Funkcja (matematyka): definicja, własności i przykłady
Przegląd pojęcia funkcji: definicja, notacja, domena i kodomena, typy funkcji, przykłady i zastosowania w matematyce oraz rozróżnienia ważne w teorii funkcji.
W matematyce termin funkcja oznacza przyporządkowanie elementów jednego zbioru elementom innego zbioru. Formalnie funkcja f od zbioru X do Y jest relacją, która każdemu elementowi x z X przyporządkowuje dokładnie jeden element y z Y; zapisujemy to zwykle jako y = f(x) i krócej f: X → Y. Pojęcie funkcji jest szerokie — wartościami funkcji mogą być liczby, wektory, wielomiany, zespoły punktów czy inne obiekty matematyczne.
Galeria obrazów
4 Obrazy
Podstawowe składniki i notacja
Funkcja składa się z trzech elementów: domeny (zbioru argumentów), kodomeny (zbioru, z którego pochodzą wartości) oraz samego przyporządkowania. Zbiór wszystkich rzeczywistych wartości, jakie przyjmuje funkcja, nazywa się często obrazem funkcji lub przeciwdziedziną (ang. range). W zapisie f: X → Y X to domena, Y to kodomena. Przykładowo f(x)=x+1 przy f: N → N oznacza przyporządkowanie następujące: każdej liczbie naturalnej x podstawiamy y będące jej następnikiem.
Rodzaje funkcji i ważne własności
- Iniekcja (funkcja różnowartościowa) — różne argumenty mają różne obrazy.
- Suriekcja (funkcja na) — każdy element kodomeny jest obrazem pewnego argumentu.
- Bijekcja — jednocześnie iniekcja i suriekcja; wówczas istnieje funkcja odwrotna f^{-1}.
- Funkcje jedno- i wielowymiarowe — wartościami mogą być pojedyncze liczby lub wektory/wielowymiarowe struktury.
- Ciągłość i różniczkowalność — pojęcia analityczne istotne przy funkcjach rzeczywistych i zespolonych.
Przykłady i interpretacje
Najprostszy przykład to funkcja liniowa f(x)=ax+b, często używana w algebrze i modelowaniu. Funkcja f(x)=x+1 pokazuje mechanizm: dla x z zbioru liczb naturalnych otrzymujemy y będące następnikiem x. Funkcje mogą też być zdefiniowane nieprzewidywalnie: tablica wartości, reguły warunkowe lub procedury obliczeniowe. W informatyce funkcje traktuje się czasem jako procedury przetwarzające dane wejściowe na wyjściowe.
Historia i rozwój pojęcia
Pojęcie funkcji rozwijało się stopniowo od XVII do XIX wieku; istotny wkład miały prace takich matematyków jak Euler czy Dirichlet, którzy przyczynili się do ujęcia funkcji jako ogólnych przyporządkowań między zbiorami. W analizie matematycznej powstały kryteria ciągłości i różniczkowalności, natomiast współczesna teoria funkcji obejmuje także ujęcia abstrakcyjne w teorii zbiorów, teorii kategorii i analizie funkcjonalnej.
Zastosowania i znaczenie
Funkcje są podstawowym narzędziem w niemal wszystkich działach matematyki: analizie, algebrze, geometrii, teorii prawdopodobieństwa i statystyce. W praktyce służą do opisu zależności między wielkościami, tworzenia modeli w naukach przyrodniczych i społecznych, formułowania równań różniczkowych opisujących zjawiska dynamiczne oraz implementacji algorytmów w informatyce. Istotne jest odróżnienie między formalną notacją f: X → Y, a konkretnym sposobem obliczania wartości f(x) — funkcja nie musi być dana wzorem analitycznym, wystarczy reguła przyporządkowania.
Uwagi końcowe i rozróżnienia
W praktyce rozróżnia się domenę i rzeczywisty zbiór wartości funkcji; mylenie kodomeny z zakresem wartości może prowadzić do nieporozumień w dowodach. Kompozycja funkcji (f ∘ g) oraz funkcje odwrotne to podstawowe operacje algebraiczne na funkcjach. Dalsze uogólnienia obejmują funkcje wielowartościowe (relacje), funkcjonały i operatory działające na przestrzeniach funkcji, co ma kluczowe znaczenie w analizie i teorii operatorów.
Przydatne odnośniki: definicje, domena i kodomena, własności, typy funkcji, przykłady.
Metafory
Tabele
Wejścia i wyjścia można umieścić w tabeli jak na rysunku; jest to łatwe, jeśli nie ma zbyt dużej ilości danych.
Wykresy
Na zdjęciu widać, że zarówno 2 jak i 3 zostały sparowane z c; nie jest to dozwolone w drugą stronę, 2 nie mogły wyjść c i d, każde wejście może mieć tylko jedno wyjście. Wszystkie z f ( x ) {\i1}wyświetlacza f(x)} 
(c i d na obrazku) są zwykle nazywane zestawem obrazów f
{\i1}i zestawem obrazów może być cała kodomaina lub nie. Można powiedzieć, że podzbiór A kodomeny z zestawem obrazów jest f(A). Jeśli wejścia i wyjścia są uporządkowane, można je łatwo wykreślić na wykresie: W ten 
sposób obraz przyjdzie na obrazie z zestawu A. To sprawi, że zarówno 2 i 3 mają sparowane z jest niedozwolone w innym kierunku, nawet jeden może zrobić między kodomainą lub nie. Można wyciągnąć wniosek, że podzbiór A z kodomeny jest obrazem F(A).
