Ciąg Fibonacciego — definicja, wzory (F_n) i przykłady
Ciąg Fibonacciego — definicja, wzory i praktyczne przykłady: poznaj regułę F_n = F_{n-1}+F_{n-2}, wzór zamknięty, zastosowania i krok po kroku obliczanie wyrazów.
Liczby Fibonacciego to ciąg liczb z matematyki nazwany na cześć Leonarda z Pizy, znany jako Fibonacciego. Fibonacci napisał w 1202 roku książkę o nazwie Liber Abaci ("Księga Obliczeń"), która wprowadziła wzór liczbowy do matematyki zachodnioeuropejskiej, choć matematycy w Indiach już o tym wiedzieli.
Pierwsza liczba formacji to 0, druga liczba to 1, a każda następna jest równa dodaniu dwóch liczb tuż przed nią. Na przykład 0+1=1 i 3+5=8. Ta sekwencja trwa wiecznie.
Może to być napisane jako relacja powtarzalności,
F n = F n - 1 + F n - 2 {\i1}=F_{\i1}+F_{\i1}+F_{\i0}} 
Aby miało to sens, należy podać co najmniej dwa punkty wyjścia. Tutaj, F 0 = 0
{\i1}i F 1 = 1 {\i1} 
{\i1}...{\i1}
Formalna definicja
Rekurencja: dla n ≥ 2 zachodzi
Fn = Fn−1 + Fn−2, z warunkami początkowymi F0 = 0 i F1 = 1.
Uwaga: w literaturze spotyka się także konwencję zaczynającą indeksowanie od 1, gdzie F1=1, F2=1 — to drobna różnica indeksowa, ale struktura ciągu pozostaje taka sama.
Pierwsze wyrazy ciągu
Pierwsze wyrazy (przy konwencji F0=0, F1=1) to:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...
Wzory i własności
- Wzór zamknięty (wzór Bineta):
Niech φ = (1 + √5)/2 i ψ = (1 − √5)/2. Wtedy
Fn = (φn − ψn) / √5.
Dzięki temu wzorowi można obliczyć Fn bez użycia rekurencji.
- Stosunek sąsiednich wyrazów: stosunek Fn+1/Fn dąży do złotej liczby φ ≈ 1,6180339887... wraz ze wzrostem n.
- Sumy:
- Suma pierwszych n wyrazów: ∑k=0n Fk = Fn+2 − 1.
- Suma kwadratów: ∑k=0n Fk2 = Fn · Fn+1.
- Własności arytmetyczne: NWD(Fm, Fn) = Fgcd(m,n). Ponadto zachodzi tożsamość Cassiniego:
Fn+1·Fn−1 − Fn2 = (−1)n.
- Reprezentacje macierzowe i szybkie algorytmy: właściwości rekurencji pozwalają na obliczanie Fn w czasie logarytmicznym przez szybkie potęgowanie macierzy [[1,1],[1,0]] lub algorytm "fast doubling".
Przykłady obliczeń
- F6 = F5 + F4 = 5 + 3 = 8.
- F10 = 55 (ciąg: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55).
- Za pomocą wzoru Bineta: F10 = (φ10 − ψ10)/√5 ≈ 55.
Zastosowania i przykłady w praktyce
- W przyrodzie: układ liści na łodydze, spirale w szyszkach i skorupkach ślimaków często wykazują związki z liczbami Fibonacciego i złotą proporcją.
- W informatyce: modelowanie rekurencyjnych funkcji (np. rekurencyjny algorytm obliczania Fibonacciego — przykład, dlaczego należy użyć programowania dynamicznego), struktury danych i algorytmy wykorzystujące szybkie potęgowanie.
- W sztuce i projektowaniu: złota proporcja (powiązana ze stosunkiem wyrazów ciągu) bywa wykorzystywana do komponowania estetycznych proporcji.
Krótka notka historyczna
Choć ciąg przypisuje się Leonardowi z Pizy (Fibonacciowi) z powodu jego popularyzacji w Europie w "Liber Abaci" (1202), odkrycia i użycie podobnych sekwencji były znane wcześniej w matematyce indyjskiej. Fibonacci przedstawił go m.in. na przykładzie hipotetycznego rozmnażania się par królików, co uczyniło sekwencję znaną szerokiej publiczności.
Jeżeli chcesz, mogę dodać: dowód wzoru Bineta, implementację algorytmu obliczającego Fn w wybranym języku programowania albo tabelę pierwszych N wyrazów ciągu.
Spirala Fibonacciego utworzona przez narysowanie linii przez kwadraty w płytce Fibonacciego; ta wykorzystuje kwadraty o rozmiarach 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 i 34; patrz Złota spirala
Liczby Fibonacciego w przyrodzie
Liczby Fibonacciego są związane ze złotą proporcją, która pojawia się w wielu miejscach w budynkach i w przyrodzie. Niektóre przykłady to wzór liści na łodydze, części ananasa, kwitnienie karczocha, rozwijanie paproci i układ szyszki sosnowej. Numery Fibonacciego znajdują się również w drzewie genealogicznym pszczół miodnych.
Głowica słonecznika wyświetlająca na zewnątrz różyczki w spiralach 34 i 55
Formuła Binet's Formula
N-ta liczba Fibonacciego może być zapisana w złotym stosunku. W ten sposób unika się konieczności stosowania rekurencji do obliczania liczb Fibonacciego, co może zająć komputerowi dużo czasu.
F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\i1}== {\i1}frac {\i1}varphi ^{\i0}-(1-\i1varphi )^{\i1}}{\i1}sqrt {5}}}}} 
Where φ = 1 + 5 2 {\i1+ \i1}displaystyle \i0}varphi ={\i0}frac {\i1+{\i1}sqrt {\i1}{\i1}{2}} 
...złotą proporcję.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest ciąg Fibonacciego?
O: Ciąg Fibonacciego to wzór liczb w matematyce, nazwany na cześć Leonarda z Pizy, znanego jako Fibonacci. Zaczyna się od 0 i 1, a każda następna liczba jest równa dodaniu do siebie dwóch liczb znajdujących się tuż przed nią.
P: Kto wprowadził ten wzór liczbowy do matematyki zachodnioeuropejskiej?
O: Fibonacci napisał w 1202 roku książkę Liber Abaci ("Księga obliczeń"), która wprowadziła wzór liczbowy do matematyki zachodnioeuropejskiej, chociaż matematycy w Indiach już o nim wiedzieli.
P: Jak można zapisać ciąg Fibonacciego?
O: Ciąg Fibonacciego można zapisać jako relację rekurencji, gdzie F_n = F_n-1 + F_n-2 dla n ≥ 2.
P: Jakie są punkty wyjścia tej zależności rekurencyjnej?
O: Aby to miało sens, trzeba podać co najmniej dwa punkty wyjścia. Tutaj F_0 = 0 i F_1 = 1.
P: Czy ciąg Fibonacciego trwa wiecznie?
O: Tak, ciąg trwa wiecznie.
P: Gdzie matematycy po raz pierwszy poznali ten wzór liczbowy? O: Matematycy w Indiach znali już ten wzór liczbowy, zanim został on wprowadzony do Europy Zachodniej przez Leonarda z Pizy (Fibonacci).
Przeszukaj encyklopedię