Rachunek różniczkowy i całkowy

Historia

W latach 70. i 80. XVI wieku Sir Isaac Newton w Anglii i Gottfried Leibniz w Niemczech opracowali rachunek w tym samym czasie, pracując niezależnie od siebie. Newton chciał mieć nowy sposób przewidywania, gdzie można zobaczyć planety na niebie, ponieważ astronomia zawsze była popularną i użyteczną formą nauki, a wiedza o ruchach obiektów na nocnym niebie była ważna dla nawigacji statków. Leibniz chciał zmierzyć przestrzeń (obszar) pod krzywą (linią, która nie jest prosta). Wiele lat później obaj mężczyźni spierali się o to, kto odkrył to pierwszy. Naukowcy z Anglii poparli Newtona, ale naukowcy z reszty Europy poparli Leibniza. Większość matematyków zgadza się dziś, że obaj panowie dzielą się zasługami po równo. Niektóre elementy nowoczesnego rachunku pochodzą od Newtona, jak na przykład jego zastosowania w fizyce. Inne części pochodzą od Leibniza, jak np. symbole używane do jego zapisu.

Nie byli oni pierwszymi ludźmi, którzy użyli matematyki do opisu świata fizycznego - Arystoteles i Pitagoras byli wcześniej, podobnie jak Galileusz, który powiedział, że matematyka jest językiem nauki. Ale zarówno Newton, jak i Leibniz jako pierwsi zaprojektowali system, który opisuje, jak rzeczy zmieniają się w czasie i może przewidzieć, jak będą się zmieniać w przyszłości.

Nazwa "calculus" to łacińskie słowo oznaczające mały kamień, którego starożytni Rzymianie używali do liczenia i hazardu. Angielskie słowo "calculate" pochodzi od tego samego łacińskiego słowa.

Rachunek różniczkowy

Rachunek różniczkowy służy do określania tempa zmian zmiennej w stosunku do innej zmiennej.

W świecie rzeczywistym może być używany do określenia prędkości poruszającego się obiektu lub do zrozumienia, jak działa elektryczność i magnetyzm. Jest to bardzo ważne dla zrozumienia fizyki i wielu innych dziedzin nauki.

Rachunek różniczkowy jest również przydatny do sporządzania wykresów. Może być używany do znalezienia nachylenia krzywej i najwyższych i najniższych punktów (są one nazywane maksimum i minimum) krzywej.

Zmienne mogą zmieniać swoją wartość. Różni się to od liczb, ponieważ liczby są zawsze takie same. Na przykład, liczba 1 jest zawsze równa 1, a liczba 200 jest zawsze równa 200. Często piszemy zmienne jako litery, takie jak litera x. "X" może być równe 1 w jednym punkcie i 200 w innym punkcie.

Niektóre przykłady zmiennych to odległość i czas, ponieważ mogą się one zmieniać. Prędkość obiektu to odległość, jaką pokonuje on w określonym czasie. Jeśli więc miasto jest oddalone o 80 kilometrów (50 mil), a osoba jadąca samochodem dotrze tam w ciągu godziny, to podróżowała ze średnią prędkością 80 kilometrów (50 mil) na godzinę. Ale to tylko średnia - być może w niektórych momentach jechała szybciej (na autostradzie), a w innych wolniej (na światłach lub na małej uliczce, gdzie mieszkają ludzie). Wyobraź sobie kierowcę, który próbuje określić prędkość samochodu, posługując się tylko licznikiem kilometrów i zegarem, bez prędkościomierza!

Dopóki nie wynaleziono rachunku, jedynym sposobem, by to obliczyć, było pocięcie czasu na coraz mniejsze kawałki, tak by średnia prędkość w tym mniejszym czasie była coraz bliższa rzeczywistej prędkości w danym momencie. Był to bardzo długi i trudny proces, który trzeba było wykonywać za każdym razem, gdy chciano coś obliczyć.

Bardzo podobnym problemem jest znalezienie nachylenia (jak stroma jest linia) w dowolnym punkcie krzywej. Nachylenie linii prostej jest łatwe do obliczenia - jest to po prostu stosunek wysokości (y lub pionu) do szerokości (x lub poziomu). W przypadku krzywej, nachylenie jest zmienne (ma różne wartości w różnych punktach), ponieważ linia się wygina. Ale jeśli krzywa zostałaby pocięta na bardzo, bardzo małe kawałki, krzywa w punkcie wyglądałaby prawie jak bardzo krótka linia prosta. Aby obliczyć jej nachylenie, można więc narysować linię prostą przechodzącą przez punkt o takim samym nachyleniu jak krzywa w tym punkcie. Jeśli zrobimy to dokładnie tak, jak należy, prosta będzie miała takie samo nachylenie jak krzywa i nazywana jest styczną. Ale nie ma sposobu, aby wiedzieć (bez bardzo skomplikowanej matematyki), czy tangens jest dokładnie w prawo, a nasze oczy nie są wystarczająco dokładne, aby być pewnym, czy jest to dokładne, czy po prostu bardzo blisko.

Newton i Leibniz znaleźli sposób, by dokładnie obliczyć nachylenie (lub prędkość w przykładzie z odległością), używając prostych i logicznych reguł. Podzielili oni krzywą na nieskończoną liczbę bardzo małych kawałków. Następnie wybrali punkty po obu stronach interesującego ich zakresu i wyznaczyli styczne do każdego z nich. W miarę zbliżania się punktów do interesującego ich punktu, nachylenie krzywej zbliżało się do określonej wartości, ponieważ styczne zbliżały się do rzeczywistego nachylenia krzywej. Wartość, do której się zbliżała, to rzeczywiste nachylenie.