Historia
W latach 90-tych XVI wieku GottfriedLeibniz i Johann Bernoulli używali słowa funkcja w literach pomiędzy nimi, więc nowoczesna koncepcja zaczęła się w tym samym czasie co rachunek.
W 1748 roku Leonhard Euler dał: "Funkcja wielkości zmiennej jest wyrażeniem analitycznym, składającym się w jakikolwiek sposób z wielkości zmiennej i liczb lub wielkości stałych", a następnie w 1755 roku: "Jeśli niektóre wielkości tak zależą od innych, że jeśli te ostatnie są zmieniane, to te pierwsze są nazywane funkcjami tych drugich. Definicja ta ma dość szerokie zastosowanie i obejmuje wszystkie sposoby, w jakie jedna wielkość może być określona przez inną. Jeżeli zatem x oznacza wielkość zmienną, to wszystkie wielkości, które w jakikolwiek sposób zależą od x lub są przez niego określane, nazywane są funkcjami x.", co jest bardzo nowoczesne.
Zazwyczaj Dirichletowi przypisuje się wersję używaną w szkołach do drugiej połowy XX wieku: "y jest funkcją zmiennej x, zdefiniowanej w przedziale a < x < b, jeżeli każdej wartości zmiennej x w tym przedziale odpowiada konkretna wartość zmiennej y. Nie ma też znaczenia, w jaki sposób jest ustalana ta zgodność".
W 1939 roku Bourbaki uogólnił definicję Dirichleta i podał jej teoretyczną wersję jako korespondencję pomiędzy wejściami i wyjściami; stosowano ją w szkołach od około 1960 roku.
Wreszcie w 1970 r. Bourbaki podał nowoczesną definicję jako potrójne f = ( X , Y , F ) {\i1}(X,Y,F)} 
z F ⊂ X × Y , ( x , f ( x ) ) ∈ F {\i1}subset X razy Y,(x,f(x))\i0}w F}
(tzn. f : X \i0} Y {\i1}subset f:X\i0}do Y}iF = {\i0}(x , f(x) ) | x ∈ X , f ( x ) ∈ Y } Styl F=(x,f(x))|x w X,f(x)\\ w Y\N] 
).
Rodzaje funkcji
- Funkcje podstawowe - Funkcje, które są zwykle studiowane w szkole: ułamki, pierwiastki kwadratowe, funkcje sinusoidalne, cosinusoidalne i styczne oraz niektóre inne funkcje.
- Funkcje nie-lementarne - Większość z nich nie korzysta z operacji, których nie uczymy się w szkole (jak + lub -, czy uprawnienia). Wiele funkcji integracyjnych jest nieelementarnych.
- Funkcje odwrotne - Funkcje, które odwracają inną funkcję. Na przykład: jeśli F(x) jest odwrotnością f(x)=y, to F(y)=x. Nie wszystkie funkcje mają inwersje.
- Funkcje specjalne: Funkcje, które mają nazwy. Na przykład: sinusoidalna, cosinusoidalna i styczna. Funkcje takie jak f(x)=3x (trzy razy x) nie są nazywane funkcjami specjalnymi. Mogą one być elementarne, nie elementarne lub odwrotne.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest funkcja w matematyce?
O: Funkcja w matematyce to obiekt, który po podaniu danych wejściowych daje wynik, którym może być liczba, wektor lub cokolwiek, co może istnieć wewnątrz zbioru rzeczy.
P: Jakie są dwa zbiory związane z funkcjami?
O: Zbiór wszystkich wartości, jakie może mieć x, nazywa się dziedziną, a zbiór zawierający każdą wartość, jaką może mieć y, nazywa się współdziedziną.
P: Jak często oznacza się funkcje?
O: Funkcje często oznacza się kursywą, np. f, g, h.
P: Jak przedstawiamy funkcję?
O: Funkcję przedstawiamy pisząc y = f(x), gdzie f jest nazwą funkcji, a f : X → Y (funkcja z X do Y) przedstawia trzy części funkcji - dziedzinę (X), współdziedzinę (Y) i proces parowania (strzałka).
P: Czy może Pan podać przykład funkcji?
O: Przykładem funkcji jest f(x) = x + 1. Podajemy liczbę naturalną x jako wejście i otrzymujemy liczbę naturalną y, która jest x + 1. Na przykład, podając 3 jako wejście do f, otrzymujemy 4.
P: Czy każda funkcja musi być równaniem?
O: Nie, nie każda funkcja musi być równaniem. Głównym założeniem funkcji jest to, że wejścia i wyjścia są w jakiś sposób łączone - nawet jeżeli jest to bardzo skomplikowane.
Powiązane artykuły
Autor
AlegsaOnline.com Funkcja (matematyka): definicja, własności i przykłady Leandro Alegsa
URL: https://pl.alegsaonline.com/art/37015