AlegsaOnline.com

Szereg Taylora — definicja, wzór, przykład i zastosowania

Poznaj szereg Taylora: definicja, wzór, praktyczne przykłady i zastosowania w matematyce i naukach ścisłych — krok po kroku z ilustracjami.

Autor: Leandro Alegsa

04-04-2026

Szereg Taylora to narzędzie matematyczne stosowane w informatyce, rachunku, chemii, fizyce i w innych działach matematyki wyższej. Pozwala on przybliżyć zachowanie funkcji w pobliżu wybranego punktu za pomocą sumy wyrazów wyznaczonych z pochodnych tej funkcji. Istnieje szczególny przypadek szeregu Taylora, gdy rozwinięcie jest wykonywane wokół zera — nazywa się go szeregiem Maclaurina.

Definicja i wzór

Dla funkcji f, która ma wszystkie pochodne w pewnym otoczeniu punktu a, szereg Taylora wokół punktu a zapisujemy wzorem:

f(x) = \nobracket sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n

W szczególnym przypadku a = 0 otrzymujemy szereg Maclaurina:

f(x) = \nobracket sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n

Reszta szeregu (błąd przybliżenia)

Przy praktycznym użyciu zwykle bierze się skończoną sumę od n = 0 do N. Różnica między funkcją a sumą pierwszych N+1 wyrazów to reszta szeregu. Najczęściej stosowana postać reszty to postać Lagrange'a:

R_N(x) = \frac{f^{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!}\,(x-a)^{N+1},

gdzie ξ leży między a i x. Dzięki temu wzorowi możemy oszacować błąd przybliżenia, jeśli potrafimy ograniczyć (oszacować) kolejną pochodną funkcji.

Zbieżność i promień zbieżności

Szereg Taylora jest szeregiem potęgowym w zmiennej (x−a). Istotne są dwa zagadnienia:

promień zbieżności — przedział (lub promień) wokół punktu a, w którym szereg zbiega się absolutnie;
czy suma szeregu równa jest funkcji f — nie każda funkcja klasy C^∞ jest równa swojej sumie szeregu Taylora (istnieją funkcje gładkie, które mają wszystkie pochodne w punkcie, ale ich szereg Taylora nie daje oryginalnej funkcji poza punktem rozwinięcia).

Do wyznaczania promienia zbieżności używa się kryteriów takich jak kryterium d'Alemberta (ilorazowe) lub kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe), a także znanych rozwinięć elementarnych.

Przykłady klasycznych rozwinięć

Exponencjalna (Maclaurin): e^x = sum_{n=0}^\infty x^n / n! (zbiega dla wszystkich x).
Sinus i cosinus:
- sin x = sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n+1} / (2n+1)!
- cos x = sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n} / (2n)!
Funkcja geometryczna: 1/(1-x) = sum_{n=0}^\infty x^n dla |x|<1.
Logarytm: ln(1+x) = sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} x^n / n dla |x|<1.

Przykład obliczeniowy: dla f(x)=e^x chcemy przybliżyć f w pobliżu 0. Maclaurin daje f(x) ≈ 1 + x + x^2/2! + ... + x^N/N!, a resztę możemy oszacować przez R_N(x) ≤ e^{|x|} |x|^{N+1}/(N+1)!.

Jak korzystać w praktyce

Aby otrzymać rozwinięcie Taylora, obliczamy kolejne pochodne w punkcie a, podstawiamy do wzoru i upraszczamy wyrazy.
W praktycznych zastosowaniach (numeryka, inżynieria) bierze się często skończony wielomian (tzw. wielomian Taylora) i ocenia jego trafność za pomocą reszty.
W obliczeniach komputerowych szeregi pozwalają zastąpić drogie operacje (np. funkcje trygonometryczne, wykładnicze) przez sumy wielomianów.

