Macierz — definicja, rodzaje, podstawowe operacje i zastosowania

Linie poziome w macierzy nazywane są rzędami, a linie pionowe kolumnami. Macierze z m rzędami i n kolumnami nazywane są m-by-n macierze (lub m×n macierzy), a m i n nazywane są jej wymiarami.

Miejsca w macierzy, w których numery są nazywane wpisami. Wpis w macierzy A, który znajduje się w numerze wiersza i i numerze kolumny j, nazywany jest wpisem i,j A. Jest on zapisany jako A[i,j] lub ai_,j.

Piszemy A := ( a i j ) m × n {\i0} {\i1}profil A:=(a_{ij})_{m\i0}}aby zdefiniowaćm × n matrycę A z każdym wpisem w matrycy zwanym ai_,j dla wszystkich 1 ≤ i ≤ m i 1 ≤ j ≤ n.

Przykład

Matryca

1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 {\i1} {\i1}Zacznijmy od matrycy 1&2&3 {\i1}4&9&2 {\i1&5}

to matryca 4×3. Ta matryca ma m=4 wiersze, a n=3 kolumny.

Element A[2,3] lub a2_,3 to 7.

Dodatek

Suma dwóch macierzy jest macierzą, która jest równa sumie (i,j)-tych wpisów dwóch macierzy:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 2 + 1 2 + 1 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\i1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Te dwie matryce mają te same wymiary. Tutaj A + B = B + A {\i1}Styl A+B=B+A}jest prawdziwy.

Pomnożenie dwóch matryc

Pomnożenie dwóch matryc jest nieco bardziej skomplikowane:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ]. {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4 {\i1}Zacznijmy od matrycy b1+a2 {\i1}a2 {\i1}cdot b1+a2 {\i1}cdot b2+a2 {\i1}cdot b4}(a3 {\i1+a4 {\i1}cdot b3){\i1}i(a3 \i1}cdot b2+a4}cdot b4)

Więc z Numbersem:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\i1&5} {\i1&4} {\i1}cdot {\i1}początek {\i1}2&3 {\i1&0}Zacznijmy od matrycy(3\i0}(3\i0}cdot 2+5cdot 5)&(3\i0}cdot 3+5cdot 0){\i0}(1\i0}cdot 2+4cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• Dwie macierze mogą być mnożone ze sobą, nawet jeśli mają różne wymiary, o ile liczba kolumn w pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy w drugiej macierzy.
• Wynikiem mnożenia, zwanego produktem, jest inna matryca o tej samej liczbie wierszy co pierwsza matryca i tej samej liczbie kolumn co druga matryca.
• mnożenie matryc nie jest komutatywne, co ogólnie oznacza, że A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\i0}displaystyle A \i0}cdot B \i0}neq B \i0cdot A}
• zwielokrotnienie matryc jest asocjacyjne, co oznacza, że ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\i1}

Istnieją pewne matryce, które są specjalne.

Matryca kwadratowa

Matryca kwadratowa ma taką samą liczbę wierszy jak kolumny, więc m=n.

Przykładem kwadratowej matrycy jest

5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 {\i1} {\i1}Zacznijmy od matrycy 5&-2&4 {\i1}0&9&1 {\i1}-7&6&8 {\i1}zakończymy.

Ta macierz ma 3 rzędy i 3 kolumny: m=n=3.

Tożsamość

Każdy kwadratowy zestaw wymiarów matrycy ma specjalny odpowiednik zwany "matrycą tożsamości". Matryca tożsamości ma tylko zera, z wyjątkiem zera na przekątnej głównej, gdzie znajdują się wszystkie. Na przykład:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 {\i1} {\i1}Styl stylistyczny {\i0}początek matrycy {\i1&0&0}

to matryca tożsamości. Dla każdego kwadratowego zestawu wymiarów istnieje dokładnie jedna matryca tożsamości. Matryca tożsamości jest szczególna, ponieważ przy mnożeniu każdej macierzy przez matrycę tożsamości, wynikiem jest zawsze matryca oryginalna bez żadnych zmian.

Inwersyjna matryca

Odwrotna matryca to matryca, która po pomnożeniu przez inną matrycę równa się matrycy tożsamości. Na przykład:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\i1} {\i1}Styl stylistyczny {\i1}początek{\i0}7&8\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}

 .

Wzór na odwrotność matrycy 2x2, [ x y z v ] {\i1}jest:

(1 d e t ) [ v - y - z x ] {\i1} {\i1}-z&x {\i1}...{\i1}

 W macierzy 2x2, wyznacznik jest równy:

x v - y z {\i1}displaystyle {\i1}(xv-yz}}

Matryca jednej kolumny

Matryca, która ma wiele wierszy, ale tylko jedną kolumnę, jest nazywana wektorem kolumnowym.

Wyznacznik bierze kwadratową matrycę i oblicza prostą liczbę, skalar. Aby zrozumieć, co ta liczba oznacza, weź każdą kolumnę macierzy i narysuj ją jako wektor. Równoległobok narysowany przez te wektory ma powierzchnię, która jest wyznacznikiem. Dla wszystkich macierzy 2x2, wzór jest bardzo prosty: det ([ a b c d ] = a d - b c {\i0}displaystyle \i0}det \i1}left(\i0}a&b\i0}c&d\i0}end {\i1}right)=ad-bc}

Dla matryc 3x3 formuła jest bardziej skomplikowana: det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\i1}styk stylistyczny \i0}det \i0}left(\i0}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Nie ma prostych formuł dla wyznaczników większych macierzy, a wielu programistów uczy się, jak sprawić, by komputery szybko znajdowały duże wyznaczniki.

Właściwości czynników warunkujących

Istnieją trzy zasady, których przestrzegają wszystkie determinanty. Te są:

• Wyznacznikiem matrycy tożsamości jest 1
• W przypadku wymiany dwóch wierszy lub dwóch kolumn macierzy, determinant mnoży się przez -1. Matematycy nazywają to przemianą.
• Jeśli wszystkie liczby w jednym wierszu lub kolumnie zostaną pomnożone przez inną liczbę n, wówczas wyznacznik jest mnożony przez n. Ponadto, jeśli matryca M ma kolumnę v, która jest sumą dwóch matryc kolumn v 1 {\i1} i v 2 {\i1} {\i1}displaystylu v_{\i0}} wtedy wyznacznik M jest sumą wyznaczników M z v 1 {\i1}stystylem v_{\i0} zamiast v, a M z v 2 {\i1}stystystykiem v_{\i0} zamiast v. Te dwa warunki nazywane są wieloliniowością.

• Algebra liniowa
• Numeryczna algebra liniowa