Geometria euklidesowa
Geometria euklidesowa to system w matematyce. Ludzie uważają, że Euklides był pierwszą osobą, która go opisała, dlatego nosi on jego imię. Po raz pierwszy opisał ją w swoim podręczniku Elementy. Książka ta była pierwszą systematyczną dyskusją na temat geometrii, jaką wówczas znano. W książce tej Euklides przyjmuje najpierw kilka aksjomatów. Stanowią one bazę dla późniejszych prac. Są one intuicyjnie jasne. Wychodząc od tych aksjomatów, można udowodnić inne twierdzenia.
W XIX wieku odkryto inne formy geometrii. Są to geometrie nieeuklidesowe. Carl Friedrich Gauss, János Bolyai i Nikolai Ivanovich Lobachevsky to niektórzy ludzie, którzy rozwinęli takie geometrie. Bardzo często nie korzystają one z postulatu równoległości, ale z pozostałych czterech aksjomatów.
Aksjomaty
Euklides przyjmuje następujące założenia. Są to aksjomaty i nie muszą być udowadniane.
- Dwa dowolne punkty można połączyć linią prostą
- Każdy odcinek linii prostej można wydłużyć do nieskończoności, więc staje się on linią prostą.
- Za pomocą prostego odcinka można narysować okrąg tak, że jeden koniec odcinka jest środkiem okręgu, a drugi leży na okręgu. Odcinek linii staje się promieniem okręgu.
- Wszystkie kąty proste są przystające
- Postulat równoległości. Jeśli dwie proste przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, to te dwie proste nieuchronnie muszą się przecinać po tej stronie, jeśli przedłużymy je wystarczająco daleko.
Status
Geometria euklidesowa jest teorią pierwszego rzędu. Za jej pomocą można formułować i dowodzić twierdzenia typu Dla wszystkich trójkątów.... Stwierdzenia typu Dla wszystkich zbiorów trójkątów... są poza zakresem teorii.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest geometria euklidesowa?
O: Geometria euklidesowa to system w matematyce, który został po raz pierwszy opisany przez Euklidesa w jego podręczniku Elementy. Składa się on z kilku aksjomatów, które stanowią podstawę późniejszych prac, a z tych aksjomatów można udowodnić inne twierdzenia.
P: Kto napisał Elementy?
O: Euklides napisał Elementy, które były pierwszym systematycznym omówieniem geometrii w jej ówczesnym kształcie.
P: Jakie są przykłady geometrii nieeuklidesowych?
O: Geometrie nieeuklidesowe zostały opracowane w XIX wieku przez Carla Friedricha Gaussa, Jבnosa Bolyai i Mikołaja Iwanowicza Łobachevskiego. Często nie korzystają one z postulatu równoległości, lecz opierają się na pozostałych czterech aksjomatach.
P: Co omawiają elementy?
O: Elementy omawiają geometrię, jaka była znana w tamtym czasie i przedstawiają jej systematyczną dyskusję.
P: Ile aksjomatów ma geometria euklidesowa?
O: Geometria euklidesowa ma kilka aksjomatów, które stanowią podstawę do późniejszych prac.
P: Kto opracował geometrię nieeuklidesową?
O: Geometrie nieeuklidesowe zostały opracowane przez Carla Friedricha Gaussa, Jבnosa Bolyai i Mikołaja Iwanowicza Lobachevskiego w XIX wieku.
P: Czy geometria nieeuklidesowa wykorzystuje wszystkie pięć aksjomatów, czy tylko cztery?
O: W geometrii nieeuklidesowej często nie stosuje się postulatu równoległości, lecz raczej opiera się na czterech z pięciu aksjomatów.
