W matematyce, jednostki urojone, zwanej zazwyczaj i, wprowadza się w celu rozwiązania równań, które nie mają pierwiastków w zbiorze liczb rzeczywistych. Definicję zapisuje się jako i = pierwiastek kwadratowy z −1: {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} Jednostka urojona spełnia podstawową własność

{\displaystyle i\times i=i^{2}=-1}

Powodem wprowadzenia i było rozwiązanie równania

{\displaystyle x^{2}+1=0} które w zbiorze liczb rzeczywistych nie ma rozwiązania, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny. Dzięki jednostce urojonej to równanie ma dwa rozwiązania: x = i oraz x = −i.

Podstawowe własności

  • Cykliczność potęg: potęgi i powtarzają się co cztery: i0=1, i1=i, i2=−1, i3=−i, i4=1, itd.
  • Algebraiczne własności: działa w zwykłych działaniach arytmetycznych: można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić liczby, które zawierają część urojoną. Zbiór liczb zespolonych ma postać z = a + bi, gdzie a i b to liczby rzeczywiste.
  • Sprzężenie zespolone: sprzężeniem liczby z = a + bi jest \u0305z = a − bi. Iloczyn liczby przez jej sprzężenie daje kwadrat modułu: z·\u0305z = a² + b².
  • Moduł (długość): |z| = sqrt(a² + b²) — odległość punktu reprezentującego z od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej.

Działania na liczbach zespolonych — przykłady

  • Dodawanie: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
  • Mnożenie: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
  • Dzielenie: Aby podzielić z1 = a + bi przez z2 = c + di, mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika: z1 / z2 = [(a + bi)(c − di)] / (c² + d²) = ( (ac + bd) + (bc − ad)i ) / (c² + d²).
  • Przykład rozwiązania równania: x² + 1 = 0 ⇒ x = ±i.

Reprezentacja geometryczna i trygonometryczna

Liczby zespolone można utożsamić z punktami (a, b) w płaszczyźnie zespolonej (tzw. płaszczyzna Argand'a), gdzie oś pozioma to część rzeczywista, a pionowa to część urojona. W tej reprezentacji liczba z = a + bi ma modul |z| = sqrt(a² + b²) oraz argument (kąt) θ, gdzie a = |z| cos θ, b = |z| sin θ.

W zapisie trygonometrycznym: z = |z|(cos θ + i sin θ). Dzięki tożsamości Eulera otrzymujemy wygodny zapis wykładniczy:

  • Wzór Eulera: e^{iθ} = cos θ + i sin θ, z = |z| e^{iθ}.

Zastosowania

  • Inżynieria elektryczna i teoria obwodów — analiza obwodów prądu zmiennego (sygnały sinusoidalne) wykorzystuje liczby zespolone do reprezentacji impedancji.
  • Przetwarzanie sygnałów i analiza częstotliwościowa — transformacje Fouriera i Laplace'a korzystają z wykładników zespolonych.
  • Fizyka kwantowa — amplitudy prawdopodobieństwa są często liczbami zespolonymi.
  • Matematyka — teoria funkcji analitycznych, równania różniczkowe, algebra (rozszerzenie ciał, które zapewnia algebraiczną domkniętość: każdy wielomian stopnia n ma n pierwiastków w zbiorze liczb zespolonych).

Krótka historia i uwagi

Koncepcje liczb urojonych pojawiły się już w XVI–XVII wieku przy rozwiązywaniu równań wielomianowych, jednak długo traktowano je jako „nierealne”. Dopiero w XVIII–XIX wieku ugruntowano formalną teorię liczb zespolonych oraz ich interpretację geometryczną. Dziś są podstawowym narzędziem w wielu dziedzinach nauki i techniki.

Podsumowanie: jednostka urojona i to formalny symbol spełniający i2=−1, który pozwala rozszerzyć liczby rzeczywiste do liczb zespolonych a + bi. Dzięki temu można rozwiązywać równania, opisywać zjawiska fizyczne i stosować zaawansowane metody analityczne.