Potęgowanie

Wyjaśnienie (moc) to operacja arytmetyczna na liczbach. Jest to wielokrotne mnożenie, tak samo jak wielokrotne dodawanie. Ludzie piszą exponentiation z górnym indeksem. Wygląda to tak: x y {\i1}{\i1}Style x^{y} $x^{y}$ . W przeszłości stosowano inne metody notacji matematycznej. Podczas pisania ze sprzętem, który nie może korzystać z górnego indeksu, ludzie piszą potęgi używając znaków ^ lub **, więc 2^3 lub 2**3 oznacza 2 3 {\i1}styl 2^{3}} $2^{3}$ .

Liczba x jest nazywana bazą, a liczba y - wykładnikiem. Na przykład, w 2 3 {\i1}wyświetlacz 2^{3} $2^{3}$ , 2 to podstawa, a 3 to wykładnik.

Aby obliczyć 2 3 $2^{3}$ {\i1}styk 2^{3}osoba musi pomnożyć liczbę 2 przez siebie 3 razy. Więc 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\i1} {\i1}splastyla 2^{3}=2 {\i1}cdot 2\i0} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Wynikiem jest 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\i1} {\i1}splaistylu 2 {\i1}cdot 2 {\i1}cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . Równanie może być odczytane na głos w ten sposób: 2 podniesione do potęgi 3 równa się 8.

Przykłady:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\i1}=5 {\i1}cdot {\i1}5 {\i1}cdot {\i1} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}x\i1}cdot {\i1}x $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\i1}styk stylistyczny 1^{x}=1} $1^{x}=1$ dla każdej liczby x

Jeżeli wykładnik jest równy 2, to moc jest nazywana kwadratem, ponieważ pole kwadratu jest obliczane za pomocą 2 {\i1}wyświetlacza a^{2}} $a^{2}$ . Więc

x 2 $x^{2}$ {\i1}jest kwadratem x {\i1} {\i1}splaistylu x^{\i0}

Jeśli wykładnik jest równy 3, wtedy moc jest nazywana sześcianem, ponieważ objętość sześcianu jest obliczana przy użyciu 3 {\i1}wyświetlacza a^{3}} $a^{3}$ . Więc

x 3 {\i1}jest sześcianem x {\i1}(styropian x^{3} $x^{3}$

Jeśli wykładnik jest równy -1, osoba musi obliczyć odwrotność podstawy. Tak więc

x - 1 = 1 x x {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Jeśli wykładnik jest liczbą całkowitą i jest mniejszy od 0, osoba musi odwrócić tę liczbę i obliczyć moc. Na przykład:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\i1}{\i1}Styl 2^{\i0}= lewy(\i0}{\i1}{\i1}{\i1}prawny)^{\i0}={\i0} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Jeżeli wykładnik jest równy 1 2 {\i1}frac {\i0}{\i1}{\i1}{\i1} ${\frac {1}{2}}$ , to wynikiem wykładania jest pierwiastek kwadratowy podstawy. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Przykład:

4 1 2 = 4 = 2 {\i1} {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}==sqrt {4}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Podobnie, jeśli wykładnik ma wartość 1 n {\i1}frac {\i1}{\i1}wynika ${\frac {1}{n}}$ z tego, że jest to n-ty korzeń:

a 1 n = a n {\i1}displaystyle a^{\i0}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Jeśli wykładnik jest racjonalną liczbą p q {\i1} ${\frac {p}{q}}$ to wynikiem jest korzeń q podstawy podniesiony do potęgi p, więc:

a p q = a p q {\i1}displaystyle a^{\i0}frac {p}{q}}== \i1}sqrt[{q}]{a^{p}}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Wykładnik może nawet nie być racjonalny. Aby podnieść podstawę a do nieracjonalnej potęgi x, używamy nieskończonego ciągu liczb racjonalnych (xi), którego granicą jest x:

x = lim n → ∞ x n {\i1} {\i1}displaystyle x= {\i1}lim _{n\i1}do \i1}infty {\i1}x_{\i1}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

w ten sposób:

