Ostatnie twierdzenie Fermata: definicja, historia i dowód (1995)

Ostatnie twierdzenie Fermata: definicja, historia i przełomowy dowód z 1995 — 357 lat zagadki matematycznej, fascynująca opowieść o poszukiwaniach i rozwiązaniu.

Ostatnie twierdzenie Fermata jest bardzo znanym pomysłem w matematyce. Mówi o tym:

Jeżeli n jest liczbą całkowitą większą niż 2 (jak 3, 4, 5, 6 .....), to równanie

x n + y n = z n {\i1}displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}

nie ma rozwiązań, gdy x, y i z są liczbami naturalnymi (dodatnie liczby całkowite (całkowite) z wyjątkiem 0 lub "liczb liczących", takich jak 1, 2, 3 ....). Oznacza to, że nie istnieją liczby naturalne x, y i z, dla których to równanie jest prawdziwe (to znaczy, że wartości po obu stronach nie mogą być nigdy takie same, jeśli x, y, z są liczbami naturalnymi, a n jest liczbą całkowitą większą niż 2).

Pierre de Fermat napisał o tym w 1637 roku w swoim egzemplarzu książki zwanej Arithmetica. Powiedział: "Mam dowód na to twierdzenie, ale na tym marginesie nie ma wystarczająco dużo miejsca". Jednak przez 357 lat nie znaleziono żadnego prawidłowego dowodu. Został on ostatecznie udowodniony w 1995 roku. Matematycy wszędzie uważają, że Fermat w rzeczywistości nie miał dobrego dowodu na to twierdzenie.

Co dokładnie oznacza twierdzenie?

W formalnej postaci twierdzenie brzmi: dla każdego całkowitego n>2 nie istnieją dodatnie liczby całkowite x, y, z spełniające xⁿ + yⁿ = zⁿ. Innymi słowy, poza przypadkiem n = 2 (w którym mamy nieskończenie wiele trójek pitagorejskich, np. 3² + 4² = 5²) nie występują niezerowe całkowite rozwiązania równania potęgowego.

Uwaga: zwyczajowo przez „liczby naturalne” w tym kontekście rozumiemy dodatnie liczby całkowite (1, 2, 3, ...). Jeśli dopuszczamy 0 jako liczbę naturalną, to trywialne rozwiązania z 0 (np. x = 0, y = 1, z = 1) nie są przedmiotem twierdzenia Fermata.

Krótka historia dowodów i prac nad twierdzeniem

• 1637 – Pierre de Fermat zapisuje swoje znane stwierdzenie i dopisuje, że ma dowód, którego nie zmieścił na marginesie.
• XVII–XIX wiek – dla poszczególnych wykonalnych wykładników udowodniono wiele przypadków: Fermat dowiódł już przypadek n = 4; Leonhard Euler udowodnił n = 3; później udowodniono kolejne przypadki (metody Fermata, Eulera, Sophie Germain, Kummer i inni).
• XIX wiek – Ernst Kummer opracował teorię idealnych liczb i udowodnił twierdzenie dla tzw. „regularnych” liczb pierwszych, co było wielkim krokiem w teorii liczb algebraicznych.
• 1980–1990 – badania nad połączeniem hipotezy Taniyamy–Shimury (dzisiaj: twierdzenie o modularności) z problemem Fermata. Gerhard Frey zasugerował, że hipotetyczne rozwiązanie Fermata dawałoby nietypową krzywą eliptyczną (tzw. krzywa Freya).
• 1986 – Ken Ribet udowodnił, że jeśli (pewne) krzywe Freya nie są modularne, to istnienie rozwiązania Fermata prowadziłoby do sprzeczności z oczekiwaną modularnością; to połączyło FLT z hipotezą Taniyamy–Shimury.
• 1993–1994 – Andrew Wiles, pracując w tajemnicy przez kilka lat, ogłosił dowód modularności dla semistabilnych krzywych eliptycznych, co implikowało Ostatnie twierdzenie Fermata. Początkowo w opublikowanym dowodzie wykryto lukę, którą Wiles wraz z Richardem Taylorem poprawili w 1994 roku.
• 1995 – ostateczna wersja dowodu ukazała się w czasopiśmie Annals of Mathematics; dzięki temu za uznane jest, że Ostatnie twierdzenie Fermata zostało udowodnione.

