Liczba kwadratowa
Liczba kwadratowa, czasami nazywana także kwadratem doskonałym, jest wynikiem mnożenia liczby całkowitej przez siebie. 1, 4, 9, 16 i 25 to pięć pierwszych liczb kwadratowych. We wzorze, kwadrat liczby n jest oznaczany jako n2 (wykładnik), zwykle wymawiany jako "n podniesione do kwadratu". Nazwa liczba kwadratowa pochodzi od nazwy kształtu; patrz poniżej.
Liczby kwadratowe są nieujemne. Innym sposobem powiedzenia, że liczba (nieujemna) jest liczbą kwadratową, jest to, że jej pierwiastek kwadratowy jest znowu liczbą całkowitą. Na przykład, √9 = 3, więc 9 jest liczbą kwadratową.
Przykłady
Kwadraty (sekwencja A000290 w OEIS) mniejsze niż 702 to:
102 =100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
602 = 3600
612 = 3721
622 = 3844
632 = 3969
642 = 4096
652 = 4225
662 = 4356
672 = 4489
682 = 4624
692 = 4761
Jest nieskończenie wiele liczb kwadratowych, tak jak nieskończenie wiele liczb naturalnych.
Właściwości
Liczba m jest liczbą kwadratową wtedy i tylko wtedy, gdy można utworzyć kwadrat z m równych (mniejszych) kwadratów:
| m = 12 = 1 |
|
| m = 22 = 4 |
|
| m = 32 = 9 |
|
| m = 42 = 16 |
|
| m = 52 = 25 |
|
| Uwaga: Białe przerwy między kwadratami służą jedynie poprawieniu percepcji wzrokowej. | |
Kwadrat o boku długości n ma pole n2.
Wyrażeniem na n-tą liczbę kwadratową jest n2. Jest ona również równa sumie pierwszych n liczb nieparzystych, co widać na powyższych rysunkach, gdzie kwadrat powstaje z poprzedniej liczby poprzez dodanie nieparzystej liczby punktów (zaznaczonych na rysunku magentą). Wzór jest następujący:
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . n^{2}=suma _{k=1}^{n}(2k-1). } 
Tak więc na przykład 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Liczba kwadratowa może kończyć się tylko cyframi 0, 1, 4, 6, 9 lub 25 w podstawie 10, jak poniżej:
- Jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 0, to jej kwadrat kończy się parzystą liczbą 0 (czyli co najmniej 00), a cyfry poprzedzające kończące się 0 muszą również tworzyć kwadrat.
- Jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 1 lub 9, to jej kwadrat kończy się na 1, a liczba utworzona przez jej poprzednie cyfry musi być podzielna przez cztery.
- Jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 2 lub 8, to jej kwadrat kończy się na 4, a cyfra poprzedzająca musi być parzysta.
- Jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 3 lub 7, to jej kwadrat kończy się na 9, a liczba utworzona przez jej poprzednie cyfry musi być podzielna przez cztery.
- Jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 4 lub 6, to jej kwadrat kończy się na 6, a cyfra poprzedzająca musi być nieparzysta.
- Jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 5, to jej kwadrat kończy się na 25, a poprzedzającymi cyframi muszą być 0, 2, 06 lub 56.
Liczba kwadratowa nie może być liczbą doskonałą.
Wszystkie czwarte potęgi, szóste potęgi, ósme potęgi i tak dalej są kwadratami doskonałymi.
Przypadki szczególne
- Jeśli liczba ma postać m5, gdzie m reprezentuje poprzedzające ją cyfry, jej kwadratem jest n25, gdzie n = m × (m + 1) i reprezentuje cyfry przed 25. Na przykład kwadrat liczby 65 może być obliczony przez n = 6 × (6 + 1) = 42, co daje kwadrat równy 4225.
- Jeśli liczba jest w postaci m0, gdzie m reprezentuje poprzedzające cyfry, jej kwadratem jest n00, gdzie n = m2. Na przykład kwadratem liczby 70 jest 4900.
- Jeżeli liczba jest dwucyfrowa i ma postać 5m, gdzie m oznacza cyfrę jednostek, to jej kwadratem jest AABB, gdzie AA = 25 + m oraz BB = m2. Przykład: Aby obliczyć kwadrat liczby 57, należy 25 + 7 = 32 oraz 72 = 49, czyli 572 = 3249.
Nieparzyste i parzyste liczby kwadratowe
Kwadraty liczb parzystych są parzyste (i w rzeczywistości podzielne przez 4), ponieważ (2n)2 = 4n2.
Kwadraty liczb nieparzystych są nieparzyste, ponieważ (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Wynika z tego, że pierwiastki kwadratowe parzystych liczb kwadratowych są parzyste, a pierwiastki kwadratowe nieparzystych liczb kwadratowych są nieparzyste.
Ponieważ wszystkie parzyste liczby kwadratowe są podzielne przez 4, to liczby parzyste w postaci 4n + 2 nie są liczbami kwadratowymi.
Ponieważ wszystkie nieparzyste liczby kwadratowe są postaci 4n + 1, to liczby nieparzyste postaci 4n + 3 nie są liczbami kwadratowymi.
Kwadraty liczb nieparzystych mają postać 8n + 1, ponieważ (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1, a n(n + 1) jest liczbą parzystą.
