kongruencja
W geometrii dwie figury lub obiekty są przystające, jeśli mają ten sam kształt i rozmiar. Również wtedy, gdy jedna z nich ma taki sam kształt i rozmiar jak lustrzane odbicie drugiej.
Bardziej formalnie, dwa zbiory punktów nazywamy przystającymi wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich może być przekształcony w drugi przez izometrię. Do izometrii używa się ruchów sztywnych.
Oznacza to, że jeden obiekt można zmienić położenie i odbicie (ale nie rozmiar) tak, aby pokrywał się dokładnie z drugim obiektem. Zatem dwie różne figury płaskie na kartce papieru są przystające, jeśli możemy je wyciąć, a następnie całkowicie dopasować. Odwracanie kartki jest dozwolone.
Wielokąty przystające to wielokąty, które jeśli złożymy wielokąt foremny na pół, to jest to wielokąt przystający.
Dwie figury geometryczne są przystające, jeśli jedną z nich można przesunąć lub obrócić tak, by pasowała dokładnie tam, gdzie druga. Jeśli jeden z obiektów musi zmienić swój rozmiar, dwa obiekty nie są przystające: są one po prostu nazywane podobnymi.
Jeśli dwie figury lub obiekty są przystające, mają ten sam kształt i rozmiar; ale można je obracać, przesuwać, odwzorowywać w lustrze (odbiciu) lub przekładać, tak aby pasowały dokładnie tam, gdzie jest drugi.
Przykład kongruencji. Dwa trójkąty po lewej stronie są przystające, a trzeci jest do nich podobny. Ostatni trójkąt nie jest ani podobny, ani przystający do żadnego z pozostałych. Zauważ, że kongruencja pozwala na zmianę niektórych własności, takich jak położenie i orientacja, ale pozostawia inne niezmienione, takie jak odległość i kąty. Te niezmienione własności nazywamy niezmiennikami.
Przykłady
- wszystkie kwadraty, które mają boki tej samej długości są przystające.
- wszystkie trójkąty równoboczne, które mają boki tej samej długości są przystające.
Testy na zbieżność
- Dwa kąty i bok między nimi są takie same w dwóch trójkątach (zbieżność ASA)
- Dwa kąty i bok nie leżący między nimi są takie same w obu trójkątach (zbieżność AAS)
- Wszystkie trzy boki obu trójkątów są takie same (przystawanie SSS)
- dwa boki i kąt między nimi sprawiają, że 2 trójkąty są przystające (przystawanie SAS)
Jak możemy otrzymać nowe przystające kształty?
Mamy sporo możliwości, kilka zasad tworzenia nowych kształtów przystających do pierwotnego.
- Jeśli przesuniemy kształt geometryczny w płaszczyźnie, to otrzymamy kształt przystający do pierwotnego.
- Jeśli zamiast przesuwania obrócimy, to również otrzymamy kształt przystający do pierwotnego.
- Nawet jeśli weźmiemy lustrzane odbicie oryginalnego kształtu, to nadal otrzymamy przystający kształt.
- Jeśli połączymy te trzy działania jedno po drugim, to nadal otrzymamy przystające kształty.
- Nie ma więcej przystających kształtów. Dokładniej, oznacza to, że jeśli jakiś kształt jest przystający do oryginalnego, to można do niego dotrzeć poprzez trzy działania opisane powyżej.
Związek, że kształt jest przystający do innego kształtu ma trzy słynne właściwości.
- Jeśli pozostawimy oryginalny kształt w spokoju w jego pierwotnym miejscu, to jest on przystający do samego siebie. To zachowanie, ta własność nazywa się refleksyjnością.
Na przykład, jeśli przesunięcie powyżej nie jest właściwe przesunięcie, ale tylko przesunięcie wykonując ruch o długości zero. Lub, podobnie, jeśli powyższy obrót nie jest właściwym obrotem, ale tylko obrotem o kąt zero.
- Jeżeli jakiś kształt jest przystający do innego kształtu, to ten inny kształt jest również przystający do kształtu oryginalnego. To zachowanie, ta własność nazywana jest symetrią.
Na przykład, jeśli cofniemy, obrócimy lub odbijemy lustrzanie nowy kształt do oryginalnego, wtedy oryginalny kształt jest przystający do nowego.
- Jeśli kształt C jest przystający do kształtu B, a kształt B jest przystający do pierwotnego kształtu A, to kształt C jest również przystający do pierwotnego kształtu A. To zachowanie, ta własność nazywa się przechodniością.
Na przykład, jeśli zastosujemy najpierw przesunięcie, a następnie obrót, to wynikowy nowy kształt jest nadal przystający do oryginalnego.
Słynne trzy własności: refleksyjność, symetria i przechodniość tworzą razem pojęcie równoważności. Stąd, własność kongruencji jest jednym z rodzajów relacji równoważności pomiędzy kształtami płaszczyzny.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to znaczy, że dwie figury są przystające w geometrii?
O: Dwie figury są przystające w geometrii, jeżeli mają ten sam kształt i wielkość, lub jeżeli jedna z nich ma ten sam kształt i wielkość jako lustrzane odbicie drugiej.
P: W jaki sposób dwa zbiory punktów są nazywane przystającymi?
O: Dwa zbiory punktów nazywamy przystającymi wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich można przekształcić w drugi za pomocą izometrii.
P: Do czego służą ruchy sztywne w izometrii?
O: Ruchy sztywne są wykorzystywane w izometrii do zmiany położenia, obrotu lub odbicia figur geometrycznych bez zmiany ich wielkości, tak aby dokładnie pokrywały się z innymi obiektami.
P: Czy dwie figury mogą być przystające, jeżeli jedna z nich musi zmienić swój rozmiar, aby pokryć się z drugą?
O: Nie, jeżeli jeden z obiektów musi zmienić swoją wielkość, aby pokryć się z drugim, to te dwa obiekty nie są przystające, ale nazywa się je podobnymi.
P: Co można powiedzieć o przystawalności dwóch różnych figur płaskich na kartce papieru?
O: Dwie różne figury płaskie na kartce papieru są przystające, jeżeli możemy je wyciąć, a następnie całkowicie dopasować do siebie, w razie potrzeby odwracając kartkę.
P: Co to są wielokąty przystające?
O: Wielokąty przystające to wielokąty, które można złożyć na pół, aby stworzyć inny wielokąt foremny, który również jest przystający.
P: Jakie jest kryterium tego, że dwa obiekty można nazwać przystającymi w geometrii?
O: Kryterium uznania dwóch obiektów za przystające w geometrii jest możliwość zmiany położenia, obrotu lub odbicia jednego obiektu tak, aby pokrywał się dokładnie z drugim obiektem, bez zmiany jego rozmiarów.
