Liczby ujemne — definicja, właściwości i przykłady
Liczby ujemne — przystępne wyjaśnienie definicji, właściwości i praktycznych przykładów z zadaniami, wykresami i wskazówkami krok po kroku.
Liczba ujemna jest liczbą, która wskazuje na liczbę przeciwną. Jeśli liczbą dodatnią jest odległość w górę, to liczbą ujemną jest odległość w dół. Jeżeli liczbą dodatnią jest odległość w prawo, to liczbą ujemną jest odległość w lewo. Jeżeli liczbą dodatnią jest wpłata na rachunek bankowy, wówczas liczbą ujemną jest wypłata z tego rachunku bankowego. Jeżeli liczba dodatnia jest liczbą minut w przyszłości, to liczba ujemna jest liczbą minut w przeszłości. Jeżeli liczba dodatnia oznacza dodawanie, to liczba ujemna oznacza odejmowanie.
Wszystkie liczby liczące (1, 2, 3 itd.) są liczbami dodatnimi. Liczby dodatnie, ujemne i zerowe razem wzięte są nazywane "liczbami podpisanymi" lub liczbami całkowitymi.
Liczba zero nie jest ani dodatnia, ani ujemna. Zero jest swoim przeciwieństwem, więc +0 = -0. To znaczy, że zero kroków w prawo jest takie samo jak zero kroków w lewo.
Ujemna liczba jest zawsze mniejsza od zera.
Liczba ujemna jest zapisywana przez umieszczenie znaku minus, "-", przed liczbą dodatnią. Na przykład, 3 jest liczbą dodatnią, ale -3 jest liczbą ujemną. Odczytuje się ją jako "ujemną trójkę" lub "minus trzy"; oznacza to przeciwieństwo trójki.
Negatywne liczby pozostają na linii numerycznej po lewej stronie od zera. Liczba i jej przeciwieństwo są zawsze w tej samej odległości od zera. Liczba ujemna -3 jest tak samo daleko na lewo od zera jak 3 na prawo od zera:
Czasami, dla podkreślenia, piszemy parę przeciwstawnych liczb jako -3 i +3.
Liczba i jej przeciwieństwo zawsze dodają do zera. Tak więc suma -3 i +3 wynosi 0. Możemy to zapisać albo jako -3 + 3 = 0 albo jako 3 + (-3) = 0. Dodatkowo, liczba i jej przeciwieństwo mówią, że się "anulują".
Formalna definicja i zakres
W sensie matematycznym, liczba ujemna to dowolna liczba rzeczywista mniejsza od zera. Zatem do liczb ujemnych należą zarówno ujemne liczby całkowite (np. -1, -2, -3), jak i ujemne liczby wymierne (np. -1/2), irracjonalne (np. -√2) czy ujemne liczby rzeczywiste ogólnie.
Własności i reguły działań
- Wartość bezwzględna: |x| oznacza odległość liczby x od zera. Dla liczby ujemnej x mamy |x| = -x (np. |−5| = 5). Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna.
- Porządek: Wszystkie liczby ujemne są mniejsze niż zero i mniejsze od każdej liczby dodatniej. Przykład porównania: -5 < -2 < 0 < 3.
- Dodawanie:
- Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną: (-3) + (-2) = -5.
- Jeżeli dodajemy liczbę dodatnią i ujemną, wynik zależy od wartości bezwzględnych — przeważa ta o większej wartości bezwzględnej: 5 + (-3) = 2, ale 3 + (-5) = -2.
- Liczba i jej przeciwieństwo sumują się do zera: a + (-a) = 0.
- Odejmowanie:
- Odejmowanie liczby ujemnej to to samo co dodawanie jej przeciwieństwa: a - (-b) = a + b (np. 4 - (-2) = 6).
- Można zawsze przekształcić odejmowanie w dodawanie dla wygody: a - b = a + (-b).
- Mnożenie i dzielenie — reguły znaków:
- Iloczyn dwóch liczb o tych samych znakach jest dodatni: (+)·(+) = +, (−)·(−) = +. Przykład: (-3)·(-2) = 6.
- Iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest ujemny: (+)·(−) = −. Przykład: (-3)·2 = -6.
- Podobne reguły obowiązują przy dzieleniu: (-6) ÷ (-2) = 3, (-6) ÷ 2 = -3.
