Funkcja

W matematyce funkcja jest obiektem matematycznym, który po podaniu wejścia wytwarza wyjście - może to być liczba, wektor lub cokolwiek, co może istnieć wewnątrz zbioru rzeczy.

Tak więc funkcja jest jak maszyna, która przyjmuje wartości x i zwraca wyjście y. Zestaw wszystkich wartości, które x może mieć, jest nazywany domeną. Zbiór, który zawiera wszystkie wartości, jakie może mieć y, nazywany jest domeną kodową.

Jeśli tak się stanie, mówimy, że y jest funkcją x, i piszemy y =f(x). f jest nazwą funkcji i piszemy f : X → Y {\i1}stylu f:X\i0}do Y} (funkcja od X do Y) reprezentująca trzy części funkcji: domenę (x), kodomenę (y) i proces parowania (strzałka).

Przykładem funkcji jest f(x)=x+1. Jako wejście podaje się liczbę naturalną x {\i1} x(0,1,2,3...) i otrzymuje się liczbę naturalną y {\i0,1,2,3...). yktóra jest x {\i1}styl x} x+1 (1,2,3,4...) Pomysł funkcji został stworzony, aby objąć wszystkie możliwości. Funkcja nie musi być równaniem. Główna idea polega na tym, że wejścia i wyjścia są w jakiś sposób sparowane, nawet jeśli proces jest bardzo skomplikowany.

Metafory

Tabele

Wejścia i wyjścia można umieścić w tabeli jak na rysunku; jest to łatwe, jeśli nie ma zbyt dużej ilości danych.

Wykresy

Na zdjęciu widać, że zarówno 2 jak i 3 zostały sparowane z c; nie jest to dozwolone w drugą stronę, 2 nie mogły wyjść c i d, każde wejście może mieć tylko jedno wyjście. Wszystkie z f ( x ) {\i1}wyświetlacza f(x)} f(x)(c i d na obrazku) są zwykle nazywane zestawem obrazów ff {\i1}i zestawem obrazów może być cała kodomaina lub nie. Można powiedzieć, że podzbiór A kodomeny z zestawem obrazów jest f(A). Jeśli wejścia i wyjścia są uporządkowane, można je łatwo wykreślić na wykresie: W ten sposób obraz przyjdzie na obrazie z zestawu A. To sprawi, że zarówno 2 i 3 mają sparowane z jest niedozwolone w innym kierunku, nawet jeden może zrobić między kodomainą lub nie. Można wyciągnąć wniosek, że podzbiór A z kodomeny jest obrazem F(A).

Historia

W latach 90-tych XVI wieku GottfriedLeibniz i Johann Bernoulli używali słowa funkcja w literach pomiędzy nimi, więc nowoczesna koncepcja zaczęła się w tym samym czasie co rachunek.

W 1748 roku Leonhard Euler dał: "Funkcja wielkości zmiennej jest wyrażeniem analitycznym, składającym się w jakikolwiek sposób z wielkości zmiennej i liczb lub wielkości stałych", a następnie w 1755 roku: "Jeśli niektóre wielkości tak zależą od innych, że jeśli te ostatnie są zmieniane, to te pierwsze są nazywane funkcjami tych drugich. Definicja ta ma dość szerokie zastosowanie i obejmuje wszystkie sposoby, w jakie jedna wielkość może być określona przez inną. Jeżeli zatem x oznacza wielkość zmienną, to wszystkie wielkości, które w jakikolwiek sposób zależą od x lub są przez niego określane, nazywane są funkcjami x.", co jest bardzo nowoczesne.

Zazwyczaj Dirichletowi przypisuje się wersję używaną w szkołach do drugiej połowy XX wieku: "y jest funkcją zmiennej x, zdefiniowanej w przedziale a < x < b, jeżeli każdej wartości zmiennej x w tym przedziale odpowiada konkretna wartość zmiennej y. Nie ma też znaczenia, w jaki sposób jest ustalana ta zgodność".

W 1939 roku Bourbaki uogólnił definicję Dirichleta i podał jej teoretyczną wersję jako korespondencję pomiędzy wejściami i wyjściami; stosowano ją w szkołach od około 1960 roku.

Wreszcie w 1970 r. Bourbaki podał nowoczesną definicję jako potrójne f = ( X , Y , F ) {\i1}(X,Y,F)} f=(X,Y,F)z F X × Y , ( x , f ( x ) ) F {\i1}subset X razy Y,(x,f(x))\i0}w F}F\subset X\times Y,(x,f(x))\in F(tzn. f : X \i0} Y {\i1}subset f:X\i0}do Y}iF = {\i0}(x , f(x) ) | x X , f ( x ) Y } Styl F=(x,f(x))|x w X,f(x)\\ w Y\N] F=\{(x,f(x))|x\in X,f(x)\in Y\}).

Rodzaje funkcji

  • Funkcje podstawowe - Funkcje, które są zwykle studiowane w szkole: ułamki, pierwiastki kwadratowe, funkcje sinusoidalne, cosinusoidalne i styczne oraz niektóre inne funkcje.
  • Funkcje nie-lementarne - Większość z nich nie korzysta z operacji, których nie uczymy się w szkole (jak + lub -, czy uprawnienia). Wiele funkcji integracyjnych jest nieelementarnych.
  • Funkcje odwrotne - Funkcje, które odwracają inną funkcję. Na przykład: jeśli F(x) jest odwrotnością f(x)=y, to F(y)=x. Nie wszystkie funkcje mają inwersje.
  • Funkcje specjalne: Funkcje, które mają nazwy. Na przykład: sinusoidalna, cosinusoidalna i styczna. Funkcje takie jak f(x)=3x (trzy razy x) nie są nazywane funkcjami specjalnymi. Mogą one być elementarne, nie elementarne lub odwrotne.

Kontrola władz Edit this at Wikidata

  • GND: 4071510-3
  • LCCN: sh85052327
  • NDL: 00564960



Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest funkcja w matematyce?


O: Funkcja w matematyce to obiekt, który po podaniu danych wejściowych daje wynik, którym może być liczba, wektor lub cokolwiek, co może istnieć wewnątrz zbioru rzeczy.

P: Jakie są dwa zbiory związane z funkcjami?


O: Zbiór wszystkich wartości, jakie może mieć x, nazywa się dziedziną, a zbiór zawierający każdą wartość, jaką może mieć y, nazywa się współdziedziną.

P: Jak często oznacza się funkcje?


O: Funkcje często oznacza się kursywą, np. f, g, h.

P: Jak przedstawiamy funkcję?


O: Funkcję przedstawiamy pisząc y = f(x), gdzie f jest nazwą funkcji, a f : X → Y (funkcja z X do Y) przedstawia trzy części funkcji - dziedzinę (X), współdziedzinę (Y) i proces parowania (strzałka).

P: Czy może Pan podać przykład funkcji?


O: Przykładem funkcji jest f(x) = x + 1. Podajemy liczbę naturalną x jako wejście i otrzymujemy liczbę naturalną y, która jest x + 1. Na przykład, podając 3 jako wejście do f, otrzymujemy 4.

P: Czy każda funkcja musi być równaniem?



O: Nie, nie każda funkcja musi być równaniem. Głównym założeniem funkcji jest to, że wejścia i wyjścia są w jakiś sposób łączone - nawet jeżeli jest to bardzo skomplikowane.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3