W geometrii postulat równoległości jest jednym z aksjomatów geometrii euklidesowej. Czasami nazywany jest również piątym postulatem Euklidesa, ponieważ jest piątym postulatem w Elementach Euklidesa.

Postulat ten mówi, że:

Jeśli przetniemy odcinek prostej dwiema prostymi, a dwa kąty wewnętrzne, które tworzą te proste, sumują się do mniej niż 180°, to te dwie proste w końcu się spotkają, jeśli przedłużymy je wystarczająco długo.

Dziedzina geometrii, która spełnia wszystkie aksjomaty Euklidesa, nazywana jest geometrią euklidesową. Geometrie, które nie spełniają wszystkich aksjomatów Euklidesa nazywamy geometrią nieeuklidesową.

Różne formułowania postulatu

Postulat Euklidesa występuje w kilku równoważnych formach, spośród których najbardziej znane to:

  • Postulat Euklidesa (oryginalne sformułowanie) — cytowane powyżej stwierdzenie o sumie kątów wewnętrznych mniejszych niż 180°.
  • Zasada Playfaira — przez punkt poza daną prostą przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do tej prostej. Jest to najczęściej używane współczesne sformułowanie równoważne postulatowi Euklidesa.
  • Różne inne aksjomaty równoważne — na przykład: suma kątów trójkąta równa się 180°; istnieje podobieństwo trójkątów o dowolnych rozmiarach; stosunek odcinków w podobnych trójkątach jest zachowany itp.

Niezależność postulatu i historia

Przez ponad dwa tysiące lat matematycy próbowali dowieść piątego postulatu z pozostałych aksjomatów Euklidesa, uważając go za mniej naturalny i trudniejszy niż pozostałe. W pracy nad tym problemem pojawiło się wiele prób modyfikacji i dowodów — m.in. prace Saccheriego, Lambert'a i innych — jednak końcowy przełom nastąpił na początku XIX wieku.

Matematycy tacy jak János Bolyai, Nikolaj Łobaczewski i Bernhard Riemann wykazali, że można konsekwentnie rozważać geometrię, w której postulat równoległości nie obowiązuje, co doprowadziło do powstania geometrii nieeuklidesowych (hiperbolicznej i eliptycznej). Modele tych geometrii (np. model Beltramiego, model Poincarégo, model Kleina) pokazały, że piąty postulat jest niezależny od pozostałych aksjomatów Euklidesa — czyli nie można go dowieść ani zaprzeczyć korzystając jedynie z pozostałych aksjomatów.

Konsekwencje przyjęcia postulatu

Przyjęcie piątego postulatu ma dalekosiężne konsekwencje dla własności przestrzeni geometrycznej. W geometrii euklidesowej wynikają m.in.:

  • Każdy trójkąt ma sumę kątów równą 180°.
  • Istnieje dokładnie jedna prosta równoległa do danej prostej przechodząca przez punkt poza nią (zasada Playfaira).
  • Wiele twierdzeń dotyczących podobieństwa trójkątów oraz zachowania proporcji odcinków jest prawdziwych.
  • Równoległość jest relacją przechodnią i działania na prostych i kątach mają dobrze znane własności używane w geometrii analitycznej i euklidesowej geometrii przestrzeni.

Geometrie nieeuklidesowe — krótki opis

Gdy odrzucimy lub zmienimy piąty postulat, uzyskujemy alternatywne spójne systemy geometryczne:

  • Geometria hiperboliczna (Lobaczewskiego–Bolyai): przez punkt spoza danej prostej przechodzi co najmniej więcej niż jedna prosta równoległa do tej prostej; suma kątów trójkąta jest mniejsza niż 180°.
  • Geometria eliptyczna (Riemanna): nie istnieją proste równoległe; sumy kątów trójkątów są większe niż 180°; przykładem jest powierzchnia sfery z geodezyjnymi jako "prostymi".

Znaczenie matematyczne i praktyczne

Postulat równoległości miał i ma ogromne znaczenie dla rozwoju matematyki:

  • Rozwiązanie problemu niezależności postulatu doprowadziło do powstania nowych działów matematyki — geometrii nieeuklidesowej oraz badań nad aksjomatyzacją teorii matematycznych.
  • Modele nieeuklidesowe mają bezpośrednie zastosowanie w teorii względności Einsteina (geometria pseudo-Riemanna), gdzie geometria przestrzeni zależy od obecności masy i energii.
  • Badania nad aksjomatyzacją geometrii wpłynęły na rozwój logiki matematycznej i teorii modeli.

Podsumowanie

Postulat równoległości jest kluczowym elementem, który wyróżnia geometrię euklidesową spośród innych geometrii. Choć na pierwszy rzut oka wygląda na intuicyjny, jego rola aksjomatu (a nie twierdzenia wynikającego z innych zasad) i możliwość stworzenia spójnych alternatywnych geometrii uczyniły z niego jeden z najważniejszych problemów w historii matematyki, wpływając na dalszy rozwój teorii i zastosowań geometrycznych.