Zastosowania

Przybliżenia numeryczne i algorytmy (szybkie obliczanie funkcji elementarnych).
Rozwiązywanie i przybliżanie równań różniczkowych (metody perturbacyjne, series solutions).
Analiza sygnałów i teoria sterowania (linearyzacja nieliniowych układów w punkcie pracy).
Modelowanie fizyczne i chemiczne, gdzie lokalne rozwinięcia ułatwiają analizę zachowania układów.
W informatyce — optymalizacje, przybliżenia w algorytmach numerycznych i grafice komputerowej.

Uwagi praktyczne i ograniczenia

Choć idea szeregu Taylora jest bardzo potężna, należy pamiętać, że:

nie zawsze suma szeregu równa jest funkcji poza punktem rozwinięcia (wymagana jest analityczność funkcji w danym przedziale);
szeregi mogą mieć skończony promień zbieżności (np. ln(1+x) dla |x|<1);
przybliżenia dla dużych wartości |x-a| mogą wymagać wielu wyrazów, co bywa niepraktyczne.

W matematyce szereg Taylora łączy pojęcia funkcji, pochodnych i szeregów w jedno użyteczne narzędzie analityczne, wywodzące się z twierdzenia Taylora. Warto zapoznać się z kilkoma klasycznymi przykładami i technikami oszacowania reszty, aby móc stosować rozwinięcia Taylora w zadaniach praktycznych i teoretycznych.

Historia

Na pomysł tej serii jako pierwszy wpadł starożytny grecki filozof Zeno z Elei. Wynik paradoksu nazwał "paroksyzmem Zenona". Uważał on, że niemożliwe jest dodanie nieskończonej liczby wartości i otrzymanie w wyniku jednej skończonej wartości.

Inny grecki filozof, Arystoteles, wymyślił odpowiedź na to filozoficzne pytanie. Jednak to Archimedes, wykorzystując swoją metodę wyczerpania, zaproponował matematyczne rozwiązanie. Udało mu się udowodnić, że jeśli coś zostanie podzielone na nieskończoną liczbę małych kawałków, to po zsumowaniu wszystkie one nadal będą stanowiły jedną całość. Starożytny chiński matematyk Liu Hui udowodnił to samo kilkaset lat później.

Najwcześniejsze znane przykłady serii Taylora są dziełem Mādhava z Sañgamāgrama w Indiach w 1300 roku. Późniejsi hinduscy matematycy pisali o jego pracy z funkcjami trygonometrycznymi sinusa, cosinusa, tangensa i arktangensa. Żadne z pism czy zapisków Mādhavy nie zachowały się do dziś. Inni matematycy oparli swoją pracę na odkryciach Mādhavy i pracowali z tymi seriami aż do 1500 roku.

James Gregory, szkocki matematyk, pracował w tej dziedzinie w latach 1600. Gregory badał szereg Taylora i opublikował kilka szeregów Maclaurina. W 1715 roku Brook Taylor odkrył ogólną metodę zastosowania szeregu do wszystkich funkcji. (Wszystkie wcześniejsze badania pokazywały, jak stosować tę metodę tylko do określonych funkcji). Colin Maclaurin opublikował specjalny przypadek szeregu Taylora w 1700 roku. Ten szereg, którego podstawą jest zero, nazywamy szeregiem Maclaurina.

Definicja

Szereg Taylora może być użyty do opisania dowolnej funkcji ƒ(x), która jest funkcją gładką (lub, w terminologii matematycznej, "nieskończenie różniczkowalną"). Szereg Taylora jest następnie używany do opisania, jak wygląda funkcja w sąsiedztwie pewnej liczby a.

Ten szereg Taylora, zapisany jako szereg potęgowy, wygląda tak:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . f(a)+{frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+ . } $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .$

Wzór ten może być również zapisany w notacji sigma jako:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {{displaystyle \sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}},(x-a)^{n}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

Tutaj n! jest czynnikiem n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) jest n-tą pochodną ƒ w punkcie a. a {displaystyle ajest liczbą w dziedzinie funkcji. Jeżeli szereg Taylora danej funkcji jest równy tej funkcji, to funkcja ta nazywana jest "funkcją analityczną".

