Przystawność (kongruencja) w geometrii — definicja, własności i przykłady
Przystawność (kongruencja) w geometrii — jasna definicja, kluczowe własności i praktyczne przykłady, które pomogą rozpoznawać figury przystające i zastosować izometrię.
W geometrii mówimy, że dwie figury są przystające (kongruentne), jeśli mają ten sam kształt i rozmiar — innymi słowy jedna może być uzyskana z drugiej przez przesunięcie, obrót lub odbicie bez zmiany długości i miar kątów. Również, jeśli jedna z nich jest lustrzanym odbiciem drugiej, to nadal traktujemy je jako przystające.
Definicja formalna
Dwa zbiory punktów w przestrzeni euklidesowej nazywamy przystającymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje izometria (czyli przekształcenie zachowujące odległości) przekształcająca jeden zbiór w drugi. Izometrie nazywa się też ruchami sztywnymi, ponieważ nie zmieniają rozmiaru figur.
Typy izometrii (ruchy sztywne)
- przesunięcie (translacja),
- obrót wokół punktu (rotacja),
- odbicie względem prostej lub płaszczyzny (symetria),
- ślizgowe odbicie (kompozycja odbicia z przesunięciem) — w geometrii płaszczyzny.
Wszystkie wymienione przekształcenia zachowują odległości, dlatego jeśli jedną figurę można uzyskać z drugiej przy użyciu którejkolwiek z nich (lub ich złożenia), figury są przystające.
Kryteria przystawności trójkątów
W praktyce najczęściej sprawdza się przystawność trójkątów za pomocą standardowych kryteriów. W polskiej notacji zwykle używa się skrótów opisowych; najczęściej spotykane to:
- SSS (bok-bok-bok) — jeśli długości trzech boków jednego trójkąta są równe długościom trzech boków drugiego, trójkąty są przystające.
- SAS / BKB (bok-kąt-bok) — jeśli dwa boki i kąt między nimi w jednym trójkącie są równe odpowiednim elementom w drugim, trójkąty są przystające.
- ASA / KBK (kąt-bok-kąt) — jeśli bok i dwa przyległe kąty jednego trójkąta odpowiadają bokowi i kątom drugiego.
- AAS / KKB (kąt-kąt-bok) — jeśli dwa kąty i jeden bok (niekoniecznie między nimi) są równe, trójkąty są przystające.
- Przypadek trójkąta prostokątnego (RHS / PP) — jeśli w dwóch trójkątach prostych przeciwprostokątne są równe i jedna para przyprostokątnych również jest równa, trójkąty są przystające.
Dowody tych kryteriów opierają się na konstrukcjach i własnościach izometrii; zastosowanie jednego z kryteriów pozwala jednoznacznie ustalić przystawność (przy braku skonfliktowanych danych). Warto pamiętać, że przypadki oznaczone kombinacjami elementów są zamiennie stosowane jako wygodne narzędzia do wnioskowania w zadaniach geometrycznych.
Przystawność wielokątów i innych figur
Wielokąty uznajemy za przystające, gdy istnieje izomeria, która odwzorowuje kolejne wierzchołki jednego wielokąta w kolejne wierzchołki drugiego przy zachowaniu kolejności (lub przy odwróconej kolejności w przypadku odbicia). Dla wielokątów ważny jest zarówno rozmiar boków, jak i miary kątów oraz kolejność wierzchołków — to one określają, czy dana figura może pokryć się z drugą po odpowiednim ruchu sztywnym.
Przykładowo: dwa prostokąty są przystające, jeśli długości ich boków są takie same (można je przerzucić tak, aby pokrywały się), a dwa kwadraty — gdy mają równe długości boku.
Własności i uwagi
- Przystawne figury mają równe odcinki odpowiadające, równe kąty odpowiadające i równe pola powierzchni (wymiary zachowane).
- Przystawność nie wymaga zachowania orientacji — odbicie lustrzane jest dopuszczalne, dlatego figura i jej lustrzane odbicie są przystające (choć mają przeciwną orientację).
- Symbolicznie często zapisujemy przystawność jako A B C ≅ A' B' C' (czyli trójkąt ABC jest przystający do trójkąta A'B'C').
- Przystawność różni się od podobieństwa: podobne figury mają ten sam kształt lecz niekoniecznie ten sam rozmiar — jedną otrzymujemy z drugiej przez powiększenie lub pomniejszenie oraz ewentualne obroty i przesunięcia; odnośnie tego porównania zobacz także pojęcie podobnymi.
Przykłady
- Dwa odcinki o długościach 5 cm i 5 cm są przystające (izometria: przesunięcie).
- Dwa trójkąty o bokach 3 cm, 4 cm, 5 cm są przystające (SSS).
- Figura wycięta z kartki i przylegająca po przesunięciu i obrocie do innej figury jest z nią przystająca; jeśli konieczne jest skalowanie, to figury są jedynie podobnymi, a nie przystającymi.
Jak sprawdzić przystawność w zadaniu
1. Zidentyfikuj, które elementy (boki, kąty) są podane i czy odpowiadające sobie elementy dwóch figur są równe.
2. Spróbuj skorzystać z jednego z kryteriów przystawności trójkątów (jeśli chodzi o trójkąty).
3. Rozważ konstrukcję izometrii — jeśli potrafisz przesunąć/obrócić/odbiciem dopasować jedną figurę do drugiej, są przystające.
4. W przypadku wielokątów sprawdź równość długości odpowiednich boków i miar kątów oraz możliwość odwzorowania wierzchołków jeden do jednego.
