Dzielenie przez zero

W matematyce liczba nie może być podzielona przez zero. Obserwuj:

1. A ∗ B = C {\i1}Styl A*B=C} $A*B=C$

Jeśli B = 0, to C = 0. To prawda. Ale:

2. A = C / B {\i1}Styl A=C/B} $A=C/B$

(gdzie B=0, więc po prostu podzieliliśmy się przez zero)

Który jest taki sam jak:

3. A = 0 / 0 {\i1}Styl A=0/0} $A=0/0$

Problem w tym, że A $A$ może być dowolny numer. Zadziałałoby, gdyby A $A$ było 1 albo 1,000,000,000. 0/0 jest podobno w nieokreślonej formie, ponieważ nie ma jednej wartości. Numery formy A/0, z drugiej strony, gdzie A $A$ nie ma wartości 0, są uważane za "nieokreślone", lub "nieokreślone". Dzieje się tak, ponieważ każda próba ich zdefiniowania spowoduje powstanie wartości nieskończoności, która sama w sobie jest niezdefiniowana. Zazwyczaj, gdy dwie liczby są równe tej samej rzeczy, są one równe sobie. Nie jest to prawdą, gdy obie są równe 0/0. Oznacza to, że normalne zasady matematyki nie działają, gdy liczba jest dzielona przez zero.

Nieprawidłowe dowody oparte na podziale przez zero

W argumencie algebraicznym można ukryć szczególny przypadek podziału przez zero. Może to prowadzić do nieważnych dowodów, takich jak 1=2, jak w dalszej części:

Przy następujących założeniach:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\i1}Zacznijmy od 1&=0 {\i1}Czasami 1&=0 {\i1}Czasami 2&=0.\i0} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

To musi być prawda:

0 × 1 = 0 × 2. {\i1} {\i1}Styl 0 × 1 = 0 × 2.\i0} $0\times 1=0\times 2.\,$

Podział przez zero daje:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\i1} {\i1} {\i1}Tymczasy 1={\i0}{\i1}frac 2.{\i0} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Uprośćcie:

1 = 2. Styl 1 = 2.\N,\N $1=2.\,$

Błędem jest założenie, że dzielenie przez 0 jest legalną operacją z 0/0 = 1.

Większość ludzi prawdopodobnie uznałaby powyższy "dowód" za błędny, ale ten sam argument może być przedstawiony w sposób, który utrudnia wykrycie błędu. Na przykład, jeśli 1 jest napisane jako x, to 0 może być ukryte za x-x, a 2 za x+x. Powyższy dowód może być wtedy wyświetlony w następujący sposób:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\i1}styk styropianu {\i0}(x-x)x=0\\i0}(x-x)(x+x)=0\i0\i0}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

Dlatego:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Podział przez x - x daje:

x = x + x {\i1}styk styropianu x=x+x\i0,} $x=x+x\,$

i dzielenie przez x daje:

1 = 2. Styl 1 = 2.\N,\N $1=2.\,$

Powyższy "dowód" jest błędny, ponieważ dzieli się przez zero, gdy dzieli się przez x-x, ponieważ każda liczba minus sama w sobie jest zerem.

Calculus

W rachunku, powyższe "formy nieokreślone" są również wynikiem bezpośredniego zastępowania przy ocenie limitów.

Podział przez zero w komputerach

Jeśli program komputerowy próbuje podzielić liczbę całkowitą przez zero, system operacyjny zazwyczaj wykryje to i zatrzyma program. Zazwyczaj wypisuje on "komunikat o błędzie" lub daje programiście radę, jak ulepszyć program^[]. Podział przez zero jest częstym błędem w programowaniu komputerowym. Dzielenie liczb zmiennoprzecinkowych (dziesiętnych) przez zero zazwyczaj skutkuje albo nieskończonością, albo specjalną wartością NaN (nie liczbą), w zależności od tego, co jest dzielone przez zero.

Podział przez zero w geometrii

W geometrii 1 0 = ∞ . {\i1}Displaystyle {\i1}textstyle {\i0}{\i1}=w pięćdziesięciu. } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Ta nieskończoność (nieskończoność rzutowa) nie jest ani liczbą dodatnią, ani ujemną, tak samo jak zero nie jest ani liczbą dodatnią, ani ujemną.

Pytania i odpowiedzi

P: Jaki jest wynik dzielenia liczby przez zero?

O: W wyniku dzielenia liczby przez zero powstaje "nieokreślona" lub "nieokreślona forma", co oznacza, że nie ma ona jednej wartości.

P: Co oznacza 0/0?

O: O 0/0 mówi się, że ma "nieokreśloną postać", ponieważ nie ma jednej wartości.

P: Co się dzieje, gdy dwie liczby są równe tej samej rzeczy, ale tą rzeczą jest 0/0?

O: Normalne zasady matematyki nie działają, gdy liczba jest podzielna przez zero, więc te dwie liczby nie byłyby sobie równe.

P: Czy to prawda, że każda próba zdefiniowania liczby w postaci A/0 da w wyniku wartość nieskończoną?

O: Tak, każda próba zdefiniowania liczby w postaci A/0 (gdzie A nie jest 0) daje wartość nieskończoności, która sama w sobie jest nieokreślona.

P: Jak można stwierdzić, czy dwie liczby są sobie równe?

O: Możemy stwierdzić, czy dwie liczby są sobie równe, sprawdzając, czy obie są równe tej samej rzeczy. Zazwyczaj to się sprawdza, ale nie dotyczy to sytuacji, gdy obie liczby są równe 0/0.

P: Czy istnieje wyjątek, kiedy nie możemy podzielić liczby przez zero? O: Tak, w matematyce nie można dzielić liczby przez zero.