Pierwiastkowanie (pierwiastek n-tego stopnia)

Pierwiastkowanie n-tego stopnia — przejrzysta definicja, własności, przykłady i przekształcenia (reguły mnożenia/dzielenia, związek z potęgami) dla uczniów i nauczycieli.

N-ty korzeń liczby r to liczba, która pomnożona przez siebie n-krotnie daje r. Inną nazwą jest wyrażenie radykalne. Jeśli takim k jest liczba spełniająca równanie:

k n = r {\i1}displaystyle k^{n}=r} $k^{n}=r$

Notację dla n-tego pierwiastka zapisujemy zwykle jako

r n {\i1}displaystyle {\i1}sqrt[n}]{r}} ${\sqrt[{n}]{r}}$ . W praktyce, gdy n wynosi 2, mówimy o pierwiastku kwadratowym, a gdy n = 3 — o pierwiastku sześciennym.

Przykład:

8 3 = 2 {\i1}styk stylistyczny {\i1}sqrt[{3}]{8}=2} ${\sqrt[{3}]{8}}=2$ ponieważ 2 3 = 8 {\i1}styk stylistyczny 2^{3}=8} $2^{3}=8$ . W tym przykładzie 8 nazywa się radicand (liczba pod pierwiastkiem), 3 to indeks, a część w kształcie kratki to symbol radykalny.

Własności i uogólnienia

W ogólnym znaczeniu „n-ty korzeń” to dowolna liczba k spełniająca k^n = r. Dla liczb rzeczywistych i symbolu pierwiastka zwykle rozumiemy pierwiastek główny (principal root), czyli wartość nieujemną gdy jest to możliwe:

Dla parzystego n i r >= 0 istnieje dokładnie jeden nieujemny pierwiastek rzeczywisty: √[n]{r} ≥ 0.
Dla parzystego n i r < 0 nie istnieje pierwiastek rzeczywisty (istnieją natomiast pierwiastki w zbiorze liczb zespolonych).
Dla nieparzystego n każda rzeczywista liczba r ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty (może być ujemny): np. √[3]{−8} = −2.
W zbiorze liczb zespolonych równanie k^n = r ma dokładnie n rozwiązań (różnych) — tzw. n-te pierwiastki liczby r.

Przekształcenia i związki z potęgami

Pierwiastki można zapisywać za pomocą potęg o wykładnikach wymiernych. Dla odpowiednich wartości x, a, b zachodzi:

x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\i1} {\i1} {\i1}sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\i1}frac {a}{b}}=({\i1}sqrt[{b}]{x}})^{\i0}=(x^{a})^{\i1}{b}}} ${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}$ .

W praktyce oznacza to, że pierwiastek można traktować jako potęgę o wykładniku odwrotnym do indeksu: √[b]{x} = x^{1/b}, a potęga pod pierwiastkiem przesuwa się do wykładnika jako mnożnik: √[b]{x^a} = x^{a/b}, pod warunkiem, że operacje mają sens w danym zbiorze (np. dla liczb rzeczywistych wymagamy najczęściej x ≥ 0 przy nieparzystych/ parzystych indeksach zgodnie z powyższymi uwagami).

Własności operacyjne (dla pierwiastka głównego nad liczbami nieujemnymi)

Iloczyn: jeśli a ≥ 0 i b ≥ 0 (dla pierwiastka kwadratowego; analogiczne warunki dla innych parzystych indeksów), to ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$ . Innymi słowy, √(ab) = √a · √b — ale tylko gdy oba czynniki są nieujemne (dla liczb rzeczywistych i pierwiastka głównego).
Iloraz: przy a ≥ 0 i b > 0 zachodzi ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ , czyli √(a/b) = √a / √b (dla pierwiastka głównego i b ≠ 0).
Mieszanie z potęgami: (x^{a})^{b} = x^{ab} oraz √[b]{x^{a}} = x^{a/b}, przy czym należy uważać na znaki i dziedzinę zmiennych — np. (−1)^{1/2} nie jest liczbą rzeczywistą.

Uwaga o warunkach stosowania

Własności typu √(ab)=√a·√b lub √(a/b)=√a/√b są prawdziwe dla pierwiastka głównego nad liczbami nieujemnymi (i odpowiednio przy b ≠ 0). Bez zachowania tych warunków mogą pojawić się błędy (np. dla a = −1, b = −1 nie można rozdzielać pierwiastka w zbiorze liczb rzeczywistych). W algebrze zespolonej należy korzystać z uważnego wyboru gałęzi pierwiastka, ponieważ istnieje wiele wartości pierwiastka n-tego stopnia.

Praktyczne techniki upraszczania

Wyciąganie czynników będących potęgami: np. √[4]{16x^4y^2} = √[4]{(2^4)(x^4)(y^2)} = 2x·√[4]{y^2} = 2x·y^{1/2} (zależnie od dziedziny zmiennych).
Przekształcanie pierwiastków na potęgi ułatwia obliczenia i stosowanie reguł potęg: np. x^{3/2} = x·√x.
Usuwanie pierwiastka z mianownika (racjonalizacja): np. 1/√a można zapisać jako √a/a (dla a > 0).

Dodatkowe przykłady

√9 = 3 (pierwiastek kwadratowy z 9, wartość nieujemna).
√[4]{16} = 2, ponieważ 2^4 = 16.
√[3]{−8} = −2 (dla nieparzystego indeksu dopuszczalne są pierwiastki ujemne).
Dla r = 1 i dowolnego n mamy √[n]{1} = 1, ale w zespolonym zbiorze istnieją też inne pierwiastki (pierwiastki jednostkowe).

Podsumowując, pierwiastkowanie jest odwrotnością potęgowania. Przy pracy z pierwiastkami należy zwracać szczególną uwagę na indeks, znak liczby pod pierwiastkiem oraz na to, czy mamy na myśli pierwiastek główny (najczęściej nieujemny) czy wszystkie n-te pierwiastki w zbiorze zespolonym.