Ostatnie twierdzenie Fermata: definicja, historia i dowód (1995)
Ostatnie twierdzenie Fermata: definicja, historia i przełomowy dowód z 1995 — 357 lat zagadki matematycznej, fascynująca opowieść o poszukiwaniach i rozwiązaniu.
Ostatnie twierdzenie Fermata jest bardzo znanym pomysłem w matematyce. Mówi o tym:
Jeżeli n jest liczbą całkowitą większą niż 2 (jak 3, 4, 5, 6 .....), to równanie
x n + y n = z n {\i1}displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}} 
nie ma rozwiązań, gdy x, y i z są liczbami naturalnymi (dodatnie liczby całkowite (całkowite) z wyjątkiem 0 lub "liczb liczących", takich jak 1, 2, 3 ....). Oznacza to, że nie istnieją liczby naturalne x, y i z, dla których to równanie jest prawdziwe (to znaczy, że wartości po obu stronach nie mogą być nigdy takie same, jeśli x, y, z są liczbami naturalnymi, a n jest liczbą całkowitą większą niż 2).
Pierre de Fermat napisał o tym w 1637 roku w swoim egzemplarzu książki zwanej Arithmetica. Powiedział: "Mam dowód na to twierdzenie, ale na tym marginesie nie ma wystarczająco dużo miejsca". Jednak przez 357 lat nie znaleziono żadnego prawidłowego dowodu. Został on ostatecznie udowodniony w 1995 roku. Matematycy wszędzie uważają, że Fermat w rzeczywistości nie miał dobrego dowodu na to twierdzenie.
Co dokładnie oznacza twierdzenie?
W formalnej postaci twierdzenie brzmi: dla każdego całkowitego n>2 nie istnieją dodatnie liczby całkowite x, y, z spełniające xn + yn = zn. Innymi słowy, poza przypadkiem n = 2 (w którym mamy nieskończenie wiele trójek pitagorejskich, np. 32 + 42 = 52) nie występują niezerowe całkowite rozwiązania równania potęgowego.
Uwaga: zwyczajowo przez „liczby naturalne” w tym kontekście rozumiemy dodatnie liczby całkowite (1, 2, 3, ...). Jeśli dopuszczamy 0 jako liczbę naturalną, to trywialne rozwiązania z 0 (np. x = 0, y = 1, z = 1) nie są przedmiotem twierdzenia Fermata.
Krótka historia dowodów i prac nad twierdzeniem
- 1637 – Pierre de Fermat zapisuje swoje znane stwierdzenie i dopisuje, że ma dowód, którego nie zmieścił na marginesie.
- XVII–XIX wiek – dla poszczególnych wykonalnych wykładników udowodniono wiele przypadków: Fermat dowiódł już przypadek n = 4; Leonhard Euler udowodnił n = 3; później udowodniono kolejne przypadki (metody Fermata, Eulera, Sophie Germain, Kummer i inni).
- XIX wiek – Ernst Kummer opracował teorię idealnych liczb i udowodnił twierdzenie dla tzw. „regularnych” liczb pierwszych, co było wielkim krokiem w teorii liczb algebraicznych.
- 1980–1990 – badania nad połączeniem hipotezy Taniyamy–Shimury (dzisiaj: twierdzenie o modularności) z problemem Fermata. Gerhard Frey zasugerował, że hipotetyczne rozwiązanie Fermata dawałoby nietypową krzywą eliptyczną (tzw. krzywa Freya).
- 1986 – Ken Ribet udowodnił, że jeśli (pewne) krzywe Freya nie są modularne, to istnienie rozwiązania Fermata prowadziłoby do sprzeczności z oczekiwaną modularnością; to połączyło FLT z hipotezą Taniyamy–Shimury.
- 1993–1994 – Andrew Wiles, pracując w tajemnicy przez kilka lat, ogłosił dowód modularności dla semistabilnych krzywych eliptycznych, co implikowało Ostatnie twierdzenie Fermata. Początkowo w opublikowanym dowodzie wykryto lukę, którą Wiles wraz z Richardem Taylorem poprawili w 1994 roku.
- 1995 – ostateczna wersja dowodu ukazała się w czasopiśmie Annals of Mathematics; dzięki temu za uznane jest, że Ostatnie twierdzenie Fermata zostało udowodnione.
Dowód Andrew Wilesa — w skrócie
Pełny dowód jest techniczny i wykorzystuje głębokie narzędzia z teorii liczb: teorię krzywych eliptycznych, formy modularne oraz reprezentacje Galois. Schemat dowodu można opisać następująco:
- Frey zauważył, że hipotetyczne niezerowe rozwiązanie xn + yn = zn (dla n>2) prowadziłoby do skonstruowania specjalnej krzywej eliptycznej o szczególnych własnościach (krzywa Freya).
- Ribet pokazał, że taka krzywa nie może być modularna, jeśli pochodziłaby od rozwiązania Fermata.
- Taniyama–Shimura–Weil (hipoteza/modularności) postulowała, że wszystkie odpowiednie krzywe eliptyczne są modularne. Wiles udowodnił ten fakt dla semistabilnych krzywych eliptycznych, co dawało sprzeczność z istnieniem krzywej Freya — a więc i z istnieniem rozwiązania Fermata.
- Technicznie Wiles użył metod z teorii reprezentacji Galois, form modularnych i tzw. metody Taylor–Wiles, by udowodnić modularność w potrzebnym zakresie.
Dlaczego prawdopodobnie Fermat nie miał pełnego dowodu?
