Elementy Euklidesa (Stoicheia) — klasyczny podręcznik geometrii i arytmetyki
Elementy Euklidesa (Stoicheia) — klasyczny podręcznik geometrii i arytmetyki: ponadczasowe aksjomaty, dowody i teoria liczb — fundament geometrii euklidesowej.
Żywioły Euklidesa (czasem: Żywioły, greckie: Στοιχεῖα Stoicheia) to rozległy zbiór książek matematycznych poświęconych przede wszystkim geometrii, napisany przez starożytnego greckiego matematyka znanego jako Euklides (ok. 325 p.n.e. – 265 p.n.e.) w Aleksandrii (Egipt) około 300 r. p.n.e. Zestaw składa się z 13 ksiąg (tomów), tradycyjnie drukowanych jako 13 fizycznych książek oznaczonych numerami I–XIII, a nie jako jedna wielka monografia. Został przetłumaczony na język łaciński pod tytułem "Euclidis Elementorum" i jest jednym z najbardziej wpływowych tekstów matematycznych starożytności.
Euklides zebrał i uporządkował w Elementach dorobek geometrii i arytmetyki znany w jego czasach. Dzieło to było i pozostaje fundamentem nauczania geometrii przez wiele stuleci. Księga zaczyna się od niewielkiego zbioru aksjomatów i definicji (czyli założeń, które przyjmuje się za oczywiste), a następnie w dedukcyjny sposób wyprowadza liczne twierdzenia i konstrukcje dotyczące figur geometrycznych oraz własności liczb całkowitych. Metoda Euklidesa—logiczne dowodzenie twierdzeń od ogólnych zasad—stała się archetypem podejścia aksjomatycznego w matematyce.
Zakres treści
Elementy obejmują nie tylko płaską geometrię euklidesową, lecz również inne działy matematyki znane w starożytności:
- Geometrię płaską i własności figur (punktów, linii prostych, kątów, trójkątów, czworokątów, okręgów).
- Konstrukcje z użyciem cyrkla i liniału oraz klasyczne problemy konstrukcyjne.
- Teorię stosunków i miar (m.in. teoria Eudoksosa zawarta w Księdze V), istotną dla pojęcia proporcji i nieskończonych wielkości.
- Geometrię sferyczną i elementy geometrii stożkowej.
- Wybrane zagadnienia teorii liczb, w tym algorytm Euklidesa na wyznaczanie największego wspólnego dzielnika oraz dowód nieskończoności liczb pierwszych.
- Rozważania o wielkościach niezmierzalnych i o naturze wielkości algebraicznych w sposób geometryczny.
Krótki przegląd ksiąg I–XIII
- Księga I: podstawowe definicje, aksjomaty i postułaty; podstawowe własności trójkątów; twierdzenie Pitagorasa (Prop. 47).
- Księga II: wyniki dotyczące figur uzyskiwanych przez cięcia i dodawanie odcinków (tzw. algebra w formie geometrycznej).
- Księga III: własności okręgów.
- Księga IV: konstrukcje czworokątów opisanych i opisujących okręgi.
- Księga V: teoria proporcji (Eudoksos) — ogólna teoria stosunków wielkości.
- Księga VI: zastosowania proporcji do geometrii podobieństwa.
- Księgi VII–IX: arytmetyka i teoria liczb, w tym algorytm Euklidesa i dowód nieskończoności liczb pierwszych (Księga IX).
- Księga X: klasyfikacja odcinków według miary i badanie nieskończonych stosunków (odcinki wymierne i niewymierne).
- Księgi XI–XII: geometria przestrzenna i metody wyznaczania objętości (m.in. metody wyczerpywania).
- Księga XIII: rozważania nad wielościanami foremymi i właściwościami brył regularnych.
Aksjomaty i postułaty
Euklides rozpoczyna Elementy od serii definicji, zasad wspólnych (tzw. common notions) oraz pięciu postulatów. Do najbardziej znanych należy piąty postulat (postulat równoległości), który w luźnym tłumaczeniu mówi, że przez punkt poza daną prostą można przeprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do danej. Przez wieki matematycy próbowali dowieść ten postulat z pozostałych, co doprowadziło w XIX wieku do powstania geometrii nieeuklidesowych — różnych, lecz spójnych systemów geometrycznych, w których piąty postulat nie jest prawdziwy.
Metody i wybrane wyniki
- Metoda syntetyczna: dowody są przeprowadzone geometrycznie, bez użycia współrzędnych czy rachunku różniczkowego.
- Konstrukcje: klasyczne konstrukcje cyrklem i liniałem — mnożenie, dzielenie odcinków, opisane wielokąty foremne.
- Algorytm Euklidesa: metoda znajdowania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb, przedstawiona w formie bardzo praktycznej i efektywnej.