a x = lim n → ∞ a x n {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Istnieją pewne zasady, które pomagają w obliczaniu mocy:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\i1}displaystyle \i0}left(a\i0}cdot b\i0}right)^{\i0}=a^{\i1}cdot {\i0}b\i0}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\i0} {\i1}, \i1}quad b\i0}neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\i1}displaystyle a^{r}\i0}cdot {\i1}a^{s}=a^{r+s}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\i1}displaystyle {\i0}frac {a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s}, \i0}quad a\i0}neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{a^{\i1}{\i1},\i1}{\i1},\i1},\i1}quad a\i0}neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\i1}displaystyle \i1}left(a^{r}\i0}right)^{s}=a^{r\i0}cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\i1}styk stylistyczny a^{0}=1} $a^{0}=1$

Możliwe jest obliczenie wykładu macierzy. Matryca musi być kwadratowa. Na przykład: I 2 = I ⋅ I = I {\i0} $I^{2}=I\cdot I=I$

Commutativity

Zarówno dodawanie, jak i mnożenie są komutatywne. Na przykład, 2+3 jest takie samo jak 3+2; a 2 - 3 jest takie samo jak 3 - 2. Chociaż wykładanie jest wielokrotnym mnożeniem, to nie jest ono komutatywne. Na przykład, 2³=8 ale 3²=9.

Operacje odwrotne

Dodatek ma jedną odwrotną operację: odejmowanie. Również, mnożenie ma jedną odwrotną operację: dzielenie.

Ale wykładanie ma dwie odwrotne operacje: Korzeń i logarytm. Dzieje się tak, ponieważ wykładanie nie jest komutatywne. Można to zobaczyć w tym przykładzie:

Jeśli masz x+2=3, to możesz użyć odejmowania, aby dowiedzieć się, że x=3-2. Tak samo jest, jeśli masz 2+x=3: Otrzymujesz również x=3-2. To dlatego, że x+2 jest takie samo jak 2+x.
Jeżeli masz x - 2=3, to możesz użyć podziału, aby dowiedzieć się, że x= 3 2 {\i1} {\i1}frac {\i1}{2} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . To jest to samo, jeżeli masz 2 - x=3: Dostajesz też x= 3 2 {\i1}{\i1}{\i1} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . To dlatego, że x - 2 jest takie samo jak 2 - x
Jeśli masz x²=3, to użyj (kwadratowego) pierwiastka, aby dowiedzieć się x: Otrzymujesz wynik x = 3 2 {\i1}textstyle {\i0}sqrt[{\i0}]{\i1} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Jeśli jednak masz 2x=3, to nie możesz użyć korzenia, aby dowiedzieć się x. Musisz raczej użyć logarytmu (binarnego), aby dowiedzieć się x: Otrzymasz wynik x=log2(3).

Powiązane strony

Składnik

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest wykładnik?

O: Wykładanie to operacja arytmetyczna na liczbach, którą można traktować jako powtarzające się mnożenie.

P: Jak zapisuje się wykładanie?

O: Wykładnik zapisuje się zwykle jako x^y, gdzie x jest podstawą, a y wykładnikiem. Można je również zapisać za pomocą znaków ^ lub **, np. 2^4 lub 2**4.

P: Jakie są przykłady wykładników?

O: Przykłady wykładników to 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 dla każdej liczby x; oraz 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

P: Co to znaczy, gdy wykładnik jest równy -1?

O: Gdy wykładnik jest równy -1, to potęga jest po prostu odwrotnością podstawy (x^(-1) = 1/x).

P: Jak obliczyć irracjonalną potęgę podstawy?

O: Aby podnieść podstawę a do irracjonalnej potęgi x, używamy nieskończonego ciągu liczb racjonalnych (xn), którego granicą jest x (a^x = lim n->nieskończoność a^(x_n)).

P: Czy istnieją jakieś reguły, które ułatwiają obliczanie wykładników?

O: Tak, jest kilka zasad, które ułatwiają obliczanie wykładników. Należą do nich (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); i tak dalej.