Seria Maclaurin

Gdy a = 0 {styl a=0} $a=0$ , funkcja nazywana jest szeregiem Maclaurina. Szereg Maclaurina zapisany jako szereg potęgowy wygląda następująco:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . f(0)+{{frac {f'(0)}{1!}}x+{frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+ . } $f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .$

Szereg Maclaurina zapisany w notacji sigma ma postać:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {{displaystyle }sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(0)}{n!}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}$

Wspólny szereg Taylora

Niektóre ważne szeregi Taylora i szeregi Maclaurina są następujące.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ dla wszystkich x {{displaystyle \sin x= suma _{n=0}^{infty }{{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{{frac {x^{3}}{3!}}+{{frac {x^{5}}{5!}}-{tekst {{dla wszystkich}x! } $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ dla wszystkich x {{displaystyle \cos x= \suma _{n=0}^{infty } {{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{{{frac {x^{2}}{2!}}+{{frac {x^{4}}{4!}}-{tekst {{dla wszystkich}x! } $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 dla wszystkich x {{displaystyle \sinh(x)= \sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\tekst{dla wszystkich }}x! } $\sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!$

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n dla wszystkich x {{displaystyle \cosh(x)= \sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{{text{ for all }}x! } $\cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\!$

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ dla wszystkich x {{displaystyle e^{x}}=suma _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{frac {1}{2!}}x^{2}+{frac {1}{3!}}x^{3}+{cdots {{text{ for all }}x! } $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\!$

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ dla wszystkich | x | < 1 {{displaystyle {{frac {{{1}{1-x}}}=suma _{n=0}^{infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+{{tekst {{dla wszystkich}|x|<1}}. ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1$

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n dla wszystkich | x | < 1 {{displaystyle ∞ ln(1+x)= ↪Sm_221}^{infty }{{frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{}}text{ for all }}|x|<1} $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1$

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {displaystyle \tan x=suma _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{}frac {x^{3}}{3}}+{}frac {2x^{5}}{15}}+{}cdots {{tekst}|x|<{frac {{pi }{2}}}! } $\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

Gdzie B n {{n}} $B_{n}$ jest n-tą liczbą Bernoulliego, a ln {{n}} $\ln$ jest logarytmem naturalnym.

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest seria Taylora?

O: Szereg Taylora to pojęcie używane w informatyce, rachunku różniczkowym, chemii, fizyce i innych rodzajach matematyki wyższej. Jest to szereg, który służy do oszacowania (zgadywania), jak wygląda funkcja.

P: Jaka jest różnica między szeregiem Taylora a szeregiem Maclaurina?

O: Istnieje również specjalny rodzaj szeregu Taylora zwany szeregiem Maclaurina.

P: Jaka teoria stoi za szeregiem Taylora?

O: Teoria szeregu Taylora polega na tym, że jeśli na płaszczyźnie współrzędnych (osie x i y) zostanie wybrany punkt, to możliwe jest odgadnięcie, jak będzie wyglądać funkcja w obszarze wokół tego punktu.

P: W jaki sposób tworzona jest funkcja za pomocą szeregu Taylora?

O: Odbywa się to poprzez wzięcie pochodnych funkcji i dodanie ich wszystkich razem. Chodzi o to, że możliwe jest dodanie nieskończonej liczby pochodnych i uzyskanie pojedynczej skończonej sumy.

P: Czym w matematyce jest szereg Taylora?

O: W matematyce szereg Taylora przedstawia funkcję jako sumę nieskończonego szeregu. Wyrazy sumy pochodzą z pochodnych funkcji.

P: Skąd pochodzą szeregi Taylora?

O: Szereg Taylora wywodzi się z twierdzenia Taylora.

P: W jakich dziedzinach szereg Taylora jest powszechnie stosowany?

Szereg Taylora jest powszechnie stosowany w informatyce, rachunku różniczkowym, chemii, fizyce i innych dziedzinach matematyki wyższej.