W większości środowiska matematycznego panuje przekonanie, że Fermat prawdopodobnie dysponował dowodem jedynie dla specjalnego przypadku (np. n = 4), a nie ogólnego dowodu obejmującego wszystkie n>2. Dowód Wilesa używa technik i pojęć (krzywe eliptyczne, formy modularne, reprezentacje Galois), które rozwinięto dopiero wiele wieków po Fermacie, więc mało prawdopodobne jest, by Fermat dysponował dowodem ogólnym w sensie współczesnym.
Znaczenie i wpływ
Ostatnie twierdzenie Fermata przez wieki pobudzało rozwój teorii liczb i przyczyniło się do powstania wielu ważnych idei w matematyce. Próby jego udowodnienia doprowadziły do rozwoju algebryicznej teorii liczb, teorii idealów Kummera, a w XX wieku – do głębokich powiązań między formami modularnymi a krzywymi eliptycznymi, które mają dziś zastosowania także w kryptografii i innych dziedzinach.
Jeśli chcesz, mogę podać prosty opis dowodu Wilesa na nieco niższym poziomie technicznym, listę kluczowych prac źródłowych lub chronologiczny wykaz kolejnych istotnych rezultatów dotyczących poszczególnych wykładników n.
Relacje z innymi dziedzinami matematyki
Ostatnie twierdzenie Fermata jest bardziej ogólną formą równania: a 2 + b 2 = c 2 {\i1}displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} 
. (To pochodzi z pitagorejskiego twierdzenia). Szczególnym przypadkiem jest, gdy a, b i c są liczbami całkowitymi. Wtedy są one nazywane "potrójnym Pitagorejczykiem". Na przykład: 3, 4 i 5 dają 3^2 + 4^2 = 5^2 jak 9+16=25, lub 5, 12 i 13 dają 25+144=169. Jest ich nieskończona ilość (idą dalej na zawsze). Ostatnie twierdzenie Fermata mówi o tym, co się stanie, gdy 2 zmienią się w większą liczbę całkowitą. Mówi ono, że wtedy nie ma trójek, gdy a, b i c są liczbami całkowitymi większymi lub równymi jednemu (co oznacza, że jeśli n jest większe od dwóch, to a, b i c nie mogą być liczbami naturalnymi).
Dowód:
Dowód został przeprowadzony dla niektórych wartości n (jak n=3, n=4, n=5 i n=7). Fermat, Euler, Sophie Germain i inni ludzie to zrobili.
Pełny dowód musi jednak wykazać, że równanie nie ma rozwiązania dla wszystkich wartości n (gdy n jest liczbą całkowitą większą niż 2). Dowód ten był bardzo trudny do znalezienia, a ostatnie twierdzenie Fermata wymagało dużo czasu, aby go rozwiązać.
Angielski matematyk o nazwisku Andrew Wiles znalazł rozwiązanie w 1995 roku, 358 lat po tym jak Fermat napisał o tym. Richard Taylor pomógł mu znaleźć rozwiązanie []. Przeprowadzenie dowodu zajęło osiem lat badań. Udowodnił to twierdzenie, najpierw udowadniając tezę modularności, którą później nazwano przypuszczeniem Taniyama-Shimura. Wykorzystując twierdzenie Ribeta, był w stanie udowodnić ostatnie twierdzenie Fermata. W czerwcu 1997 roku otrzymał od Akademii w Getyndze nagrodę Wolfskehla: wyniosła ona około 50.000 dolarów amerykańskich.
Po kilku latach debaty, ludzie zgodzili się, że Andrew Wiles rozwiązał problem. Andrew Wiles korzystał z wielu nowoczesnych technik matematycznych, a nawet stworzył nowe rozwiązania. Ta matematyka nie była znana, kiedy Fermat pisał swoją słynną notatkę, więc Fermat nie mógł jej użyć. To prowadzi do przekonania, że Fermat w rzeczywistości nie miał kompletnego rozwiązania problemu.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest ostatnie twierdzenie Fermata?
O: Ostatnie twierdzenie Fermata (FLT) mówi, że jeżeli n jest liczbą całkowitą większą od 2, to równanie x^n + y^n = z^n nie ma rozwiązań, gdy x, y i z są liczbami naturalnymi. Innymi słowy, nie da się wyrazić w liczbach całkowitych dwóch sześcianów, które po dodaniu są równe trzeciemu sześcianowi, ani niczego wyższego niż kwadraty.
P: Kiedy zostało napisane FLT?
O: Pierre de Fermat napisał o FLT w 1637 roku w swoim egzemplarzu książki Arithmetica.
P: Co Fermat powiedział o tym twierdzeniu?
A: Powiedział: "Mam dowód tego twierdzenia, ale na tym marginesie nie ma wystarczająco dużo miejsca".
P: Ile czasu zajęło udowodnienie FLT?
O: Trzeba było czekać 357 lat, aby udowodnić FLT; udało się to w końcu w 1995 roku.
P: Czy matematycy uważają, że Fermat miał rzeczywisty dowód twierdzenia?
O: Większość matematyków nie uważa, że Fermat rzeczywiście miał dowód brzegowy tego twierdzenia.
P: Co stwierdza pierwotny problem?
O: Pierwotny problem mówi, że nie da się podzielić cubum autem (sześcianu) na dwa sześciany lub quadratoquadratum (kwadratu) na dwa kwadraty, a w ogóle nic poza kwadratami nie da się podzielić na dwa o tej samej nazwie, przy czym demonstracja jest godna uwagi, ale zbyt duża dla rozmiaru marginesu.
Powiązane artykuły
Autor
AlegsaOnline.com Ostatnie twierdzenie Fermata: definicja, historia i dowód (1995) Leandro Alegsa
URL: https://pl.alegsaonline.com/art/34029
Źródła
- math.stanford.edu : "From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem becomes a theorem"
- doi.org : 10.1007/PL00000079