Szereg Taylora — definicja, wzór, przykład i zastosowania

Na pomysł tej serii jako pierwszy wpadł starożytny grecki filozof Zeno z Elei. Wynik paradoksu nazwał "paroksyzmem Zenona". Uważał on, że niemożliwe jest dodanie nieskończonej liczby wartości i otrzymanie w wyniku jednej skończonej wartości.

Inny grecki filozof, Arystoteles, wymyślił odpowiedź na to filozoficzne pytanie. Jednak to Archimedes, wykorzystując swoją metodę wyczerpania, zaproponował matematyczne rozwiązanie. Udało mu się udowodnić, że jeśli coś zostanie podzielone na nieskończoną liczbę małych kawałków, to po zsumowaniu wszystkie one nadal będą stanowiły jedną całość. Starożytny chiński matematyk Liu Hui udowodnił to samo kilkaset lat później.

Najwcześniejsze znane przykłady serii Taylora są dziełem Mādhava z Sañgamāgrama w Indiach w 1300 roku. Późniejsi hinduscy matematycy pisali o jego pracy z funkcjami trygonometrycznymi sinusa, cosinusa, tangensa i arktangensa. Żadne z pism czy zapisków Mādhavy nie zachowały się do dziś. Inni matematycy oparli swoją pracę na odkryciach Mādhavy i pracowali z tymi seriami aż do 1500 roku.

James Gregory, szkocki matematyk, pracował w tej dziedzinie w latach 1600. Gregory badał szereg Taylora i opublikował kilka szeregów Maclaurina. W 1715 roku Brook Taylor odkrył ogólną metodę zastosowania szeregu do wszystkich funkcji. (Wszystkie wcześniejsze badania pokazywały, jak stosować tę metodę tylko do określonych funkcji). Colin Maclaurin opublikował specjalny przypadek szeregu Taylora w 1700 roku. Ten szereg, którego podstawą jest zero, nazywamy szeregiem Maclaurina.

Szereg Taylora może być użyty do opisania dowolnej funkcji ƒ(x), która jest funkcją gładką (lub, w terminologii matematycznej, "nieskończenie różniczkowalną"). Szereg Taylora jest następnie używany do opisania, jak wygląda funkcja w sąsiedztwie pewnej liczby a.

Ten szereg Taylora, zapisany jako szereg potęgowy, wygląda tak:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . f(a)+{frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+ . }

Wzór ten może być również zapisany w notacji sigma jako:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {{displaystyle \sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}},(x-a)^{n}}

Tutaj n! jest czynnikiem n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) jest n-tą pochodną ƒ w punkcie a. a {displaystyle ajest liczbą w dziedzinie funkcji. Jeżeli szereg Taylora danej funkcji jest równy tej funkcji, to funkcja ta nazywana jest "funkcją analityczną".

Seria Maclaurin

Gdy a = 0 {styl a=0} , funkcja nazywana jest szeregiem Maclaurina. Szereg Maclaurina zapisany jako szereg potęgowy wygląda następująco:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . f(0)+{{frac {f'(0)}{1!}}x+{frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+ . }

Szereg Maclaurina zapisany w notacji sigma ma postać:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {{displaystyle }sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(0)}{n!}}

Niektóre ważne szeregi Taylora i szeregi Maclaurina są następujące.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ dla wszystkich x {{displaystyle \sin x= suma _{n=0}^{infty }{{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{{frac {x^{3}}{3!}}+{{frac {x^{5}}{5!}}-{tekst {{dla wszystkich}x! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ dla wszystkich x {{displaystyle \cos x= \suma _{n=0}^{infty } {{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{{{frac {x^{2}}{2!}}+{{frac {x^{4}}{4!}}-{tekst {{dla wszystkich}x! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 dla wszystkich x {{displaystyle \sinh(x)= \sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\tekst{dla wszystkich }}x! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n dla wszystkich x {{displaystyle \cosh(x)= \sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{{text{ for all }}x! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ dla wszystkich x {{displaystyle e^{x}}=suma _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{frac {1}{2!}}x^{2}+{frac {1}{3!}}x^{3}+{cdots {{text{ for all }}x! }

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ dla wszystkich | x | < 1 {{displaystyle {{frac {{{1}{1-x}}}=suma _{n=0}^{infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+{{tekst {{dla wszystkich}|x|<1}}.

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n dla wszystkich | x | < 1 {{displaystyle ∞ ln(1+x)= ↪Sm_221}^{infty }{{frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{}}text{ for all }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {displaystyle \tan x=suma _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{}frac {x^{3}}{3}}+{}frac {2x^{5}}{15}}+{}cdots {{tekst}|x|<{frac {{pi }{2}}}! }

Gdzie B n {{n}} jest n-tą liczbą Bernoulliego, a ln {{n}} jest logarytmem naturalnym.