}

{\displaystyle \Im (z)=0}

{\displaystyle a+0\cdot i}

{\displaystyle j}

{\displaystyle i}

{\displaystyle i}

{\displaystyle i}

{\displaystyle \mathbb {C} }

Operacje na złożonych liczbach

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, o ile dzielnik nie jest równy zero, oraz wykładanie (podnoszenie liczb do wykładników) są możliwe w przypadku liczb złożonych. Niektóre inne obliczenia są również możliwe w przypadku liczb złożonych.

Zasada dodawania i odejmowania liczb złożonych jest dość prosta:

Let z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\i1}displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)}, następnie z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\i1}displaystylu z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}{\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} , i z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\i1}displaystylu z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}{\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} .

Mnożenie jest trochę inne:

z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\i1}Displaystyle z\i0}cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.}

Kolejną godną uwagi operacją dla numerów złożonych jest koniugacja. Złożony koniugat z - {\i1}- {\i1}- {\displaystyle {\overline {z}}}do z = a + b i {\i0}-{\i1}- {\displaystyle z=a+bi}jest a - b i {\i1}-{\i1}-{\i1}{\displaystyle a-bi}.

z z z - = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\i1}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}.

Możemy to wykorzystać do podziału:

bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i}

w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\i1}Displaystyle {\i1}{\i1}=w(\i1}{\i1}{\i1})=(c+di)\i0}cdot \i1}left(\i1}{\i1}{\i1}a^{\i0}+b^{\i0}}-{\i1}-{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}-left((cx+dy)+(dx-cy)i}right)\i0}. } {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).}

Inne formy opisu numerów złożonych

Złożone liczby mogą być pokazane na tak zwanej złożonej płaszczyźnie. Jeśli masz liczbę z = a + b i {\i1} {\i1}wyświetlacz z=a+bi}{\displaystyle z=a+bi} , możesz przejść do punktu na osi rzeczywistej i b na osi wyobrażonej i narysować wektor z ( 0 , 0 ) {\i1}wyświetlacza (0,0)} {\displaystyle (0,0)}do ( a , b ) {\i1}wyświetlacza (a,b)} {\displaystyle (a,b)}. Długość tego wektora można obliczyć przy użyciu twierdzenia Pitagorejczyka i kąta pomiędzy dodatnią osią rzeczywistą a tym wektorem, idąc w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Długość wektora dla liczby z {\displaystyle z}jest nazywana jego modułem (napisanym jako |z |z{\displaystyle |z|} {\i1}), a kąt jest nazywany jego argumentem ( argumentu z {\i0}z {\i1}zarg z}{\displaystyle \arg z} ).

Prowadzi to do trygonometrycznej formy opisywania liczb złożonych: przez definicje sinusoidy i cosinusoidy, dla wszystkich z {\i0}styl z} {\displaystyle z}stoi, że

z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\i1}Displaystyle z=|z?{\i0}(\i1}cos \i1}arg z+i\i0}sin z.{\i0} } {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z).}

Jest to ściśle związane z formułą De Moivre'a.

Istnieje nawet inna forma, zwana formąwykładniczą.

Liczba złożona może być przedstawiona wizualnie jako dwie liczby tworzące wektor na diagramie Arganda, reprezentujące płaszczyznę złożoną.
Liczba złożona może być przedstawiona wizualnie jako dwie liczby tworzące wektor na diagramie Arganda, reprezentujące płaszczyznę złożoną.

Wniosek

Po dodaniu liczb złożonych do matematyki, każdy wielomian o złożonych współczynnikach ma korzenie, które są liczbami złożonymi. Udane dodanie liczb złożonych do matematyki pomogło również otworzyć drogę do stworzenia innego rodzaju liczb, które mogłyby rozwiązać i pomóc wyjaśnić wiele różnych problemów, na przykład: liczby hiperzłożone, sedenion, liczby hiperrzeczywiste, liczby surrealne i wiele innych. Zobacz rodzaje liczb.

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest liczba złożona?

O: Liczba złożona to liczba składająca się z dwóch części, z których pierwsza jest liczbą rzeczywistą, a druga liczbą urojoną.

P: Jaka jest najważniejsza liczba urojona?

O: Najważniejszą liczbą urojoną jest i, którą definiuje się jako liczbę, która po podniesieniu do kwadratu będzie miała wartość -1.

P: Jak wykorzystuje się funkcje arytmetyczne w przypadku liczb złożonych?

O: Funkcje arytmetyczne, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, można stosować w przypadku liczb złożonych. Podobnie jak liczby rzeczywiste, mają one właściwości komutacyjne, asocjacyjne i rozdzielcze.

P: Jaki symbol reprezentuje zbiór liczb złożonych?

O: Zbiór liczb złożonych jest często przedstawiany za pomocą symbolu C.

P: Dlaczego odkryto liczby zespolone?

O: Liczby zespolone zostały odkryte podczas prób rozwiązywania specjalnych równań, w których występują wykładniki, ponieważ stanowiły one prawdziwe problemy dla matematyków.

P: Kto wprowadził zapis i dla tego typu liczb?

O: Prawdopodobnie Leonhard Euler wprowadził zapis i dla tego typu liczb.

P: Jak można zapisać liczbę złożoną jako parę uporządkowaną?

O: Liczbę złożoną można zapisać jako parę uporządkowaną (a, b), gdzie zarówno a, jak i b są liczbami rzeczywistymi.

Powiązane artykuły

Autor

AlegsaOnline.com Liczby zespolone: definicja, własności, historia i zastosowania

URL: https://pl.alegsaonline.com/art/22250

Udostępnij

Źródła