Załóżmy, że mamy funkcję y = f ( x ) {{displaystyle y=f(x)} . f to skrót od funkcji, więc to równanie oznacza "y jest funkcją x". To mówi nam, że to, jak wysoko y jest na osi pionowej, zależy od tego, co x (oś pozioma) jest w tym czasie. Na przykład, z równania y = x 2 {displaystyle y=x^{2}} , wiemy, że jeśli x {displaystyle x} wynosi 1, to y {displaystyle y} będzie równe 1; jeśli x {displaystyle x} wynosi 3, to y {displaystyle y} będzie równe 9; jeśli x {displaystyle x} wynosi 20, to y {displaystyle y} będzie równe 400. Pochodna uzyskana za pomocą tej metody wynosi 2 x {displaystyle 2x} , czyli 2 pomnożone przez x {displaystyle x} . Wiemy więc, bez konieczności rysowania linii stycznych, że w każdym punkcie krzywej f ( x ) = x 2 {displaystyle f(x)=x^{2}} , pochodna, f ′ ( x ) {displaystyle f'(x)} (oznaczona symbolem pierwiastka), będzie w każdym punkcie równa 2 x {displaystyle 2x}. Ten proces obliczania nachylenia za pomocą granic nazywamy różniczkowaniem, czyli znajdowaniem pochodnej.

W matematyce pochodną można zapisać w następujący sposób: f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h . Pochodna f^{pierwiastek }(x)= lim _{pierwiastek 0}{{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. }

Leibniz doszedł do tego samego wyniku, ale nazwał h " d x {displaystyle dx} ", co oznacza "w odniesieniu do x". Wynikającą z tego zmianę f ( x ) nazwał {{displaystyle f(x)} " d y {{displaystyle dy} ", co oznacza "niewielką ilość y". Notacja Leibniza jest używana przez więcej książek, ponieważ jest łatwa do zrozumienia, gdy równania stają się bardziej skomplikowane. W notacji Leibniza: d y d x = f ′ ( x ) {displaystyle {frac {dy}{dx}}=f'(x)}

Matematycy rozwinęli tę podstawową teorię, aby stworzyć proste reguły algebry, które mogą być użyte do znalezienia pochodnej prawie każdej funkcji.

Na krzywej, dwa różne punkty mają różne nachylenia. Czerwona i niebieska linia są styczne do krzywej.


Rysunek, który pokazuje, co oznaczają x i x + h na krzywej.

Rachunek całkowy

Rachunek całkowy to proces obliczania pola powierzchni pod wykresem funkcji. Przykładem może być obliczanie odległości, jaką pokonuje samochód: jeśli znamy prędkość samochodu w różnych punktach czasu i narysujemy wykres tej prędkości, to odległość, jaką pokonuje samochód, będzie równa polu pod wykresem.

Można to zrobić, dzieląc wykres na wiele bardzo małych części, a następnie rysując bardzo cienkie prostokąty pod każdą z nich. Ponieważ prostokąty stają się coraz cieńsze, coraz lepiej pokrywają one obszar pod wykresem. Pole prostokąta jest łatwe do obliczenia, więc możemy obliczyć całkowite pole wszystkich prostokątów. W przypadku cieńszych prostokątów ta wartość pola powierzchni całkowitej zbliża się do pola powierzchni pod wykresem. Ostateczna wartość pola powierzchni nazywana jest całką funkcji.

W matematyce całka funkcji f(x) od a do b, zapisywana jest jako ∫ a b f ( x ) d x {{displaystyle \\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} .

Całkowanie polega na znajdowaniu pól danych a, b oraz y = f(x).


Możemy przybliżyć pole powierzchni pod krzywą, sumując pola powierzchni wielu prostokątów znajdujących się pod krzywą. Im więcej prostokątów użyjemy, tym lepsze będzie nasze przybliżenie.

Główna idea rachunku

Główna idea rachunku nazywana jest fundamentalnym twierdzeniem rachunku. Ta główna idea mówi, że dwa procesy rachunku, rachunek różniczkowy i całkowy, są przeciwstawne. Oznacza to, że osoba może użyć rachunku różniczkowego do cofnięcia procesu rachunku całkowego. Również osoba może użyć rachunku całkowego, aby cofnąć metodę rachunku różniczkowego. To jest tak jak użycie dzielenia do "cofnięcia" mnożenia, lub dodawania do "cofnięcia" odejmowania.

W jednym zdaniu podstawowe twierdzenie brzmi mniej więcej tak: "Pochodna całki funkcji f jest samą funkcją".

Inne zastosowania rachunku

Rachunek jest używany do opisywania rzeczy, które się zmieniają, jak rzeczy w przyrodzie. Może być używany do pokazywania i uczenia się tego wszystkiego:

• Jak poruszają się fale. Fale są bardzo ważne w świecie przyrody. Na przykład, dźwięk i światło można traktować jako fale.
• Tam, gdzie ciepło się przemieszcza, jak w domu. Jest to przydatne w architekturze (budowanie domów), aby dom był jak najtańszy w ogrzewaniu.
• Jak działają bardzo małe rzeczy, takie jak atomy.
• Jak szybko coś będzie spadać, znane również jako grawitacja.
• Jak działają maszyny, znane również jako mechanika.
• The ścieżka the księżyc gdy ono ruszać się wokoło the ziemia. Także, the ścieżka the ziemia gdy ono ruszać się wokoło the słońce, i jakaś planeta lub księżyc ruszać się wokoło cokolwiek w przestrzeń.