W matematyce, równanie algebraiczne, zwane również równaniem wielomianowym nad danym polem jest równaniem formy

P = Q {\i1}Displastyle P=Q} {\displaystyle P=Q}

gdzie P i Q są wielomianami nad tym polem. Wielomiany mogą zależeć od jednej zmiennej (równania jednozmienne) lub od kilku zmiennych (równania wielozmiennowe, czyli wielomiany wieloczynnikowe). Przykładowo, poniższe równanie jest algebraicznym równaniem nad liczbami racjonalnymi:

 

W praktyce często zapisuje się równanie w postaci sprowadzonej do zera, ponieważ dwie postaci są równoważne (mają ten sam zbiór rozwiązań). Dwa równania są nazywane równoważnymi, jeśli ich zbiory rozwiązań pokrywają się dokładnie. Równanie P = Q{\displaystyle P=Q} jest równoważne z postacią P - Q = 0 {\i0} {\i1}spistylem P-Q=0} {\displaystyle P-Q=0}, zatem badanie równań algebraicznych sprowadza się do badania własności wielomianów i ich zer.

Sprowadzanie do współczynników całkowitych

Jeżeli współczynniki wielomianów są wymierne, można zwykle wyczyścić mianowniki przez pomnożenie przez wspólny mianownik wszystkich współczynników, uzyskując równoważne równanie z całkowitymi współczynnikami. Dzięki temu badania dotyczące dzielenia wielomianów, kryteriów pierwiastków wymiernych czy własności niezmienników stają się prostsze. W tekście powyżej pokazano przykład, gdzie po odpowiednich przekształceniach otrzymano wielomian

42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\i1}styk wyświetlacza 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}

Takie działanie jest standardowe: mnożymy obie strony równania przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników współczynników, a następnie (opcjonalnie) skracamy wielki wspólny dzielnik współczynników, aby uzyskać wielomian o współczynnikach całkowitych i względnie pierwszych.

Rozwiązania — korzenie i zbiory rozwiązań

Rozwiązania równania to wartości zmiennych, dla których równanie przyjmuje prawdę. W kontekście wielomianów takie wartości nazywane są pierwiastkami lub korzeniami wielomianu. Przy rozwiązywaniu trzeba zawsze określić, w jakim zbiorze poszukujemy rozwiązań — na przykład w liczbach całkowitych, wymiernych, rzeczywistych czy zespolonych. To oznaczenie wpływa na techniki i wyniki:

  • Równania rozwiązywane w liczbach całkowitych lub wymiernych często prowadzą do problemów diofantycznych — sprawdza się tu arytmetykę liczb całkowitych oraz metody teorii liczb. W tekście zachowano oryginalne określenie równaniem dwufantowym.
  • W liczbach wymiernych i całkowitych użyteczne są kryteria typu twierdzenie o pierwiastkach wymiernych (rational root test) czy twierdzenia o dzielnikach współczynników.
  • W liczbach rzeczywistych interesuje nas wykres wielomianu, zmiany znaków, multiplicity pierwiastków oraz rozmieszczenie pierwiastków rzeczywistych.
  • W liczbach zespolonych obowiązuje Fundamentalne twierdzenie algebry: każdy wielomian stopnia n>0 o współczynnikach zespolonych ma dokładnie n pierwiastków (zliczając krotności).

Wielokrotność pierwiastków i rozkład na czynniki

Pierwiastek wielomianu może mieć krotność większą od 1 — wtedy mówi się, że jest to pierwiastek wielokrotny. Rozkład wielomianu na czynniki liniowe (w nadziei na znalezienie wszystkich pierwiastków) w ciele zespolonym ma formę iloczynu czynników postaci (x − r_i), gdzie r_i to pierwiastki, a ich występowanie odpowiada krotności. W ciałach mniejszych (np. w Q lub R) nie zawsze da się rozłożyć całkowicie na czynniki liniowe; wówczas pozostają nierozkładalne wielomiany o wyższym stopniu.

Metody rozwiązywania

  • Faktoryzacja — jeśli wielomian można rozłożyć na czynniki o niższym stopniu, rozwiązanie sprowadza się do rozwiązania mniejszych równań.
  • Wzory — istnieje wzór kwadratowy (dla stopnia 2). Dla stopnia 3 i 4 istnieją wzory algebraiczne (odpowiednio Cardano i Ferrari), ale ich praktyczne stosowanie bywa złożone.
  • Twierdzenie Abela‑Ruffiniego — udowodniono, że nie istnieje ogólny wzór algebraiczny (wyrażony przez pierwiastki) rozwiązujący równania stopnia 5 i wyższe dla wszystkich wielomianów; to wynik Nielsa Henrika Abela. Teoretyczne kryteria rozstrzygające, które wielomiany stopnia ≥5 są rozwiązywalne przez pierwiastki, podała teoria Galois (od Évariste’a Galois).
  • Metody numeryczne — Newtona, metoda bisekcji, metody wielomianowe typu Bairstow, algorytm Duranda–Kernera i inne służą do znajdowania przybliżonych miejsc zerowych, zwłaszcza gdy analityczne rozwiązanie jest niemożliwe lub niepraktyczne.
  • Narzędzia algebraiczne — wynikants, eliminacje (metody Sylvestera, Macaulaya), układy równań wielomianowych i teoria idealów umożliwiają badanie istnienia i liczby rozwiązań dla układów wielomianowych.

Wielomiany a liczby algebraiczne

Korzenią wielomianu o współczynnikach wymiernych (albo całkowitych) może być liczba algebraiczna — czyli pierwiastek pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Zbiór liczb algebraicznych jest zamknięty algebraicznie i zawiera wszystkie liczby wymierne. Liczby takie są ważne w teorii ciał i w algebrze.

Równania wielozmiennowe i geometria algebraiczna

Równania w wielu zmiennych prowadzą do pojęć krzywych algebraicznych, powierzchni i ogólnie zbiorów algebraicznych. Zbiór wspólnych rozwiązań układu wielomianów nad danym ciałem tworzy tzw. zbiór algebraiczny; jego badanie jest przedmiotem geometrii algebraicznej. Narzędzia takie jak teoria pierścieni, ideełów i spektrum pierścieni (Spec) są tutaj fundamentalne.

Krótka historia

Starożytne cywilizacje (np. Egipcjanie i Babilończycy) znały metody rozwiązywania równań kwadratowych. Później, w renesansie, Gerolamo Cardano opracował rozwiązanie równań kubicznych, a jego współpracownik Lodovico Ferrari — rozwiązanie równania czwartego stopnia. W 1824 roku Niels Henrik Abel wykazał ogólną niemożliwość ujęcia rozwiązań równań stopnia piątego (i wyższych) w postaci skończonych wyrażeń z użyciem pierwiastków elementarnych. Teoria Galois dała kryteria decydujące o rozwiązywalności danego wielomianu przez pierwiastki, łącząc strukturę grup permutacji pierwiastków z możliwością przedstawienia rozwiązań w postaci algebraicznej. Przykładem klasycznym prostego rozwiązania jest dodatnie rozwiązanie równania kwadratowego

{\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

{\displaystyle x^{2}+x-1=0}

Podsumowanie

Równania algebraiczne stanowią centralny dział matematyki łączący algebrę, analizę i geometrię. Ich badanie obejmuje zarówno metody symboliczne (faktoryzacja, wzory, teoria Galois), jak i numeryczne oraz pojęcia z teorii liczb i geometrii algebraicznej. W zależności od badanego ciała (Q, R, C, pola skończone itp.) oraz liczby zmiennych dostępne metody i właściwości rozwiązań znacząco się różnią.