Macierz
W matematyce matryca (liczba mnoga: macierze) jest prostokątem liczb, ułożonym w wierszach i kolumnach. Wiersze to każda z linii od lewej do prawej (poziomej), a kolumny idą od góry do dołu (pionowo). Górna lewa komórka znajduje się w rzędzie 1, kolumnie 1 (patrz diagram po prawej).
Istnieją zasady dodawania, odejmowania i "mnożenia" macierzy razem, ale zasady te są inne niż dla liczb. Dla przykładu, A ⋅ B {\i1}nie zawsze daje ten sam wynik co B ⋅ A {\i1}. co ma miejsce w przypadku mnożenia zwykłych liczb. Matryca może mieć więcej niż 2 wymiary, np. matryca 3D. Ponadto, matryca może być jednowymiarowa, jako pojedynczy wiersz lub kolumna.
Wiele nauk przyrodniczych dość często korzysta z matryc. Na wielu uniwersytetach kursy dotyczące macierzy (zwykle nazywane algebrą liniową) są prowadzone bardzo wcześnie, niekiedy nawet na pierwszym roku studiów. Macierze są również bardzo popularne w informatyce.
Określone wpisy w macierzy są często przywoływane za pomocą par indeksów, dla numerów w każdym z wierszy i kolumn.
Definicje i zapisy
Linie poziome w macierzy nazywane są rzędami, a linie pionowe kolumnami. Macierze z m rzędami i n kolumnami nazywane są m-by-n macierze (lub m×n macierzy), a m i n nazywane są jej wymiarami.
Miejsca w macierzy, w których numery są nazywane wpisami. Wpis w macierzy A, który znajduje się w numerze wiersza i i numerze kolumny j, nazywany jest wpisem i,j A. Jest on zapisany jako A[i,j] lub ai,j.
Piszemy A := ( a i j ) m × n {\i0} {\i1}profil A:=(a_{ij})_{m\i0}}aby zdefiniowaćm × n matrycę A z każdym wpisem w matrycy zwanym ai,j dla wszystkich 1 ≤ i ≤ m i 1 ≤ j ≤ n.
Przykład
Matryca
1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 {\i1} {\i1}Zacznijmy od matrycy 1&2&3 {\i1}4&9&2 {\i1&5}
to matryca 4×3. Ta matryca ma m=4 wiersze, a n=3 kolumny.
Element A[2,3] lub a2,3 to 7.
Operacje
Dodatek
Suma dwóch macierzy jest macierzą, która jest równa sumie (i,j)-tych wpisów dwóch macierzy:
[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 2 + 1 2 + 1 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\i1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}
Te dwie matryce mają te same wymiary. Tutaj A + B = B + A {\i1}Styl A+B=B+A}jest prawdziwy.
Pomnożenie dwóch matryc
Pomnożenie dwóch matryc jest nieco bardziej skomplikowane:
[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ]. {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4 {\i1}Zacznijmy od matrycy b1+a2 {\i1}a2 {\i1}cdot b1+a2 {\i1}cdot b2+a2 {\i1}cdot b4}(a3 {\i1+a4 {\i1}cdot b3){\i1}i(a3 \i1}cdot b2+a4}cdot b4)
Więc z Numbersem:
[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\i1&5} {\i1&4} {\i1}cdot {\i1}początek {\i1}2&3 {\i1&0}Zacznijmy od matrycy(3\i0}(3\i0}cdot 2+5cdot 5)&(3\i0}cdot 3+5cdot 0){\i0}(1\i0}cdot 2+4cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}
- Dwie macierze mogą być mnożone ze sobą, nawet jeśli mają różne wymiary, o ile liczba kolumn w pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy w drugiej macierzy.
- Wynikiem mnożenia, zwanego produktem, jest inna matryca o tej samej liczbie wierszy co pierwsza matryca i tej samej liczbie kolumn co druga matryca.
- mnożenie matryc nie jest komutatywne, co ogólnie oznacza, że A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\i0}displaystyle A \i0}cdot B \i0}neq B \i0cdot A}
- zwielokrotnienie matryc jest asocjacyjne, co oznacza, że ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\i1}
Specjalne matryce
Istnieją pewne matryce, które są specjalne.
Matryca kwadratowa
Matryca kwadratowa ma taką samą liczbę wierszy jak kolumny, więc m=n.
Przykładem kwadratowej matrycy jest
5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 {\i1} {\i1}Zacznijmy od matrycy 5&-2&4 {\i1}0&9&1 {\i1}-7&6&8 {\i1}zakończymy.
Ta macierz ma 3 rzędy i 3 kolumny: m=n=3.
