Równanie Schrödingera

Autor: Leandro Alegsa Data utworzenia: 23 listopada 2020

Równanie Schrödingera to równanie różniczkowe (rodzaj równania, które zawiera nieznaną funkcję, a nie nieznaną liczbę), które stanowi podstawę mechaniki kwantowej, jedną z najdokładniejszych teorii zachowania się cząstek subatomowych. Jest to równanie matematyczne, które zostało wymyślone przez Erwina Schrödingera w 1925 roku. Określa ono falową funkcję cząstki lub układu (grupy cząstek), która ma określoną wartość w każdym punkcie w przestrzeni dla danego czasu. Wartości te nie mają znaczenia fizycznego (w rzeczywistości są matematycznie złożone), ale funkcja falowa zawiera wszystkie informacje, które mogą być znane o cząstce lub układzie. Informacje te można znaleźć poprzez matematyczne manipulowanie funkcją falową w celu zwrócenia rzeczywistych wartości odnoszących się do właściwości fizycznych, takich jak położenie, pęd, energia, itp. Funkcję falową można postrzegać jako obraz tego, jak ta cząstka lub układ działa w czasie i jak najpełniej ją opisuje.

Funkcja fali może być w wielu różnych stanach jednocześnie, a więc cząstka może mieć wiele różnych pozycji, energii, prędkości lub innych właściwości fizycznych jednocześnie (tj. "być w dwóch miejscach na raz"). Jednakże, gdy mierzy się jedną z tych właściwości, ma ona tylko jedną konkretną wartość (której nie można definitywnie przewidzieć), a więc funkcja falowa znajduje się tylko w jednym konkretnym stanie. Jest to tzw. załamanie funkcji falowej i wydaje się być spowodowane aktem obserwacji lub pomiaru. Dokładna przyczyna i interpretacja falowego załamania funkcji jest nadal szeroko dyskutowana w środowisku naukowym.

Dla jednej cząsteczki, która porusza się w przestrzeni tylko w jednym kierunku, równanie Schrödingera wygląda jak:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , Psi (x,t)+V(x)\Psi (x,t)\i\u0026apraszamy do kontaktu. $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

gdzie i $i$ {\i1}jest pierwiastkiem kwadratowym z -1, ℏ {\i1} $\hbar$ {\i1}jest stałą zredukowanego Plancka, t $t$ {\i1}jest czas, x {\i1}jest pozycja, Ψ ( x , t ) {\i1}{\i1}styk stylistyczny Psi (x, \i1}, t) $\Psi (x,\,t)$ }jest funkcją fali, a V ( x ) {\i1}styk stylistyczny V(x)} $V(x)$ jest potencjalną energią, jeszcze nie wybraną funkcją pozycji. Lewa strona odpowiada Hamiltonowskiemu operatorowi energetycznemu działającemu na Ψ. {\i1} $\Psi$ .

Popiersie Erwina Schrödingera, na Uniwersytecie Wiedeńskim. Pokazuje ono również równanie Schrödingera.

Wersja niezależna od czasu

Zakładając, że funkcja Fala, Ψ ( x , t ) {\i0} $\Psi (x,t)$ , jest rozdzielny, tzn. zakładając, że funkcja dwóch zmiennych może być zapisana jako iloczyn dwóch różnych funkcji jednej zmiennej:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) \\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

następnie, używając standardowych technik matematycznych częściowych równań różniczkowych, można wykazać, że równanie falowe można przepisać jako dwa różne równania różniczkowe

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\i1}Styl stylistyczny i {\i0}frac {\i1}{\i1}{\i1}=E\i1},T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\i1} {\i1}displaystyle - {\i1}frac {\i1}bar ^{\i0}{\i1}{\i1}frac {\i1}psi (x)}{\i1}+V(x)\i0}psi (x)=E\i0},\i0}psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

gdzie pierwsze równanie jest zależne wyłącznie od czasu T ( t ) {\i1}. $T(t)$ a drugie równanie zależy tylko od pozycji ψ ( x ) {\i1}. $\psi (x)$ i gdzie E $E$ jest tylko numerem. Pierwsze równanie może być rozwiązane natychmiast, aby dać

T ( t ) = e - i E t ℏ {\i1}displaystyle T(t)=e^{-i{\i0}frac {\i1}{\i1}bar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

gdzie e $e$ jest numerem Eulera. Rozwiązania drugiego równania zależą od potencjalnej funkcji energetycznej, V ( x ) {\i0} $V(x)$ i tak nie może być rozwiązana, dopóki nie zostanie podana ta funkcja. Za pomocą mechaniki kwantowej można pokazać, że liczba E $E$ {\i1}jest w rzeczywistości energią układu, więc te rozdzielne funkcje falowe opisują układy o stałej energii. Ponieważ energia jest stała w wielu ważnych układach fizycznych (na przykład: elektron w atomie), często używa się drugiego równania z zestawu oddzielnych równań różniczkowych przedstawionych powyżej. Równanie to znane jest jako niezależne od czasu równanie Schrödingera, ponieważ nie zawiera t {\i1}wyrazu t} $t$ .

