Złota proporcja (φ): definicja, wartość 1.618 i własności

Złota proporcja (φ) — definicja, wartość 1.618, właściwości i zastosowania. Poznaj wzór, dowód i ciekawostki o tej wyjątkowej liczbie.

Dla dwóch liczb — większej a i mniejszej b — stosunek tych liczb to wynik ich podzielenia, czyli a/b. Można też porównać sumę obu liczb do większej z nich: stosunek (a+b)/a. Jeżeli te dwa stosunki są równe tej samej liczbie, to tę liczbę nazywamy złotym stosunkiem. Litera grecka φ {\i1} {\i1}wyraźny styl \i0} (phi) jest powszechnie używana jako nazwa tej liczby.

Definicja i podstawowy wzór

Jeśli przyjąć, że b = 1 oraz a/b = φ {\i1}displaystylu \i0}varphi \i0} , to a = φ . Drugi stosunek (a+b)/a ma wtedy postać (). Ponieważ oba stosunki są równe tej samej liczbie, otrzymujemy równość

Z tej równości wynika równanie kwadratowe φ² = φ + 1. Rozwiązaniem tego równania (biorąc pod uwagę tylko dodatni pierwiastek) jest wzór zamknięty

Tu oznacza pierwiastek kwadratowy z 5 — liczbę, która pomnożona przez siebie daje 5: .

Wartość liczby φ

Dziesiętnie φ ≈ 1,61803398874989484820… — jest to liczba niewymierna, dlatego jej zapis dziesiętny jest nieskończony i nieokresowy. W szczególności:

• φ² = φ + 1, stąd φ = (1+√5)/2.
• 1/φ = φ − 1 (czyli odwrotność φ równa się φ pomniejszonemu o 1, co daje ≈ 0,61803...).
• Drugim rozwiązaniem równania x² = x + 1 jest tzw. sprzężona liczba ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,6180339887…, dla której zachodzą zależności ψ + φ = 1 oraz ψ·φ = −1.

Własności algebraiczne i arytmetyczne

• φ jest liczbą algebraiczną stopnia 2 — jest pierwiastkiem wielomianu minimalnego x² − x − 1 = 0.
• Ma najprostszy rozwinięcie w łańcuchowy ułamek postaci [1;1,1,1,…], czyli nieskończony ciąg jedynek. To właśnie sprawia, że jest „najtrudniejsza” do aproksymacji przez ułamki zwykłe (ma najmniejszą możliwą współczynnik Lagrange’a spośród liczb o danym rodzaju ciągłego ułamka).
• Można ją zapisać jako nieskończony ułamek ciągły: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(…))).
• Nieskończony pierwiastek: φ = sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + …))) — granica tego wyrażenia jest dodatnim rozwiązaniem x² = x + 1, czyli φ.

Powiązania z ciągiem Fibonacciego

Stosunki kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego dążą do złotej proporcji:

• Jeśli (F_n) to ciąg Fibonacciego (F_0 = 0, F_1 = 1, F_{n+1} = F_n + F_{n-1}), to lim_{n→∞} F_{n+1}/F_n = φ.
• Wzór Binet’a wyrażający F_n przez φ i jego sprzężenie ψ brzmi: F_n = (φ^n − ψ^n)/√5.
• Zachodzi także tożsamość: φ^n = F_n·φ + F_{n-1} dla n ≥ 1.

Geomatria i zastosowania

• Złoty podział występuje w geometrii: prostokąt o bokach w stosunku φ (tzw. złoty prostokąt) po odcięciu kwadratu daje mniejszy prostokąt podobny do wyjściowego.
• Wielokąt foremny: regularny pięciokąt i gwiazda pentagramu zawierają odcinki w stosunku φ — stąd φ pojawia się w konstrukcjach związanych z pięciokątem i pięciokątną symetrią.
• W przyrodzie, sztuce i architekturze często przywołuje się złotą proporcję (np. w kompozycji, w spirali zbliżonej do logarytmicznej). Należy jednak zaznaczyć, że przypisywanie φ „uniwersalnej estetycznej wartości” bywa przesadzone — w wielu przypadkach korelacje są słabe lub przypadkowe.

Kilka dodatkowych uwag

• Zapis dziesiętny zaczyna się od: 1.6180339887…; ponieważ φ jest nieracjonalna, rozwinięcie jest nieskończone i nieokresowe.
• Jako liczba algebraiczna stopnia 2 jest też przykładem liczby całkowicie określonej przez prostą zależność algebraiczną — stąd łatwo uzyskać jej wiele własności i powiązań z innymi strukturami matematycznymi.

Podsumowując: złota proporcja φ to wyjątkowa liczba wyznaczona warunkiem a/b = (a+b)/a, którą można wyrazić wzorem φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,6180339887…; posiada bogate własności algebraiczne i geometryczne oraz liczne powiązania z ciągiem Fibonacciego i symetriami występującymi w geometrii.

Złota proporcja w przyrodzie

W przyrodzie, złoty stosunek jest często używany do układania liści lub kwiatów. Wykorzystują one złoty kąt około 137,5 stopnia. Liście lub kwiaty ułożone pod tym kątem najlepiej wykorzystują światło słoneczne.

Użycie złotego kąta optymalnie wykorzysta światło słoneczne. Jest to widok z góry.


Liść bluszczu pospolitego, wykazujący złotą proporcję

Pytania i odpowiedzi

P: Jaki jest stosunek dwóch liczb?

P: Jak można znaleźć inny stosunek?

P: Jak się nazywa sytuacja, w której te dwa stosunki są sobie równe?

P: Jeżeli b = 1 i a/b = צ , to co to oznacza dla a?

P: Jak można zapisać tę liczbę?

P: Co to znaczy, że odejmuje Pan od niej 1 lub dzieli przez nią 1?

P: Czy złota proporcja jest liczbą irracjonalną?

Szukaj według litery