Postulat Euklidesa
W geometrii postulat równoległości jest jednym z aksjomatów geometrii euklidesowej. Czasami nazywany jest również piątym postulatem Euklidesa, ponieważ jest piątym postulatem w Elementach Euklidesa.
Postulat ten mówi, że:
Jeśli przetniemy odcinek prostej dwiema prostymi, a dwa kąty wewnętrzne, które tworzą te proste, sumują się do mniej niż 180°, to te dwie proste w końcu się spotkają, jeśli przedłużymy je wystarczająco długo.
Dziedzina geometrii, która spełnia wszystkie aksjomaty Euklidesa, nazywana jest geometrią euklidesową. Geometrie, które nie spełniają wszystkich aksjomatów Euklidesa nazywamy geometrią nieeuklidesową.
Jeżeli suma kątów wewnętrznych α (alfa) i β (beta) jest mniejsza niż 180°, to te dwie proste gdzieś się przetną, jeżeli obie zostaną przedłużone do nieskończoności.
Historia
Niektórzy matematycy uważali, że piąty postulat Euklidesa jest znacznie dłuższy i bardziej skomplikowany niż pozostałe cztery postulaty. Wielu z nich sądziło, że można go udowodnić z innych, prostszych aksjomatów. Niektórzy matematycy ogłosili, że dowiedli tego postulatu z prostszych postulatów, ale okazało się, że wszyscy się pomylili.
Aksjomat Playfaira
Inna, nowsza teza, znana jako aksjomat Playfaira, jest podobna do piątego postulatu Euklidesa. Mówi ono, że:
Biorąc pod uwagę prostą i punkt nie leżący na tej prostej, można narysować tylko jedną prostą przechodzącą przez ten punkt, która nie spotka się z drugą prostą.
W rzeczywistości matematycy odkryli, że aksjomat ten jest nie tylko podobny do piątego postulatu Euklidesa, ale ma dokładnie takie same implikacje. Z matematycznego punktu widzenia te dwie propozycje są nazywane propozycjami równoważnymi. Obecnie aksjomat Playfaira jest częściej używany przez matematyków niż oryginalny postulat równoległości Euklidesa.
Geometria nieeuklidesowa
W końcu niektórzy matematycy próbowali zbudować nowe geometrie bez użycia aksjomatu. Jeden z rodzajów geometrii nieeuklidesowej nazywany jest geometrią eliptyczną. W geometrii eliptycznej postulat równoległości jest zastąpiony aksjomatem, który mówi, że:
Biorąc pod uwagę prostą i punkt nie leżący na tej prostej, nie można narysować prostej przechodzącej przez ten punkt, która nie przetnie tej drugiej prostej.
Matematycy odkryli, że gdy zastąpili piąty postulat Euklidesa tym aksjomatem, nadal byli w stanie udowodnić wiele innych twierdzeń Euklidesa. Jednym ze sposobów wyobrażenia sobie geometrii eliptycznej jest myślenie o powierzchni kuli ziemskiej. Na kuli ziemskiej linie długości geograficznej wydają się równoległe na równiku, ale wszystkie spotykają się na biegunach. Pod koniec XIX wieku wykazano, że geometria eliptyczna jest spójna. Dowiodło to, że piąty postulat Euklidesa nie jest niezależny od pozostałych postulatów. Po tym wydarzeniu matematycy w większości zaprzestali prób udowodnienia piątego postulatu z pozostałych czterech postulatów. Zamiast tego, wielu matematyków zaczęło badać inne geometrie, które nie są zgodne z piątym postulatem Euklidesa.
Inny aksjomat, którym matematycy czasami zastępują piąty aksjomat Euklidesa, mówi, że:
Mając do dyspozycji prostą i punkt nie leżący na tej prostej, można narysować co najmniej dwie proste przechodzące przez ten punkt, które nie przetną drugiej prostej.
Nazywa się to geometrią hiperboliczną.
Inna geometria po prostu usuwa piąty postulat Euklidesa i nie zastępuje go niczym. Nazywa się to geometrią neutralną lub geometrią absolutną.