Interpretacje funkcji Fala

Urodzone tłumaczenie ustne

Istnieje wiele filozoficznych interpretacji funkcji fali, a kilka z wiodących idei zostanie tu rozważonych. Główna idea, zwana interpretacją prawdopodobieństwa Born'a (nazwana na cześć fizyka Max'a Born'a) wywodzi się z prostego założenia, że funkcja falowa jest kwadratowa, tzn.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\i0} \i1} \i1} \i1} \i1}Psi (x,t)\i0}dx<infty \i0} $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Ta dość prosta formuła ma wielkie fizyczne implikacje. Urodzona hipoteza, że powyższa całka decyduje o tym, że cząstka istnieje gdzieś w przestrzeni. Ale jak możemy ją znaleźć? Używamy całki

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\i1} {\i1}Displaystyle \i0}int _{b}^{a}\i1}!\i0}Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

gdzie P ( b < x < a ) {\i1}(styropian P(b<x<a)} jest prawdopodobieństwem $P(b<x<a)$ znalezienia cząstki w regionie od b {\i1}do a {\i1}( $b$ styropian a)} . Innymi słowy, wszystko, co może być z góry znane o cząstce w ogóle, to prawdopodobieństwa, średnie i inne wielkości statystyczne związane z jej wielkościami fizycznymi (położenie, pęd, itp.). Zasadniczo, jest to interpretacja Born'a.

Tłumaczenie ustne kopenhaskie

Możliwe jest rozszerzenie powyższych pomysłów. Ponieważ interpretacja Borna mówi, że cząstka pozycji rzeczywistej nie może być znana, możemy wyprowadzić następujące wnioski. Jeżeli Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\i1},Psi _{\i0},Psi _{\i1},Psi _{\i1},Psi _{\i1},Psi _{\i1},Psi _{\i1},Psi _{\i1},Psi _{\i1},Psi _{\i1},Psi _{\i1},Psi _{\i1},Psi _{\i1}, $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ są rozwiązaniami równania falowego, to superpozycja tych rozwiązań, tj.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\i1}{\i1}=c_{1}\i1}\i1}Psi _{1}+c_{2}\i1}Psi _{2}+c_{3}\i1}Psi _{3}+dots +c_{n}\i0} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

jest również rozwiązaniem. Oznacza to więc, że cząstka istnieje w każdej możliwej pozycji. Kiedy obserwator przychodzi i mierzy położenie cząstki, wówczas superpozycja jest redukowana do jednej możliwej funkcji falowej. (tj., Ψ s {\i1}{\i1}Displaystyle \i0} $\Psi _{s}$ → Ψ n {\i1}Displastyle \i0} $\Psi _{n}$ gdzie Ψ n $\Psi _{n}$ {\i1}{\i1}jest jednym z możliwych stanów funkcji falowych.{\i0} Ta koncepcja, że pozycja cząstki nie może być dokładnie znana i że cząstka istnieje w wielu pozycjach jednocześnie, daje początek zasadzie Niepewności. Matematyczne sformułowanie tej zasady może być podane przez

Δ x Δ p > ℏ 2 {\i1}Delta x Delta p> {\i1}frac {\i0}bar {\i1} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Gdzie Δ x {\i1}styk Delta x} $\Delta x$ to niepewność położenia, a Δ p {\i1}styk Delta p} $\Delta p$ to niepewność pędu. Zasada ta może być wyprowadzona matematycznie z transformacji Fouriera pomiędzy pędem a położeniem zdefiniowanym przez mechanikę kwantową, ale nie będziemy jej wyprowadzać w tym artykule.

Inne interpretacje

Istnieją różne inne interpretacje, takie jak interpretacja wielu światów i determinizm kwantowy.

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest równanie Schrödingera?

O: Równanie Schrödingera to równanie różniczkowe, które stanowi podstawę mechaniki kwantowej i zostało wymyślone przez Erwina Schrödingera w 1925 roku. Określa ono funkcję falową cząstki lub układu, która ma określoną wartość w każdym punkcie przestrzeni dla każdego czasu.

P: Jakie informacje można uzyskać, manipulując funkcją falową?

O: Manipulując matematycznie funkcją falową, można znaleźć prawdziwe wartości odnoszące się do właściwości fizycznych, takich jak położenie, pęd, energia itp.

P: Co to znaczy, że cząstka może mieć jednocześnie wiele różnych położeń, energii, prędkości lub innych właściwości fizycznych?

O: Oznacza to, że funkcja falowa może znajdować się w wielu różnych stanach jednocześnie, a więc cząstka może mieć wiele różnych położeń, energii, prędkości lub innych właściwości fizycznych w tym samym czasie (tzn. "być w dwóch miejscach jednocześnie").

P: Co to jest załamanie funkcji falowej?

O: Załamanie funkcji falowej ma miejsce wtedy, gdy jedna z tych właściwości jest mierzona i ma tylko jedną określoną wartość (której nie można z całą pewnością przewidzieć), a zatem funkcja falowa znajduje się tylko w jednym określonym stanie. Wydaje się, że jest to spowodowane aktem obserwacji lub pomiaru.

P: Jakie są niektóre składniki równania Schrödingera?

O: Składnikami równania Schrödingera są: i, które jest równe pierwiastkowi kwadratowemu -1; ℏ, która reprezentuje zredukowaną stałą Plancka; t, która oznacza czas; x, który reprezentuje położenie; Ψ (x , t), który oznacza funkcje falowe; oraz V(x), który reprezentuje energię potencjalną jako jeszcze nie wybraną funkcję położenia.

P: Jak interpretujemy załamanie funkcji falowej?

O: Dokładna przyczyna i interpretacja załamania funkcji falowej jest nadal szeroko dyskutowana w środowisku naukowym.