Definicja i podstawowe własności
Liczby Fermata to ciąg liczb naturalnych zdefiniowany wzorem F_n = 2^{2^n} + 1 dla całkowitych n ≥ 0. Każdy taki wyraz jest większy od poprzedniego w tempie dwuetapowego wykładniczego wzrostu: najpierw potęga 2^n, a następnie 2 podniesione do tej potęgi. Krótką definicję i kontekst można znaleźć pod odnośnikiem Fermat numbers, a ciąg w bazach danych liczb (np. OEIS) pod A000215. W praktyce pierwsze wyrazy dają się łatwo zapisać, a kolejne szybko stają się astronomicznie duże.
Przykłady i kilka faktów liczbowych
Pierwsze pięć liczb Fermata (n = 0..4) są małe i jednoznaczne:
- F_0 = 2^{1} + 1 = 3
- F_1 = 2^{2} + 1 = 5
- F_2 = 2^{4} + 1 = 17
- F_3 = 2^{8} + 1 = 257
- F_4 = 2^{16} + 1 = 65537
W XIX wieku odkryto, że kolejny wyraz F_5 = 2^{32}+1 = 4294967297 jest złożony — pierwszy nieoczekiwany dzielnik znalazł Leonhard Euler (641 × 6700417). Od tego momentu wiele kolejnych F_n okazało się złożonych; kompletną faktoryzację części z nich gromadzą specjalistyczne serwisy, np. Prime Factors of Fermat Numbers. Fakt, że wyrazy rosną dwuetapowo powoduje, iż już dla niewielkich n liczby stają się ekstremalnie duże.
Własności algebraiczne i wzajemna względność
Istotną własnością liczb Fermata jest to, że są parami względnie pierwsze: dla m ≠ n zachodzi gcd(F_m,F_n)=1. Wynika to z tożsamości F_n - 2 = F_0 F_1 ··· F_{n-1}, co łatwo uzyskać przez sprowadzenie iloczynu kolejnych wyrazów. Z tej relacji wynika też, że każda nowa liczba Fermata ma nowy dzielnik, nie występujący wcześniej w ciągu.
Pierwszość, testy i znane wyniki
Liczby Fermata, które są pierwsze, nazywa się liczbami pierwszymi Fermata (Fermat primes). Fermat sam uważał, że wszystkie F_n są pierwsze, jednak to twierdzenie zostało obalone. Znane Fermatowe liczby pierwsze to dokładnie F_0, F_1, F_2, F_3 i F_4; dla n ≥ 5 większość znalezionych wyrazów jest złożonych i nie odkryto kolejnych Fermatowych pierwszych. Ogólny test pierwszości specjalnie dostosowany do tych liczb to tzw. test Pépina: dla n ≥ 1 F_n jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy 3^{(F_n-1)/2} ≡ -1 (mod F_n), co daje praktyczny sposób sprawdzenia pierwszości w granicach możliwości obliczeń.
Historia i znaczenie
Nazwę zawdzięczamy Pierre'owi de Fermatowi, który w XVII wieku interesował się takimi postaciami liczb. W XVIII wieku Euler pokazał, że nie wszystkie F_n są pierwsze (przykład F_5). Od tamtej pory kolejne badania dotyczyły faktoryzacji tych liczb i poszukiwania ewentualnych następnych Fermatowych liczb pierwszych. Więcej na temat historycznego kontekstu i biografii można przeczytać pod Pierre de Fermat i w innych źródłach encyklopedycznych o ciągach liczbowych.
Zastosowania i otwarte problemy
Liczby Fermata mają konkretne zastosowanie w geometrii klasycznej: Gauss wykazał, że regularny wielokąt foremny o n bokach jest konstrukcyjny za pomocą linijki i cyrkla wtedy i tylko wtedy, gdy n jest iloczynem potęgi 2 oraz rozmaitych różnych liczb pierwszych Fermata. Stąd znajomość Fermatowych liczb pierwszych jest kluczowa w teorii konstrukcji geometrycznych. Do dziś pozostaje otwarte pytanie, czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata — większość matematyków przypuszcza, że jest ich skończenie mało, ale brak na to dowodu.
Istotne źródła danych i listy faktoryzacji można przeglądać przez specjalistyczne bazy oraz artykuły naukowe; przykładowe odnośniki do zasobów i zestawień problemów zawierają informacje o liczbach pierwszych oraz wspomniane zestawienia online z faktoryzacjami i z ciągami. Dalsze badania obejmują poszukiwanie nowych czynników, testy pierwszości dostosowane do tej postaci oraz związki z teorią pól i konstrukcjami algebraicznymi.
