Twierdzenie
Twierdzenie jest sprawdzonym pomysłem w matematyce. Twierdzenia są udowodnione za pomocą logiki i innych tez, które zostały już udowodnione. Twierdzenie, które ktoś musi udowodnić, aby mógł udowodnić inne twierdzenie, nazywane jest lemma. Twierdzenia te składają się z dwóch części, istnieją hipotezy i wnioski.
Twierdzenia używają dedukcji, w przeciwieństwie do teorii, które są empiryczne.
Niektóre twierdzenia są trywialne, wynikają bezpośrednio z propozycji. Inne twierdzenia nazywane są "głębokie", ich dowód jest długi i trudny. Czasami takie dowody dotyczą innych dziedzin matematyki lub pokazują powiązania między różnymi obszarami. Twierdzenie może być proste do stwierdzenia, a jednak głębokie. Doskonałym przykładem jest ostatnie twierdzenie Fermata, a jest wiele innych przykładów prostych, ale głębokich twierdzeń w teorii liczb i kombinatorach, między innymi.
Istnieją inne twierdzenia, na które znany jest dowód, ale nie można go łatwo spisać. Najlepszymi przykładami są czterokolorowe twierdzenie i przypuszczenie Keplera. Oba te twierdzenia znane są jako prawdziwe tylko poprzez zredukowanie ich do wyszukiwania obliczeniowego, które następnie jest weryfikowane przez program komputerowy. Na początku wielu matematyków nie akceptowało tej formy dowodu, ale w ostatnich latach stała się ona bardziej akceptowana. Matematyk Doron Zeilberger posunął się nawet do stwierdzenia, że są to prawdopodobnie jedyne nietrywialne wyniki, jakie matematycy kiedykolwiek udowodnili. Wiele teorii matematycznych można zredukować do prostszych obliczeń, w tym wielomianowe tożsamości, tożsamości trygonometryczne i hipergeometryczne.
Twierdzenie Pitagorejczyka ma co najmniej 370 znanych dowodów.
Książki
- Heath, Sir Thomas Little (1897), The works of Archimedes, Dover, rectrieved 2009-11-15
- Hoffman, P. (1998). The Man Who Loved Only Numbers: Historia Paula Erdősa i poszukiwanie matematycznej prawdy. Hyperion, Nowy Jork.
- Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. Link zewnętrzny w |title= (help)CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów (link)
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest twierdzenie?
O: Twierdzenie to idea, której prawdziwość została udowodniona w matematyce za pomocą logiki i innych udowodnionych już twierdzeń.
P: Co to jest lemat?
O: Lemat jest mniejszym twierdzeniem, które trzeba udowodnić, aby udowodnić twierdzenie główne.
P: Jak powstają twierdzenia?
O: Twierdzenia składają się z dwóch części - hipotez i wniosków - i wykorzystują raczej dedukcję niż teorie empiryczne.
P: Czy wszystkie twierdzenia są trudne do udowodnienia?
O: Nie, niektóre twierdzenia są banalne, ponieważ wynikają bezpośrednio z twierdzeń, podczas gdy inne wymagają długich i trudnych dowodów, które dotyczą innych dziedzin matematyki lub pokazują związki między różnymi dziedzinami.
P: Czy twierdzenie może być proste, ale głębokie?
O: Tak, przykładem może być ostatnie twierdzenie Fermata, które jest proste w stwierdzeniu, ale jego dowód jest długi i trudny.
P: Czy istnieją twierdzenia, których dowód jest znany, ale nie da się go łatwo zapisać?
O: Tak, na przykład twierdzenie o czterech kolorach i przypuszczenie Keplera, które można zweryfikować tylko poprzez przepuszczenie ich przez programy komputerowe.
P: Czy twierdzenia matematyczne można czasem sprowadzić do prostszych obliczeń?
O: Tak, twierdzenia matematyczne można czasami sprowadzić do prostszych obliczeń, takich jak tożsamości wielomianów, tożsamości trygonometryczne lub tożsamości hipergeometryczne.