- Teoria liczb: w Elementach znajduje się kilka fundamentalnych twierdzeń arytmetycznych, m.in. dowód nieskończoności liczb pierwszych.
Manuskrypty, tłumaczenia i wpływ historyczny
Elementy miały ogromną historię rękopiśmienną i drukowaną. Zostały przetłumaczone na języki arabskie w średniowieczu, a stamtąd dalej na łacinę i inne języki europejskie. Komentarze i streszczenia (np. autorstwa Proklesa) przyczyniły się do rozpowszechnienia i interpretacji tekstu. Od czasu wynalezienia druku Elementy były jedną z najczęściej wydawanych książek matematycznych — służyły jako podręcznik geometrii od średniowiecza aż do XIX wieku i wywarły wielki wpływ na rozwój matematyki, filozofii nauki oraz edukacji.
Krytyka i unowocześnienia aksjomatyczne
Chociaż metoda Euklidesa jest klasyczna i niezwykle wpływowa, w XIX wieku zaczęto dostrzegać luki i ukryte założenia w jego rozumowaniach (np. dotyczące ciągłości czy istnienia przecięć pewnych obiektów). W odpowiedzi na te uwagi, pod koniec XIX i na początku XX wieku matematcy (m.in. David Hilbert) opracowali bardziej ścisłe systemy aksjomatyczne geometrii, które doprecyzowały i uzupełniły Euklidesowe założenia.
Zachowanie i znaczenie dziś
Elementy pozostają ważnym dziełem nie tylko historycznie, ale także edukacyjnie — uczą tego, czym jest dowód matematyczny i jak budować teorię od założeń. Termin „geometria euklidesowa” służy dziś do odróżnienia klasycznej geometrii opisanej przez Euklidesa od geometrii nie-euklidesowych, które pojawiły się w XIX wieku i rozszerzyły pojęcie przestrzeni geometrycznej. Dzieło Euklidesa nadal inspiruje badania nad podstawami matematyki, metodyką nauczania oraz kulturą naukową.
W skrócie, Elementy to nie tylko zbiór twierdzeń geometrycznych i arytmetycznych — to model myślenia aksjomatycznego, który ukształtował rozwój matematyki na ponad dwa tysiące lat.
Strona tytułowa pierwszej angielskiej wersji Euclid's Elements Sir Henry'ego Billingsley'a, w 1570 roku.
Dodane tomy XIV i XV
Niekiedy w czasach starożytnych pisma były przypisywane uznanym autorom, ale nie były przez nich pisane. W ten sposób niekiedy do kolekcji włączano apokryficzne księgi XIV i XV Żywiołów. Oszukana Księga XIV została prawdopodobnie napisana przez Hypsicles na podstawie traktatu Apolloniusza z Pergi. Książka ta jest kontynuacją porównania przez Euklidesa regularnych brył wpisanych w sfery. Główny rezultat jest taki, że stosunek powierzchni dodekahedronu i dwudziestościanu foremnego wpisanych w tę samą sferę jest taki sam jak stosunek ich objętości.
Oszczędna Księga XV została prawdopodobnie napisana, przynajmniej częściowo, przez Izydora Miletusa. Książka ta obejmuje takie tematy, jak liczenie liczby krawędzi i kątów bryłowych w bryłach regularnych oraz znalezienie miary kątów dwunastokątnych twarzy, które spotykają się na krawędzi.
Pytania i odpowiedzi
P: Kto napisał "Elementy Euklidesa"?
O: Euklides (ok. 325 p.n.e.-265 p.n.e.), starożytny grecki matematyk, napisał Elementy Euklidesa.
P: Kiedy zostały napisane?
O: Został napisany w Aleksandrii, w Egipcie, około 300 roku p.n.e.
P: Jaki jest tytuł łacińskiego tłumaczenia Elementów Euklidesa?
O: Łacińskie tłumaczenie Elementów Euklidesa nosi tytuł "Euclidis Elementorum".
P: Jakie tematy poruszane są w książce?
O: Tematy poruszane w książce to geometria, perspektywa, przekroje stożkowe, geometria sferyczna, powierzchnie kwadratowe i teoria liczb.
P: Co robi Euklides z małym zestawem aksjomatów?
O: Za pomocą małego zestawu aksjomatów Euklides pokazuje własności obiektów geometrycznych i liczb całkowitych.
P: Co to jest największy wspólny dzielnik?
O: Największy wspólny dzielnik (GCD) to największa liczba, która może podzielić się równo na dwie dane liczby.
P: Jak określa się dzisiejszy system geometryczny w porównaniu z tym, co nazywano "geometrią" w czasach starożytnych?
O: Dzisiejszy system geometryczny nazywa się geometrią euklidesową, aby odróżnić go od innych, nieeuklidesowych geometrii, które matematycy odkryli w XIX wieku.
Przeszukaj encyklopedię