Dla dwóch liczb — większej a i mniejszej b — stosunek tych liczb to wynik ich podzielenia, czyli a/b. Można też porównać sumę obu liczb do większej z nich: stosunek (a+b)/a. Jeżeli te dwa stosunki są równe tej samej liczbie, to tę liczbę nazywamy złotym stosunkiem. Litera grecka φ {\i1} {\i1}wyraźny styl \i0} {\displaystyle \varphi } (phi) jest powszechnie używana jako nazwa tej liczby.

Definicja i podstawowy wzór

Jeśli przyjąć, że b = 1 oraz a/b = φ {\i1}displaystylu \i0}varphi \i0} {\displaystyle \varphi }, to a = φ {\displaystyle \varphi }. Drugi stosunek (a+b)/a ma wtedy postać ({\displaystyle (\varphi +1)/\varphi }). Ponieważ oba stosunki są równe tej samej liczbie, otrzymujemy równość

{\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}}

Z tej równości wynika równanie kwadratowe φ² = φ + 1. Rozwiązaniem tego równania (biorąc pod uwagę tylko dodatni pierwiastek) jest wzór zamknięty

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

Tu {\displaystyle {\sqrt {5}}} oznacza pierwiastek kwadratowy z 5 — liczbę, która pomnożona przez siebie daje 5: {\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5}.

Wartość liczby φ

Dziesiętnie φ ≈ 1,61803398874989484820… — jest to liczba niewymierna, dlatego jej zapis dziesiętny jest nieskończony i nieokresowy. W szczególności:

  • φ² = φ + 1, stąd φ = (1+√5)/2.
  • 1/φ = φ − 1 (czyli odwrotność φ równa się φ pomniejszonemu o 1, co daje ≈ 0,61803...).
  • Drugim rozwiązaniem równania x² = x + 1 jest tzw. sprzężona liczba ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,6180339887…, dla której zachodzą zależności ψ + φ = 1 oraz ψ·φ = −1.

Własności algebraiczne i arytmetyczne

  • φ jest liczbą algebraiczną stopnia 2 — jest pierwiastkiem wielomianu minimalnego x² − x − 1 = 0.
  • Ma najprostszy rozwinięcie w łańcuchowy ułamek postaci [1;1,1,1,…], czyli nieskończony ciąg jedynek. To właśnie sprawia, że jest „najtrudniejsza” do aproksymacji przez ułamki zwykłe (ma najmniejszą możliwą współczynnik Lagrange’a spośród liczb o danym rodzaju ciągłego ułamka).
  • Można ją zapisać jako nieskończony ułamek ciągły: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(…))).
  • Nieskończony pierwiastek: φ = sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + …))) — granica tego wyrażenia jest dodatnim rozwiązaniem x² = x + 1, czyli φ.

Powiązania z ciągiem Fibonacciego

Stosunki kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego dążą do złotej proporcji:

  • Jeśli (F_n) to ciąg Fibonacciego (F_0 = 0, F_1 = 1, F_{n+1} = F_n + F_{n-1}), to lim_{n→∞} F_{n+1}/F_n = φ.
  • Wzór Binet’a wyrażający F_n przez φ i jego sprzężenie ψ brzmi: F_n = (φ^n − ψ^n)/√5.
  • Zachodzi także tożsamość: φ^n = F_n·φ + F_{n-1} dla n ≥ 1.

Geomatria i zastosowania

  • Złoty podział występuje w geometrii: prostokąt o bokach w stosunku φ (tzw. złoty prostokąt) po odcięciu kwadratu daje mniejszy prostokąt podobny do wyjściowego.
  • Wielokąt foremny: regularny pięciokąt i gwiazda pentagramu zawierają odcinki w stosunku φ — stąd φ pojawia się w konstrukcjach związanych z pięciokątem i pięciokątną symetrią.
  • W przyrodzie, sztuce i architekturze często przywołuje się złotą proporcję (np. w kompozycji, w spirali zbliżonej do logarytmicznej). Należy jednak zaznaczyć, że przypisywanie φ „uniwersalnej estetycznej wartości” bywa przesadzone — w wielu przypadkach korelacje są słabe lub przypadkowe.

Kilka dodatkowych uwag

  • Zapis dziesiętny zaczyna się od: 1.6180339887…; ponieważ φ jest nieracjonalna, rozwinięcie jest nieskończone i nieokresowe.
  • Jako liczba algebraiczna stopnia 2 jest też przykładem liczby całkowicie określonej przez prostą zależność algebraiczną — stąd łatwo uzyskać jej wiele własności i powiązań z innymi strukturami matematycznymi.

Podsumowując: złota proporcja φ to wyjątkowa liczba wyznaczona warunkiem a/b = (a+b)/a, którą można wyrazić wzorem φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,6180339887…; posiada bogate własności algebraiczne i geometryczne oraz liczne powiązania z ciągiem Fibonacciego i symetriami występującymi w geometrii.