Liczby Fermata
Numer Fermata jest specjalnym pozytywnym numerem. Numery fermatów są nazwane na cześć Pierre'a de Fermata. Formuła, która je generuje to
F n = 2 2 n + 1 {\i1}styk stylistyczny F_{n}=2^{2^{\i0}powyżej {n}{}}+1} 
gdzie n jest liczbą całkowitą nieujemną. Pierwsze dziewięć numerów Fermata to (ciąg A000215 w OEIS):
F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
Od 2007 r. tylko pierwsze 12 numerów Fermata zostało całkowicie uwzględnionych. (napisane jako iloczyn liczb pierwszych) Te faktoryzacje można znaleźć na stronie Prime Factors of Fermat Numbers.
Jeśli 2n + 1 jest liczbą pierwszą, a n > 0, można wykazać, że n musi być liczbą dwie. Każdy element inicjujący formy 2n + 1 jest numerem Fermata, a takie elementy inicjujące są nazywane elementami inicjującymi Fermata. Jedynymi znanymi Fermatowskimi pierwiastkami początkowymi są F0,...,F4.
Interesujące rzeczy o numerach Fermata
- Żaden z dwóch numerów Fermata nie ma wspólnych dzielników.
- Numery fermatów mogą być obliczane rekurencyjnie: Aby otrzymać N-ty numer, należy pomnożyć wszystkie numery Fermata przed nim i dodać dwa do wyniku.
Do czego są one używane
Obecnie liczby Fermata mogą być używane do generowania liczb losowych, od 0 do pewnej wartości N, która jest potęgą 2.
Domysł Fermata
Fermat, kiedy studiował te liczby, przypuszczał, że wszystkie liczby Fermata były doskonałe. Udowodnił to Leonhard Euler, który w 1732 roku zafakturował F 5 na stylistykę F_{5}
.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest liczba Fermata?
O: Liczba Fermata to specjalna liczba dodatnia, nazwana tak na cześć Pierre'a de Fermata. Powstaje ona ze wzoru F_n = 2^2^(n) + 1, gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą.
P: Ile jest liczb Fermata?
O: W 2007 roku tylko 12 pierwszych liczb Fermata zostało całkowicie zfakturowanych.
P: Jakie jest dziewięć pierwszych liczb Fermata?
A: Dziewięć pierwszych liczb Fermata to F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), i F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).
P: Co można powiedzieć o liczbach pierwszych w postaci 2n + 1?
O: Jeżeli 2n + 1 jest liczbą pierwszą i n > 0, to można wykazać, że n musi być potęgą dwójki. Każda liczba pierwsza w postaci 2n + 1 jest również liczbą Fermata i takie liczby nazywane są liczbami Fermata. Znane są tylko liczby Fermata od 0 do 4.
P: Gdzie można znaleźć faktoryzacje dla wszystkich 12 znanych liczb Fermata?
O: Faktoryzacje wszystkich 12 znanych liczb Fermata można znaleźć na stronie Prime Factors of Fermat Numbers.
P: Kim był Pierre de Fermaat?
O: Pierre de Fermaat był wpływowym francuskim matematykiem, który żył w XVII wieku i którego prace stworzyły podstawy nowoczesnej matematyki. Najbardziej znany jest ze swojego wkładu do teorii prawdopodobieństwa i geometrii analitycznej, a także ze słynnego Ostatniego Twierdzenia, które pozostawało nierozwiązane aż do 1995 roku, kiedy to zostało ostatecznie udowodnione przez Andrew Wilesa przy użyciu metod z geometrii algebraicznej.
