Twierdzenie jest sprawdzonym pomysłem w matematyce. Twierdzenia są udowodnione za pomocą logiki i innych tez, które zostały już udowodnione. Twierdzenie, które ktoś musi udowodnić, aby mógł udowodnić inne twierdzenie, nazywane jest lemma. Twierdzenia te składają się z dwóch części, istnieją hipotezy i wnioski.
Twierdzenia używają dedukcji, w przeciwieństwie do teorii, które są empiryczne.
Niektóre twierdzenia są trywialne, wynikają bezpośrednio z propozycji. Inne twierdzenia nazywane są "głębokie", ich dowód jest długi i trudny. Czasami takie dowody dotyczą innych dziedzin matematyki lub pokazują powiązania między różnymi obszarami. Twierdzenie może być proste do stwierdzenia, a jednak głębokie. Doskonałym przykładem jest ostatnie twierdzenie Fermata, a jest wiele innych przykładów prostych, ale głębokich twierdzeń w teorii liczb i kombinatorach, między innymi.
Istnieją inne twierdzenia, na które znany jest dowód, ale nie można go łatwo spisać. Najlepszymi przykładami są czterokolorowe twierdzenie i przypuszczenie Keplera. Oba te twierdzenia znane są jako prawdziwe tylko poprzez zredukowanie ich do wyszukiwania obliczeniowego, które następnie jest weryfikowane przez program komputerowy. Na początku wielu matematyków nie akceptowało tej formy dowodu, ale w ostatnich latach stała się ona bardziej akceptowana. Matematyk Doron Zeilberger posunął się nawet do stwierdzenia, że są to prawdopodobnie jedyne nietrywialne wyniki, jakie matematycy kiedykolwiek udowodnili. Wiele teorii matematycznych można zredukować do prostszych obliczeń, w tym wielomianowe tożsamości, tożsamości trygonometryczne i hipergeometryczne.