Tożsamość
Każdy kwadratowy zestaw wymiarów matrycy ma specjalny odpowiednik zwany "matrycą tożsamości". Matryca tożsamości ma tylko zera, z wyjątkiem zera na przekątnej głównej, gdzie znajdują się wszystkie. Na przykład:
1 0 0 0 1 0 0 0 1 {\i1} {\i1}Styl stylistyczny {\i0}początek matrycy {\i1&0&0}
to matryca tożsamości. Dla każdego kwadratowego zestawu wymiarów istnieje dokładnie jedna matryca tożsamości. Matryca tożsamości jest szczególna, ponieważ przy mnożeniu każdej macierzy przez matrycę tożsamości, wynikiem jest zawsze matryca oryginalna bez żadnych zmian.
Inwersyjna matryca
Odwrotna matryca to matryca, która po pomnożeniu przez inną matrycę równa się matrycy tożsamości. Na przykład:
[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\i1} {\i1}Styl stylistyczny {\i1}początek{\i0}7&8\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}
.
Wzór na odwrotność matrycy 2x2, [ x y z v ] {\i1}jest:
(1 d e t ) [ v - y - z x ] {\i1} {\i1}-z&x {\i1}...{\i1}
W macierzy 2x2, wyznacznik jest równy:
x v - y z {\i1}displaystyle {\i1}(xv-yz}}
Matryca jednej kolumny
Matryca, która ma wiele wierszy, ale tylko jedną kolumnę, jest nazywana wektorem kolumnowym.
Czynniki determinujące
Wyznacznik bierze kwadratową matrycę i oblicza prostą liczbę, skalar. Aby zrozumieć, co ta liczba oznacza, weź każdą kolumnę macierzy i narysuj ją jako wektor. Równoległobok narysowany przez te wektory ma powierzchnię, która jest wyznacznikiem. Dla wszystkich macierzy 2x2, wzór jest bardzo prosty: det ([ a b c d ] = a d - b c {\i0}displaystyle \i0}det \i1}left(\i0}a&b\i0}c&d\i0}end {\i1}right)=ad-bc}
Dla matryc 3x3 formuła jest bardziej skomplikowana: det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\i1}styk stylistyczny \i0}det \i0}left(\i0}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}
Nie ma prostych formuł dla wyznaczników większych macierzy, a wielu programistów uczy się, jak sprawić, by komputery szybko znajdowały duże wyznaczniki.
Właściwości czynników warunkujących
Istnieją trzy zasady, których przestrzegają wszystkie determinanty. Te są:
- Wyznacznikiem matrycy tożsamości jest 1
- W przypadku wymiany dwóch wierszy lub dwóch kolumn macierzy, determinant mnoży się przez -1. Matematycy nazywają to przemianą.
- Jeśli wszystkie liczby w jednym wierszu lub kolumnie zostaną pomnożone przez inną liczbę n, wówczas wyznacznik jest mnożony przez n. Ponadto, jeśli matryca M ma kolumnę v, która jest sumą dwóch matryc kolumn v 1 {\i1} i v 2 {\i1} {\i1}displaystylu v_{\i0}} wtedy wyznacznik M jest sumą wyznaczników M z v 1 {\i1}stystylem v_{\i0} zamiast v, a M z v 2 {\i1}stystystykiem v_{\i0} zamiast v. Te dwa warunki nazywane są wieloliniowością.
Patrz także
- Algebra liniowa
- Numeryczna algebra liniowa
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest macierz?
O: Macierz to prostokąt z liczbami, ułożonymi w wierszach i kolumnach. Rzędy są liniami od lewej do prawej (poziomymi), a kolumny od góry do dołu (pionowymi).
P: Jak przedstawia się macierze?
O: Macierze są często przedstawiane za pomocą dużych rzymskich liter, takich jak A, B i C.
P: Co się stanie, gdy pomnoży Pan dwie matryce?
O: Iloczyn AB nie zawsze daje taki sam wynik jak BA, co różni się od mnożenia zwykłych liczb.
P: Czy macierz może mieć więcej niż dwa wymiary?
O: Tak, macierz może mieć więcej niż 2 wymiary, jak np. macierz 3D. Może być również jednowymiarowa, jako pojedynczy wiersz lub kolumna.
P: Gdzie stosuje się macierze?
O: Macierze są wykorzystywane w wielu naukach przyrodniczych i informatyce, inżynierii, fizyce, ekonomii i statystyce.
P: Kiedy na uniwersytetach prowadzi się kursy o macierzach?
O: Na uniwersytetach zwykle prowadzi się kursy dotyczące macierzy (zwykle nazywane algebrą liniową) na bardzo wczesnym etapie studiów - czasami nawet na pierwszym roku.
P: Czy można dodawać lub odejmować macierze razem?
O: Tak - istnieją zasady dodawania i odejmowania macierzy razem, ale różnią się one od zasad dotyczących zwykłych liczb.