Rozwiązanie algebraiczne: definicja, przykłady i twierdzenie Abela–Ruffiniego
Rozwiązania algebraiczne: definicja, przykłady i wzory dla równań kwadratowych i wyższych oraz omówienie twierdzenia Abela–Ruffiniego i konsekwencji dla równań stopnia ≥5.
Rozwiązanie algebraiczne (czasem nazywane rozwiązaniem przez radikale) jest wyrażeniem zbudowanym z współczynników wielomianu i zmiennych przy użyciu jedynie następujących operacji: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie oraz wyciąganie pierwiastków (np. pierwiastków kwadratowych, sześciennych itp.). Innymi słowy, rozwiązanie algebraiczne to wyrażenie uzyskane „w zamkniętej postaci” przez skończoną liczbę działań elementarnych i operacji pierwiastkowania, bez korzystania z transcedentalnych funkcji (takich jak logarytmy czy funkcje elementarne nieskładające się z wymienionych operacji).
Definicja i rozróżnienia
Warto rozróżnić pojęcia: rozwiązanie algebraiczne (wyrażenie zawierające pierwiastniki) oraz liczba algebraiczna (liczba będąca pierwiastkiem pewnego wielomianu o współczynnikach w ciele np. Q). Nie każda liczba algebraiczna musi być opisana przez „prostą” formułę z pierwiastkami — to jest właśnie sedno twierdzeń o rozwiązywalności przez radikale.
Przykłady
- Najbardziej znany przykład: rozwiązanie ogólnego równania kwadratowego. Dla równania ax^{2}+bx+c=0
(gdzie a ≠ 0) mamy wzór: x = {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}} 
co jest klasycznym rozwiązaniem algebraicznym. - Dla ogólnego równania sześciennego istnieje rozwiązanie algebraiczne wyprowadzone przez Girolama Cardana (tzw. wzory Cardana). Podobnie istnieje wzór dla ogólnego równania kwarcowego (czwartego stopnia) — rozwiązanie to zostało skonstruowane m.in. przez Lodovico Ferrariego i innych. (Uwaga: w tekście oryginalnym użyto wyrażenia „równania kwarcowego”; poprawniej w terminologii matematycznej mówi się o równaniu czwartego stopnia — quartic.)
- Istnieją też proste specjalne przypadki wielomianów wyższych stopni, które dają się rozwiązać algebraicznie: np. równanie postaci x^n = a (gdzie n jest całkowite dodatnie) ma rozwiązania wpisane w pierwiastki n-te: x^{10}=a
przykładowo jedno z rozwiązań można zapisać jako x=a^{1/10}.
W rzeczywistości równanie x^{10}=a ma 10 rozwiązań w zbiorze liczb zespolonych (różnych przez pierwiastki jednostkowe).
Twierdzenie Abela–Ruffiniego i teoria Galois
Twierdzenie Abela–Ruffiniego (często nazywane też twierdzeniem Abela–Ruffiniego) mówi, że ogólne równanie wielomianowe stopnia 5 (kwintowe) i wyższych nie ma rozwiązania algebraicznego w sensie ogólnego wzoru złożonego z operacji +, −, ·, ÷ i pierwiastkowania. Innymi słowy, nie istnieje uniwersalny wzór na pierwiastki ogólnego wielomianu stopnia n dla n ≥ 5, wyrażony przez skończoną kombinację radikalów.
Historycznie pierwszy przekazany dowód (częściowy) dał Paolo Ruffini; pełne dowody i uściślenia wniosły prace Nielsena Abela, a teorię i kryterium rozwiązywalności przez radikale rozwinął Évariste Galois. Kluczową rolę odgrywa tutaj grupa Galois wielomianu: wielomian jest rozwiązywalny przez radikale dokładnie wtedy, gdy jego grupa Galois jest rozwiązywalna (w sensie teorii grup). To daje konkretne narzędzie do stwierdzania, kiedy dany konkretny wielomian stopnia ≥ 5 ma (lub nie ma) rozwiązanie algebraiczne.
Praktyczne uwagi
- Brak ogólnego wzoru nie oznacza, że konkretny wielomian stopnia ≥ 5 nie może mieć rozwiązania przez radikale — wiele takich wielomianów jest rozwiązywalnych (np. x^5 − a = 0, czy wielomiany o specjalnej strukturze, których grupa Galois jest rozwiązywalna).
- Rozwiązania przez radikale są wielowartościowe: pierwiastki n-te w liczbach zespolonych mają n wartości, co trzeba uwzględnić przy zapisie rozwiązań.
- W praktyce dla wielomianów stopnia ≥ 5 powszechnie stosuje się metody numeryczne (np. algorytmy znajdowania pierwiastków), a także opis w terminach funkcji specjalnych lub układów symetrycznych, gdy rozwiązanie w radikalach nie istnieje.
Podsumowanie
Rozwiązanie algebraiczne to wyrażenie powstałe z zastosowania działań elementarnych i pierwiastkowania do współczynników wielomianu. Dla wielomianów stopnia 1–4 istnieją wzory pozwalające zapisać wszystkie pierwiastki przez radikale (w szczególności wzór kwadratowy, wzory Cardana dla sześcianu i wzory dla równania czwartego stopnia). Twierdzenie Abela–Ruffiniego stwierdza, że nie istnieje ogólny wzór przez radikale dla wielomianów stopnia ≥ 5, choć wiele konkretnych wielomianów takich stopni może być rozwiązywalnych — kryterium daje teoria Galois.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest rozwiązanie algebraiczne?
O: Rozwiązanie algebraiczne to wyrażenie algebraiczne, które jest rozwiązaniem równania algebraicznego pod względem współczynników zmiennych. Można je znaleźć za pomocą dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i wyciągania korzeni (korzenie kwadratowe, korzenie sześcienne itd.).
P: Jaki jest znany przykład rozwiązania algebraicznego?
O: Najbardziej znanym przykładem jest rozwiązanie ogólnego równania kwadratowego.
P: Czy istnieje bardziej skomplikowane rozwiązanie dla równań wyższych stopni?
O: Tak, istnieje bardziej skomplikowane rozwiązanie dla ogólnego równania sześciennego i równania kwartylowego.
P: Czy każde równanie wielomianowe ma rozwiązanie algebraiczne?
O: Nie, zgodnie z twierdzeniem Abla-Ruffiniego ogólne równanie kwintowe nie ma rozwiązania algebraicznego. Oznacza to, że ogólne równanie wielomianowe stopnia n, dla n ≥ 5, nie może być rozwiązane wyłącznie za pomocą algebry.
P: Czy są jakieś warunki, w których możemy uzyskać algebraiczne rozwiązania dla równań wyższych stopni?
O: Tak, pod pewnymi warunkami można uzyskać rozwiązania algebraiczne; na przykład równanie x^10 = a można rozwiązać jako x = a^(1/10).
P: Jak rozwiązać równanie kwadratowe?
O: Aby rozwiązać równanie kwadratowe, należy stosować dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, a także wyciągać z niego pierwiastki kwadratowe lub inne rodzaje pierwiastków.
Przeszukaj encyklopedię