Wzór Eulera

Tożsamość Eulera, czasami nazywana równaniem Eulera, jest tym równaniem:

e i π + 1 = 0 {\i0} {\i1}Style e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

π {\i1}Styl stylistyczny.{\i0} $\pi$ pi

π ≈ 3.14159 {\i1} {\i1}Styl stylistyczny {\i1}pi {\i1} ok. 3.14159} $\pi \approx 3.14159$

e {\i1}Style e{\i0} $e$ Numer Eulera

e ≈ 2.71828 {\i1} {\i1}Displaystyle e\i1} ok. 2.71828} $e\approx 2.71828$

i {\i1} $i$ , wyimaginowana jednostka.{\i0}

ı = √ - 1 {\i1}Displaystyle \i0}imath =\i0}surd {\i1} $\imath =\surd {-1}$

Tożsamość Eulera została nazwana na cześć szwajcarskiego matematyka Leonarda Eulera. Nie jest jasne, czy sam ją wymyślił.

Respondenci ankiety przeprowadzonej w świecie fizyki nazwali tożsamość "najgłębszą matematyczną wypowiedzią, jaką kiedykolwiek napisano", "niesamowitą i wysublimowaną", "wypełnioną kosmicznym pięknem" i "rozsadzającą umysł".

Matematyczny dowód tożsamości Eulera przy użyciu Taylor Series

Wiele równań można zapisać jako szereg terminów dodanych razem. Nazywa się to serią Taylora

Funkcja wykładnicza e x {\i1}wyświetlacz e^{\i0}}może być zapisana jako $e^{x}$ seria Taylor

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \{2!}}+{x^{3} \{3!}}+{x^{4} nad n!\N} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Również Sine może być napisane jako

grzech x = x - x 3 3! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\i1} {\i1}sin {x}=x-{x^{3} \Ponad 3! \Ponad 5!{x^^7} \{y:i}...ponad 7! \nad (2n+1)!}{x^{2n+1}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

i Cosine jako

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\i1} {\i1}Styl sygnalizacyjny {\i0}cos {x}=1-{x^{\i0} \Ponad 2! \nad 4! {x^^6} \{y:i}...ponad 6! \nad (2n)!}{x^{2n}} $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Tutaj widzimy wzór przybierający postać. e x {\i1}displaystyle e^{x}} $e^{x}$ wydaje się być sumą sinusoidalnej i kosinusoidalnej serii Taylor, z wyjątkiem wszystkich znaków zmienionych na pozytywne. Tożsamość, którą faktycznie udowadniamy to e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\i1} {\i1}displaystyle e^{ix}=cos(x)+i\i0}sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

Więc, po lewej stronie jest e i x {\i1}displaystyle e^{ix}} $e^{ix}$ , którego seria Taylor wynosi 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\i1}Displastyla 1+ix-{x^{2} \{y:i}- Nad 2! \Ponad 3! \Ponad 4! \nad 5!} $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Widzimy tu pewien wzór, że każdy drugi termin jest terminem sine'owym, a pozostałe terminy są terminem cosine'owym.

Po prawej stronie jest cos ( x ) + i sin ( x ) {\i0} {\i1}displaystyle \cos(x)+i\i0}sin(x)} $\cos(x)+i\sin(x)$ , którego seria Taylor jest seria Taylor cosinus, plus i razy seria Taylor sine, która może być pokazana jako:

jeśli dodamy je razem, mamy

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\i1}Displastyla 1+ix-{x^{2} \{Y:i}- Nad 2! \Ponad 3! \Ponad 4! \nad 5!} $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Dlatego:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\i1} {\i1}displaystyle e^{ix}=\i0}cos(x)+i\i0}sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Teraz, jeśli zastąpimy x styropianem π {\i0} $\pi$ Mamy...

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\i0} {\i1}displaystyle e^{i\pi }=cos(\i0} +i\i0}sin(\i0}) {\i1} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Wtedy wiemy, że

cos ( π ) = - 1 {\i1}splaystyle {\i0}cos(\i0} =-1} $\cos(\pi )=-1$

oraz

sin ( π ) = 0 {\i1}displaystyle {\i0}sin(\i0} =0} $\sin(\pi )=0$

Dlatego:

e i π = 0 - 1 {\i0}- 1 {\i1} {\i1}Displaystyle e^{i\i0}=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\i0} {\i1}Style e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest tożsamość Eulera?

O: Tożsamość Eulera, zwana czasem równaniem Eulera, to równanie, w którym występują stałe matematyczne pi, liczba Eulera i jednostka urojona oraz trzy podstawowe działania matematyczne (dodawanie, mnożenie i wykładanie). Równanie ma postać e^(i*pi) + 1 = 0.

P: Kim był Leonard Euler?

O: Leonard Euler był szwajcarskim matematykiem, od którego pochodzi nazwa tożsamości. Nie jest jasne, czy sam ją wymyślił.

P: Jakie są niektóre reakcje na tożsamość Eulera?

O: Respondenci ankiety Physics World nazwali tożsamość "najgłębszym stwierdzeniem matematycznym, jakie kiedykolwiek napisano", "niesamowitym i wzniosłym", "wypełnionym kosmicznym pięknem" i "oszałamiającym".

P: Jakie są niektóre stałe występujące w tym równaniu?

O: Stałe w tym równaniu to pi (około 3,14159), liczba Eulera (około 2,71828) i jednostka urojona (równa -1).

P: Jakie są niektóre z działań występujących w tym równaniu?

O: Operacje występujące w tym równaniu to dodawanie, mnożenie i potęgowanie.

P: Jak można wyrazić pi matematycznie?

O: Pi można wyrazić matematycznie jako π ≈ 3,14159 {\i0}.

P: Jak można wyrazić matematycznie Liczbę Eulera? O: Liczba Eulera może być wyrażona matematycznie jako e ≈ 2,71828 {displaystyle e ≈approx 2,71828}.