Liczba ujemna jest liczbą, która wskazuje na liczbę przeciwną. Jeśli liczbą dodatnią jest odległość w górę, to liczbą ujemną jest odległość w dół. Jeżeli liczbą dodatnią jest odległość w prawo, to liczbą ujemną jest odległość w lewo. Jeżeli liczbą dodatnią jest wpłata na rachunek bankowy, wówczas liczbą ujemną jest wypłata z tego rachunku bankowego. Jeżeli liczba dodatnia jest liczbą minut w przyszłości, to liczba ujemna jest liczbą minut w przeszłości. Jeżeli liczba dodatnia oznacza dodawanie, to liczba ujemna oznacza odejmowanie.

Wszystkie liczby liczące (1, 2, 3 itd.) są liczbami dodatnimi. Liczby dodatnie, ujemne i zerowe razem wzięte są nazywane "liczbami podpisanymi" lub liczbami całkowitymi.

Liczba zero nie jest ani dodatnia, ani ujemna. Zero jest swoim przeciwieństwem, więc +0 = -0. To znaczy, że zero kroków w prawo jest takie samo jak zero kroków w lewo.

Ujemna liczba jest zawsze mniejsza od zera.

Liczba ujemna jest zapisywana przez umieszczenie znaku minus, "-", przed liczbą dodatnią. Na przykład, 3 jest liczbą dodatnią, ale -3 jest liczbą ujemną. Odczytuje się ją jako "ujemną trójkę" lub "minus trzy"; oznacza to przeciwieństwo trójki.

Negatywne liczby pozostają na linii numerycznej po lewej stronie od zera. Liczba i jej przeciwieństwo są zawsze w tej samej odległości od zera. Liczba ujemna -3 jest tak samo daleko na lewo od zera jak 3 na prawo od zera:

Number line

Czasami, dla podkreślenia, piszemy parę przeciwstawnych liczb jako -3 i +3.

Liczba i jej przeciwieństwo zawsze dodają do zera. Tak więc suma -3 i +3 wynosi 0. Możemy to zapisać albo jako -3 + 3 = 0 albo jako 3 + (-3) = 0. Dodatkowo, liczba i jej przeciwieństwo mówią, że się "anulują".

Formalna definicja i zakres

W sensie matematycznym, liczba ujemna to dowolna liczba rzeczywista mniejsza od zera. Zatem do liczb ujemnych należą zarówno ujemne liczby całkowite (np. -1, -2, -3), jak i ujemne liczby wymierne (np. -1/2), irracjonalne (np. -√2) czy ujemne liczby rzeczywiste ogólnie.

Własności i reguły działań

  • Wartość bezwzględna: |x| oznacza odległość liczby x od zera. Dla liczby ujemnej x mamy |x| = -x (np. |−5| = 5). Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna.
  • Porządek: Wszystkie liczby ujemne są mniejsze niż zero i mniejsze od każdej liczby dodatniej. Przykład porównania: -5 < -2 < 0 < 3.
  • Dodawanie:
    • Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną: (-3) + (-2) = -5.
    • Jeżeli dodajemy liczbę dodatnią i ujemną, wynik zależy od wartości bezwzględnych — przeważa ta o większej wartości bezwzględnej: 5 + (-3) = 2, ale 3 + (-5) = -2.
    • Liczba i jej przeciwieństwo sumują się do zera: a + (-a) = 0.
  • Odejmowanie:
    • Odejmowanie liczby ujemnej to to samo co dodawanie jej przeciwieństwa: a - (-b) = a + b (np. 4 - (-2) = 6).
    • Można zawsze przekształcić odejmowanie w dodawanie dla wygody: a - b = a + (-b).
  • Mnożenie i dzielenie — reguły znaków:
    • Iloczyn dwóch liczb o tych samych znakach jest dodatni: (+)·(+) = +, (−)·(−) = +. Przykład: (-3)·(-2) = 6.
    • Iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest ujemny: (+)·(−) = −. Przykład: (-3)·2 = -6.
    • Podobne reguły obowiązują przy dzieleniu: (-6) ÷ (-2) = 3, (-6) ÷ 2 = -3.
  • Uwaga dotycząca nierówności: Jeżeli mnożymy obie strony nierówności przez liczbę ujemną, kierunek nierówności się odwraca. Przykład: z 2 < 3 wynika −2 > −3.

Przykłady zastosowań w życiu codziennym

  • Temperatura: -5°C oznacza pięć stopni poniżej zera.
  • Dług/stan konta: saldo -200 zł oznacza, że jesteśmy 200 zł "pod kreską".
  • Przemieszczenie: poruszanie się 3 metrów w lewo od punktu odniesienia można opisać jako −3 m.
  • Czas: chwile w przeszłości można zapisywać jako wartości ujemne względem wybranej osi czasu.

Krótka ściągawka

  • -x to przeciwieństwo liczby x.
  • |x| = odległość x od 0; dla ujemnego x: |x| = −x.
  • Dodawanie przeciwieństw: a + (−a) = 0.
  • Reguły znaków dla mnożenia/dzielenia: minus razy minus daje plus; minus razy plus daje minus.
  • Przy mnożeniu/ dzieleniu przez liczbę ujemną nierówność zmienia zwrot.

Znajomość liczb ujemnych i zasad ich używania jest podstawą arytmetyki i algebry; umożliwia rozwiązywanie równań, analizę zmian (wzrosty i spadki), modelowanie długów i temperatur oraz wiele innych zastosowań matematycznych i praktycznych.