Sekwencja (czasami zwana też ciągiem) to uporządkowany zbiór elementów, które następują po sobie w określonej kolejności. W języku potocznym oznacza to serię zdarzeń jeden po drugim; w matematyce sekwencja to ciąg obiektów (np. liczb, symboli, figur), w którym ważna jest właśnie kolejność. Przykładem są sekwencje (Niebieski, Czerwony, Żółty) oraz (Żółty, Niebieski, Czerwony): choć zawierają te same elementy, to ze względu na inną kolejność nie są równe. Sekwencje składające się z liczb bywają nazywane progresjami.

Termin ten używany jest w matematyce i innych dyscyplinach. Sekwencja może być zapisana przez wypisanie jej elementów (gdy jest krótka i skończona) albo przez podanie reguły określającej element na danej pozycji, co jest konieczne dla sekwencji nieskończonych.

Notacja i zapis

Elementy sekwencji zwykle oznacza się symbolem z indeksem: an (czyt. "a n-ty"), gdzie n to numer pozycji (indeks). Można spotkać indeksowanie zaczynające się od 1 (a1, a2, ...) lub od 0 (a0, a1, ...); ważne jest tylko, aby było to jasno określone. Skończoną sekwencję zapisuje się jako (a1, a2, ..., ak), a nieskończoną jako (an)n=1∞ lub po prostu a1, a2, a3, ...

Definicja przez regułę

Dla sekwencji nieskończonych częściej podaje się wzór lub przepis, który mówi, czym jest element na pozycji n. Taka reguła, która pozwoli znaleźć element o dowolnym indeksie, opisuje całą sekwencję. Jeśli znasz pojęcie funkcji, to sekwencję można traktować jako funkcję z indeksów (np. liczb naturalnych) w zbiór elementów sekwencji.

Przykład prostego wzoru: element na pozycji n jest równy 2 razy n, czyli an = 2n. To określa sekwencję parzystych liczb dodatnich: 2, 4, 6, 8, ... — pierwsza liczba to 2×1 = 2, druga 2×2 = 4, a setna 2×100 = 200. Dzięki wzorowi możemy określić dowolny wyraz sekwencji bez konieczności zapisywania wszystkich wcześniejszych elementów.

Rodzaje sekwencji

  • Skończone — mają ustaloną liczbę elementów, np. (1, 2, 3, 4, 5). (Zobacz także: skończone.)
  • Nieskończone — trwają bez końca, np. sekwencja wszystkich dodatnich liczb parzystych 2, 4, 6, 8, ... (Zobacz także: nieskończone.)
  • Progresja arytmetyczna — różnica między kolejnymi wyrazami jest stała: an+1 = an + d. Przykład: 3, 6, 9, 12, ... (tu d = 3).
  • Progresja geometryczna — iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały: an+1 = r·an. Przykład: 2, 4, 8, 16, ... (tu r = 2).
  • Sekwencje rekurencyjne — wyrazy są określone na podstawie wcześniejszych wyrazów, np. ciąg Fibonacciego: F1=1, F2=1, Fn=Fn-1+Fn-2 dla n≥3.
  • Ciągi monotoniczne — rosnące lub malejące; ograniczone — mają z góry lub z dołu ograniczenie; zbieżne i rozbieżne — dotyczą zachowania przy n→∞ (np. an=1/n zbiega do 0, an=n rozbiega się).

Przykłady

  • Parzyste liczby dodatnie: 2, 4, 6, 8, ...; wzór: an=2n.
  • Ciag arytmetyczny: 5, 8, 11, 14, ...; wzór: an=5+3(n−1).
  • Ciag geometryczny: 1, 2, 4, 8, 16, ...; wzór: an=2n−1.
  • Ciąg Fibonacciego: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... (rekurencyjnie).
  • Przykład zbieżności: an=1/n → 0 gdy n→∞.

Własności i pojęcia powiązane

  • Podciąg — sekwencja utworzona przez wybranie niektórych wyrazów oryginalnej sekwencji w zachowanej kolejności (np. z 1,2,3,4,5 podciągi to 1,3,5 itp.).
  • Równoważność sekwencji — dwie sekwencje są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie wyrazy na tych samych pozycjach są równe.
  • Granica sekwencji — pojęcie kluczowe w analizie: mówimy, że sekwencja jest zbieżna do pewnej liczby L, jeśli jej wyrazy stają się dowolnie bliskie L dla wystarczająco dużych indeksów.

Zastosowania

Sekwencje występują w wielu dziedzinach: analizie matematycznej (badanie zbieżności), teorii liczb, kombinatoryce, informatyce (kolejki, iteracje), fizyce (procesy dyskretne), ekonomii (szeregi czasowe) i innych. Pozwalają modelować procesy dyskretne oraz opisywać i analizować zachowanie ciągów wartości.

Podsumowując: sekwencja to uporządkowany zbiór elementów, w którym kolejność ma znaczenie. Może być opisana przez wypisanie elementów (gdy jest skończona) lub przez wzór/rekurencję (regułę, która pozwoli znaleźć dowolny wyraz); w ujęciu formalnym jest to rodzaj funkcji z indeksów na zbiór elementów.