Liczba kwadratowa

Kwadraty (sekwencja A000290 w OEIS) mniejsze niż 702 to:

Jest nieskończenie wiele liczb kwadratowych, tak jak nieskończenie wiele liczb naturalnych.

Liczba m jest liczbą kwadratową wtedy i tylko wtedy, gdy można utworzyć kwadrat z m równych (mniejszych) kwadratów:

Kwadrat o boku długości n ma pole n2.

Wyrażeniem na n-tą liczbę kwadratową jest n2. Jest ona również równa sumie pierwszych n liczb nieparzystych, co widać na powyższych rysunkach, gdzie kwadrat powstaje z poprzedniej liczby poprzez dodanie nieparzystej liczby punktów (zaznaczonych na rysunku magentą). Wzór jest następujący:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . n^{2}=suma _{k=1}^{n}(2k-1). }

Tak więc na przykład ⁵² =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Liczba kwadratowa może kończyć się tylko cyframi 0, 1, 4, 6, 9 lub 25 w podstawie 10, jak poniżej:

1. Jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 0, to jej kwadrat kończy się parzystą liczbą 0 (czyli co najmniej 00), a cyfry poprzedzające kończące się 0 muszą również tworzyć kwadrat.
2. Jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 1 lub 9, to jej kwadrat kończy się na 1, a liczba utworzona przez jej poprzednie cyfry musi być podzielna przez cztery.
3. Jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 2 lub 8, to jej kwadrat kończy się na 4, a cyfra poprzedzająca musi być parzysta.
4. Jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 3 lub 7, to jej kwadrat kończy się na 9, a liczba utworzona przez jej poprzednie cyfry musi być podzielna przez cztery.
5. Jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 4 lub 6, to jej kwadrat kończy się na 6, a cyfra poprzedzająca musi być nieparzysta.
6. Jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 5, to jej kwadrat kończy się na 25, a poprzedzającymi cyframi muszą być 0, 2, 06 lub 56.

Liczba kwadratowa nie może być liczbą doskonałą.

Wszystkie czwarte potęgi, szóste potęgi, ósme potęgi i tak dalej są kwadratami doskonałymi.

• Jeśli liczba ma postać m5, gdzie m reprezentuje poprzedzające ją cyfry, jej kwadratem jest n25, gdzie n = m × (m + 1) i reprezentuje cyfry przed 25. Na przykład kwadrat liczby 65 może być obliczony przez n = 6 × (6 + 1) = 42, co daje kwadrat równy 4225.
• Jeśli liczba jest w postaci m0, gdzie m reprezentuje poprzedzające cyfry, jej kwadratem jest n00, gdzie n = ^m2. Na przykład kwadratem liczby 70 jest 4900.
• Jeżeli liczba jest dwucyfrowa i ma postać 5m, gdzie m oznacza cyfrę jednostek, to jej kwadratem jest AABB, gdzie AA = 25 + m oraz BB = ^m2. Przykład: Aby obliczyć kwadrat liczby 57, należy 25 + 7 = 32 oraz ^{72 =} 49, czyli 572 = 3249.

Kwadraty liczb parzystych są parzyste (i w rzeczywistości podzielne przez 4), ponieważ (2n)² = 4n2.

Kwadraty liczb nieparzystych są nieparzyste, ponieważ (2n + 1)² = 4(n2 + n) + 1.

Wynika z tego, że pierwiastki kwadratowe parzystych liczb kwadratowych są parzyste, a pierwiastki kwadratowe nieparzystych liczb kwadratowych są nieparzyste.

Ponieważ wszystkie parzyste liczby kwadratowe są podzielne przez 4, to liczby parzyste w postaci 4n + 2 nie są liczbami kwadratowymi.

Ponieważ wszystkie nieparzyste liczby kwadratowe są postaci 4n + 1, to liczby nieparzyste postaci 4n + 3 nie są liczbami kwadratowymi.

Kwadraty liczb nieparzystych mają postać 8n + 1, ponieważ (2n + 1)² = 4n(n + 1) + 1, a n(n + 1) jest liczbą parzystą.