Dowód Andrew Wilesa — w skrócie

Pełny dowód jest techniczny i wykorzystuje głębokie narzędzia z teorii liczb: teorię krzywych eliptycznych, formy modularne oraz reprezentacje Galois. Schemat dowodu można opisać następująco:

• Frey zauważył, że hipotetyczne niezerowe rozwiązanie xⁿ + yⁿ = zⁿ (dla n>2) prowadziłoby do skonstruowania specjalnej krzywej eliptycznej o szczególnych własnościach (krzywa Freya).
• Ribet pokazał, że taka krzywa nie może być modularna, jeśli pochodziłaby od rozwiązania Fermata.
• Taniyama–Shimura–Weil (hipoteza/modularności) postulowała, że wszystkie odpowiednie krzywe eliptyczne są modularne. Wiles udowodnił ten fakt dla semistabilnych krzywych eliptycznych, co dawało sprzeczność z istnieniem krzywej Freya — a więc i z istnieniem rozwiązania Fermata.
• Technicznie Wiles użył metod z teorii reprezentacji Galois, form modularnych i tzw. metody Taylor–Wiles, by udowodnić modularność w potrzebnym zakresie.

Dlaczego prawdopodobnie Fermat nie miał pełnego dowodu?

W większości środowiska matematycznego panuje przekonanie, że Fermat prawdopodobnie dysponował dowodem jedynie dla specjalnego przypadku (np. n = 4), a nie ogólnego dowodu obejmującego wszystkie n>2. Dowód Wilesa używa technik i pojęć (krzywe eliptyczne, formy modularne, reprezentacje Galois), które rozwinięto dopiero wiele wieków po Fermacie, więc mało prawdopodobne jest, by Fermat dysponował dowodem ogólnym w sensie współczesnym.

Znaczenie i wpływ

Ostatnie twierdzenie Fermata przez wieki pobudzało rozwój teorii liczb i przyczyniło się do powstania wielu ważnych idei w matematyce. Próby jego udowodnienia doprowadziły do rozwoju algebryicznej teorii liczb, teorii idealów Kummera, a w XX wieku – do głębokich powiązań między formami modularnymi a krzywymi eliptycznymi, które mają dziś zastosowania także w kryptografii i innych dziedzinach.

Jeśli chcesz, mogę podać prosty opis dowodu Wilesa na nieco niższym poziomie technicznym, listę kluczowych prac źródłowych lub chronologiczny wykaz kolejnych istotnych rezultatów dotyczących poszczególnych wykładników n.

Dowód:

Dowód został przeprowadzony dla niektórych wartości n (jak n=3, n=4, n=5 i n=7). Fermat, Euler, Sophie Germain i inni ludzie to zrobili.

Pełny dowód musi jednak wykazać, że równanie nie ma rozwiązania dla wszystkich wartości n (gdy n jest liczbą całkowitą większą niż 2). Dowód ten był bardzo trudny do znalezienia, a ostatnie twierdzenie Fermata wymagało dużo czasu, aby go rozwiązać.

Angielski matematyk o nazwisku Andrew Wiles znalazł rozwiązanie w 1995 roku, 358 lat po tym jak Fermat napisał o tym. Richard Taylor pomógł mu znaleźć rozwiązanie ^[]. Przeprowadzenie dowodu zajęło osiem lat badań. Udowodnił to twierdzenie, najpierw udowadniając tezę modularności, którą później nazwano przypuszczeniem Taniyama-Shimura. Wykorzystując twierdzenie Ribeta, był w stanie udowodnić ostatnie twierdzenie Fermata. W czerwcu 1997 roku otrzymał od Akademii w Getyndze nagrodę Wolfskehla: wyniosła ona około 50.000 dolarów amerykańskich.

Po kilku latach debaty, ludzie zgodzili się, że Andrew Wiles rozwiązał problem. Andrew Wiles korzystał z wielu nowoczesnych technik matematycznych, a nawet stworzył nowe rozwiązania. Ta matematyka nie była znana, kiedy Fermat pisał swoją słynną notatkę, więc Fermat nie mógł jej użyć. To prowadzi do przekonania, że Fermat w rzeczywistości nie miał kompletnego rozwiązania problemu.

Brytyjski matematyk Andrew Wiles

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest ostatnie twierdzenie Fermata?

P: Kiedy zostało napisane FLT?

P: Co Fermat powiedział o tym twierdzeniu?

P: Ile czasu zajęło udowodnienie FLT?

P: Czy matematycy uważają, że Fermat miał rzeczywisty dowód twierdzenia?

P: Co stwierdza pierwotny problem?

Szukaj według litery