- Uwaga dotycząca nierówności: Jeżeli mnożymy obie strony nierówności przez liczbę ujemną, kierunek nierówności się odwraca. Przykład: z 2 < 3 wynika −2 > −3.
Przykłady zastosowań w życiu codziennym
- Temperatura: -5°C oznacza pięć stopni poniżej zera.
- Dług/stan konta: saldo -200 zł oznacza, że jesteśmy 200 zł "pod kreską".
- Przemieszczenie: poruszanie się 3 metrów w lewo od punktu odniesienia można opisać jako −3 m.
- Czas: chwile w przeszłości można zapisywać jako wartości ujemne względem wybranej osi czasu.
Krótka ściągawka
- -x to przeciwieństwo liczby x.
- |x| = odległość x od 0; dla ujemnego x: |x| = −x.
- Dodawanie przeciwieństw: a + (−a) = 0.
- Reguły znaków dla mnożenia/dzielenia: minus razy minus daje plus; minus razy plus daje minus.
- Przy mnożeniu/ dzieleniu przez liczbę ujemną nierówność zmienia zwrot.
Znajomość liczb ujemnych i zasad ich używania jest podstawą arytmetyki i algebry; umożliwia rozwiązywanie równań, analizę zmian (wzrosty i spadki), modelowanie długów i temperatur oraz wiele innych zastosowań matematycznych i praktycznych.
Arytmetyka z liczbami ujemnymi
- Dodanie do czegoś liczby ujemnej jest równoznaczne z odjęciem od tego czegoś liczby dodatniej. Na przykład, dodanie liczby ujemnej "-1" do liczby "9" jest równoznaczne z odjęciem jednej z dziewięciu. W symbolach:
- Odjęcie od czegoś liczby ujemnej jest tym samym, co dodanie do czegoś liczby dodatniej. Na przykład, odjęcie ujemnej liczby "-8" od liczby "6" jest tym samym, co dodanie liczby "6" i liczby "8". W symbolach:
- Liczba ujemna pomnożona przez inną liczbę ujemną daje liczbę dodatnią. Na przykład, pomnożenie liczby ujemnej "-3" przez liczbę ujemną "-2" jest takie samo jak pomnożenie liczby "3" przez liczbę "2". W symbolach:
- Liczba ujemna pomnożona przez liczbę dodatnią daje liczbę ujemną. Na przykład, pomnożenie liczby ujemnej "-4" przez liczbę dodatnią "5" jest jak pomnożenie liczby "4" przez liczbę "5", ale odpowiedź jest ujemna. W symbolach:
Negatywne wykorzystanie liczby
Kiedy człowiek jest biedny, ludzie czasami mówią, że ma ujemną sumę pieniędzy. Negatywne liczby są używane w księgowości i nauce.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest liczba ujemna?
O: Liczba ujemna to liczba, która wskazuje przeciwieństwo. Na przykład, jeżeli liczba dodatnia to odległość w górę, to liczba ujemna to odległość w dół. Jeżeli liczba dodatnia oznacza dodawanie, to liczba ujemna oznacza odejmowanie.
P: Jak zapisuje się liczbę ujemną?
O: Liczbę ujemną zapisuje się przez postawienie znaku minus "-" przed dodatnią wersją tej samej liczby. Na przykład, 3 jest liczbą dodatnią, a -3 jest jej odpowiednikiem w wersji ujemnej.
P: Co to są liczby podpisane?
O: Liczby podpisane lub liczby całkowite to zbiór wszystkich liczb dodatnich, liczb ujemnych i zera razem wziętych. Samo zero nie ma żadnego szczególnego znaku, ponieważ można je traktować jako swoje przeciwieństwo; tak więc +0 = -0.
P: Gdzie na linii rzeczywistej znajdują się liczby ujemne?
O: Liczby ujemne znajdują się po lewej stronie od zera na linii rzeczywistej.
P: Co się stanie, gdy doda Pan do siebie dwie przeciwne podpisane liczby?
O: Gdy doda się dwie przeciwne podpisane liczby, zawsze się one znoszą i dają 0, na przykład -3 + 3 = 0 lub 3 + (-3) = 0.
P: Czy można w inny sposób przedstawić wszystkie ujemne liczby rzeczywiste?
O: Tak, wszystkie ujemne liczby rzeczywiste można również przedstawić w postaci R-{{mathbb {R} _{-}}. .
Przeszukaj encyklopedię