Podsumowując: przystawność (kongruencja) to pojęcie opisujące sytuację, w której dwie figury mają identyczny rozmiar i kształt, a jedna może zostać uzyskana z drugiej za pomocą ruchów sztywnych — czyli izometrii. Dzięki temu możemy formalnie i praktycznie porównywać figury w geometrii euklidesowej oraz wyprowadzać wnioski o równych bokach, kątach i innych wielkościach odpowiadających elementów.
Przykład kongruencji. Dwa trójkąty po lewej stronie są przystające, a trzeci jest do nich podobny. Ostatni trójkąt nie jest ani podobny, ani przystający do żadnego z pozostałych. Zauważ, że kongruencja pozwala na zmianę niektórych własności, takich jak położenie i orientacja, ale pozostawia inne niezmienione, takie jak odległość i kąty. Te niezmienione własności nazywamy niezmiennikami.
Przykłady
- wszystkie kwadraty, które mają boki tej samej długości są przystające.
- wszystkie trójkąty równoboczne, które mają boki tej samej długości są przystające.
Testy na zbieżność
- Dwa kąty i bok między nimi są takie same w dwóch trójkątach (zbieżność ASA)
- Dwa kąty i bok nie leżący między nimi są takie same w obu trójkątach (zbieżność AAS)
- Wszystkie trzy boki obu trójkątów są takie same (przystawanie SSS)
- dwa boki i kąt między nimi sprawiają, że 2 trójkąty są przystające (przystawanie SAS)
Jak możemy otrzymać nowe przystające kształty?
Mamy sporo możliwości, kilka zasad tworzenia nowych kształtów przystających do pierwotnego.
- Jeśli przesuniemy kształt geometryczny w płaszczyźnie, to otrzymamy kształt przystający do pierwotnego.
- Jeśli zamiast przesuwania obrócimy, to również otrzymamy kształt przystający do pierwotnego.
- Nawet jeśli weźmiemy lustrzane odbicie oryginalnego kształtu, to nadal otrzymamy przystający kształt.
- Jeśli połączymy te trzy działania jedno po drugim, to nadal otrzymamy przystające kształty.
- Nie ma więcej przystających kształtów. Dokładniej, oznacza to, że jeśli jakiś kształt jest przystający do oryginalnego, to można do niego dotrzeć poprzez trzy działania opisane powyżej.
Związek, że kształt jest przystający do innego kształtu ma trzy słynne właściwości.
- Jeśli pozostawimy oryginalny kształt w spokoju w jego pierwotnym miejscu, to jest on przystający do samego siebie. To zachowanie, ta własność nazywa się refleksyjnością.
Na przykład, jeśli przesunięcie powyżej nie jest właściwe przesunięcie, ale tylko przesunięcie wykonując ruch o długości zero. Lub, podobnie, jeśli powyższy obrót nie jest właściwym obrotem, ale tylko obrotem o kąt zero.
- Jeżeli jakiś kształt jest przystający do innego kształtu, to ten inny kształt jest również przystający do kształtu oryginalnego. To zachowanie, ta własność nazywana jest symetrią.
Na przykład, jeśli cofniemy, obrócimy lub odbijemy lustrzanie nowy kształt do oryginalnego, wtedy oryginalny kształt jest przystający do nowego.
- Jeśli kształt C jest przystający do kształtu B, a kształt B jest przystający do pierwotnego kształtu A, to kształt C jest również przystający do pierwotnego kształtu A. To zachowanie, ta własność nazywa się przechodniością.
Na przykład, jeśli zastosujemy najpierw przesunięcie, a następnie obrót, to wynikowy nowy kształt jest nadal przystający do oryginalnego.
Słynne trzy własności: refleksyjność, symetria i przechodniość tworzą razem pojęcie równoważności. Stąd, własność kongruencji jest jednym z rodzajów relacji równoważności pomiędzy kształtami płaszczyzny.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to znaczy, że dwie figury są przystające w geometrii?
O: Dwie figury są przystające w geometrii, jeżeli mają ten sam kształt i wielkość, lub jeżeli jedna z nich ma ten sam kształt i wielkość jako lustrzane odbicie drugiej.
P: W jaki sposób dwa zbiory punktów są nazywane przystającymi?
O: Dwa zbiory punktów nazywamy przystającymi wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich można przekształcić w drugi za pomocą izometrii.
P: Do czego służą ruchy sztywne w izometrii?
O: Ruchy sztywne są wykorzystywane w izometrii do zmiany położenia, obrotu lub odbicia figur geometrycznych bez zmiany ich wielkości, tak aby dokładnie pokrywały się z innymi obiektami.
P: Czy dwie figury mogą być przystające, jeżeli jedna z nich musi zmienić swój rozmiar, aby pokryć się z drugą?
O: Nie, jeżeli jeden z obiektów musi zmienić swoją wielkość, aby pokryć się z drugim, to te dwa obiekty nie są przystające, ale nazywa się je podobnymi.
P: Co można powiedzieć o przystawalności dwóch różnych figur płaskich na kartce papieru?
O: Dwie różne figury płaskie na kartce papieru są przystające, jeżeli możemy je wyciąć, a następnie całkowicie dopasować do siebie, w razie potrzeby odwracając kartkę.
P: Co to są wielokąty przystające?
O: Wielokąty przystające to wielokąty, które można złożyć na pół, aby stworzyć inny wielokąt foremny, który również jest przystający.
P: Jakie jest kryterium tego, że dwa obiekty można nazwać przystającymi w geometrii?
O: Kryterium uznania dwóch obiektów za przystające w geometrii jest możliwość zmiany położenia, obrotu lub odbicia jednego obiektu tak, aby pokrywał się dokładnie z drugim obiektem, bez zmiany jego rozmiarów.
Przeszukaj encyklopedię