Jednostka urojona

W matematyce, jednostki urojone, lub i, są liczbami, które mogą być reprezentowane przez równania, ale odnoszą się do wartości, które nie mogłyby fizycznie istnieć w rzeczywistym życiu. Matematyczna definicja jednostki urojonej to i = - 1 {\i1}Style i={\i0}sqrt {\i1}}. $i={\sqrt {-1}}$ która ma właściwość i × i = i 2 = - 1 {\i0} {\i1}i^{\i0}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ .

Powodem utworzenia i była odpowiedź na wielomianowe równanie, x 2 + 1 = 0 {\i1}styl x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ która normalnie nie ma rozwiązania, ponieważ wartość x 2 {\i1}stystylu x^{2}} $x^{2}$ musiałaby być równa -1. Chociaż problem ten jest możliwy do rozwiązania, pierwiastek kwadratowy z -1 nie mógłby być reprezentowany przez fizyczną ilość jakichkolwiek obiektów w rzeczywistym życiu.

Kwadratowy rdzeń i

Czasami zakłada się, że trzeba utworzyć inną liczbę, aby pokazać pierwiastek kwadratowy z i, ale to nie jest potrzebne. Pierwiastek kwadratowy i może być zapisany jako: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
{y:i}To może być pokazane jako:

{\i1}(1+i)\i0}(1+i)\i0}(1+i)\i0}(2) {\i1}(1+i)\i0}(2)) $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\i1}(1 + i) 2 {\i1}(styropian)\i0}(lewy){\i0}{\i1}frac {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}prawda?^{\i0} $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\i1} {\i1}displaystyle =(\i1)^{\i2}{\i1}frac {\i1}(1+i)(1+i)\i0} $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\i1}(1+2i+i^{2})\i0}(1+2i+i^{2})\i1)\i0}(i^{2}=-1)\i0} $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= {\i1}(2i)\i0}(2i)\i0}(2i)\i0} $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\i1}displaystyle =i\i0} $=i\$

Uprawnienia i

Siły idą za przewidywalnym wzorem:

i - 3 = i {\i1}displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\i1}Style i^{\i0}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\i1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\i1}Style i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\i1}Displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\i1}Style i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\i1}Displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\i1}Style i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\i1}displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\i1}Style i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

Można to pokazać za pomocą następującego wzoru, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą:

i 4 n = 1 {\i1}displaystyle i^{4n}=1} $i^{4n}=1$

i 4 n + 1 = i {\i1}displaystyle i^{4n+1}=i} $i^{4n+1}=i$

i 4 n + 2 = - 1 {\i1}styk stylistyczny i^{4n+2}=-1} $i^{4n+2}=-1$

i 4 n + 3 = - i {\i1}displaystyle i^{4n+3}=-i} $i^{4n+3}=-i$

Powiązane strony

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest jednostka urojona?

O: Jednostka urojona to wartość liczbowa, która istnieje tylko poza liczbami rzeczywistymi i jest używana w algebrze.

P: Jak używamy jednostki urojonej?

O: Mnożymy jednostkę urojoną przez liczbę rzeczywistą, aby otrzymać liczbę urojoną.

P: Do czego służą liczby urojone?

O: Liczby urojone można wykorzystać do rozwiązywania wielu problemów matematycznych.

P: Czy można przedstawić liczbę urojoną za pomocą przedmiotów rzeczywistych?

O: Nie, nie można przedstawić liczby urojonej za pomocą przedmiotów rzeczywistych.

P: Skąd pochodzi jednostka urojona?

O: Jednostka urojona pochodzi z matematyki i algebry.

P: Czy jednostka urojona jest częścią liczb rzeczywistych?

O: Nie, istnieje poza obszarem liczb rzeczywistych.

P: Jak się oblicza liczbę urojoną? O: Liczbę urojoną oblicza się, mnożąc liczbę rzeczywistą przez jednostkę urojoną.