Równanie algebraiczne
W matematyce, równanie algebraiczne, zwane również równaniem wielomianowym nad danym polem jest równaniem formy
P = Q {\i1}Displastyle P=Q} 
gdzie P i Q są wielomianami nad tym polem i mają jedną (niepowtarzalną) lub więcej niż jedną (wieloczynnikową) zmienną. Na przykład:
jest algebraicznym równaniem nad liczbami racjonalnymi.
Dwa równania są nazywane równoważnymi, jeśli mają ten sam zestaw rozwiązań. Oznacza to, że wszystkie rozwiązania drugiego równania muszą być również rozwiązaniami pierwszego i na odwrót. Równanie P = Q {\i0}jest równoznaczne z P - Q = 0 {\i0} {\i1}spistylem P-Q=0} 
. Tak więc badanie równań algebraicznych jest równoważne z badaniem wielomianów.
Jeśli równanie algebraiczne jest wyższe niż racjonalne, można je zawsze zamienić na równoważne, gdzie wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi. Na przykład, w podanym powyżej równaniu mnożymy 42 = 2-3-7 i grupujemy wyrażenia w pierwszym członie. Równanie to jest przeliczane na
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\i1}styk wyświetlacza 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Rozwiązania równania są wartościami zmiennych, dla których równanie jest prawdziwe. Ale dla równań algebraicznych są one również nazywane korzeniami. Rozwiązując równanie, musimy powiedzieć, w którym zestawie rozwiązania są dozwolone. Na przykład, dla równania nad rationałami, można znaleźć rozwiązania w liczbach całkowitych. Następnie, równanie to jest równaniem dwufantowym. Można też szukać rozwiązań w zakresie liczb złożonych. Można też szukać rozwiązań w liczbach rzeczywistych.
Starożytni matematycy pragnęli rozwiązań równań jednozmiennych (czyli równań z jedną zmienną) w postaci wyrażeń radykalnych, takich jak x = 1 + 5 2 {\i1+{\i0} {\i1+{\i1} {\i1}{\i1}dla
pozytywnego rozwiązania x 2 + x - 1 = 0 {\i1}{\i1}displaistylu x^{\i0}+x-1=0}
. Starożytni Egipcjanie wiedzieli jak w ten sposób rozwiązywać równania stopnia 2 (czyli równania, w których największa moc zmiennej wynosi 2). W okresie renesansu Gerolamo Cardano rozwiązał równanie stopnia 3, a Lodovico Ferrari rozwiązał równanie stopnia 4. Wreszcie Niels Henrik Abel udowodnił w 1824 roku, że równanie stopnia 5 i równania wyższego stopnia nie zawsze mogą być rozwiązane za pomocą rodników. Teoria Galois, nazwana na cześć Évariste Galois, została wprowadzona w celu podania kryteriów decydujących o tym, czy równanie można rozwiązać za pomocą rodników.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest równanie algebraiczne?
O: Równanie algebraiczne to równanie w postaci P = Q, gdzie P i Q są wielomianami nad daną dziedziną z jedną lub więcej zmiennymi.
P: W jaki sposób dwa równania mogą być równoważne?
O: Dwa równania uważa się za równoważne, jeżeli mają ten sam zbiór rozwiązań, to znaczy, że wszystkie rozwiązania jednego z nich muszą być również rozwiązaniami drugiego i odwrotnie.
P: Co to znaczy rozwiązać równanie?
O: Rozwiązanie równania oznacza znalezienie wartości zmiennych, które sprawiają, że równanie jest prawdziwe. Wartości te nazywane są korzeniami.
P: Czy równania algebraiczne na liczbach racjonalnych można zawsze przekształcić w równania o współczynnikach całkowitych?
O: Tak, mnożąc obie strony przez liczbę, np. 42 = 2-3-7 i grupując wyrazy w pierwszym członie, każde równanie algebraiczne nad liczbami racjonalnymi można przekształcić w równanie o współczynnikach całkowitych.
P: Kiedy starożytni matematycy potrzebowali wyrażeń radykalnych dla równań jednowymiarowych?
O: Starożytni matematycy potrzebowali wyrażeń radykalnych (jak x=1+√5/2) dla równań jednowymiarowych (równań z jedną zmienną) w okresie renesansu.
P: Kto w tym czasie rozwiązywał równania stopnia 3 i 4?
O: Gerolamo Cardano rozwiązał w tym czasie równania stopnia 3, a Lodovico Ferrari równania stopnia 4.
P: Kto udowodnił, że równania wyższego stopnia nie zawsze można rozwiązać za pomocą rodników?
O: Niels Henrik Abel udowodnił w 1824 roku, że równania wyższych stopni nie zawsze można rozwiązać za pomocą rodników.
