Transformacja Fouriera

Transformacja Fouriera jest funkcją matematyczną, która może być wykorzystana do znalezienia częstotliwości bazowych, które składają się na sygnał lub falę. Na przykład, jeśli akord jest odtwarzany, fala dźwiękowa akordu może być podawana do transformaty Fouriera w celu znalezienia nut, z których akord jest wykonany. Wyjście z transformaty Fouriera jest czasami nazywane widmem częstotliwości lub dystrybucji, ponieważ wyświetla widmo częstotliwości wejścia. Funkcja ta ma wiele zastosowań w kryptografii, oceanografii, nauce maszynowej, radiologii, fizyce kwantowej, jak również w projektowaniu i wizualizacji dźwięku.

Transformacja Fouriera funkcji f ( x )f(x) {\i1}jest podana przez

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\i1}displaystyle F(\i0}alfa)=int _{-\i0}^(+\i0}f(x)e^{\i0}dx) {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}dx}

α {\i1}Stylografia {\i1}alfa {\i1} {\displaystyle \alpha }jest częstotliwością.{\i0}

F ( α ){\displaystyle F(\alpha )} {\i1}jest funkcją transformacji Fouriera i zwraca wartość reprezentującą przeważającą częstotliwość α {\i1}alfa {\i1}w{\displaystyle \alpha } oryginalnym sygnale.

e - 2 π i α x {\i1}displaystyle e^{\i0}pi i \i0}alfa x}} {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}}Reprezentuje zawinięcie funkcji wejściowej f ( x ) {\i1} f(x)wokół pochodzenia w płaszczyźnie złożonej z pewną częstotliwością α {\i1}{\i1}. {\displaystyle \alpha }

Odwrotna transformacja Fouriera jest dana przez

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\i1}displaystyle f(x)=int _{-\i0}^(+\i0}F(alfa)e^(+2\i0}pi ixalfa {\i0}dalfa) {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }d\alpha }

Transformacja Fouriera pokazuje, jakie częstotliwości są w sygnale. Na przykład, rozważmy falę dźwiękową, która zawiera trzy różne nuty muzyczne: A, B, i C. Wykonanie wykresu transformacji Fouriera tej fali dźwiękowej (z częstotliwością na osi x i natężeniem na osi y) pokaże szczyt dla każdej częstotliwości, który odpowiada jednej z nut muzycznych.

Wiele sygnałów może być tworzonych poprzez sumowanie cosinusów i sinusów o różnych amplitudach i częstotliwościach. Fourier przekształca amplitudy i fazy tych cosinusów i sinusów w zależności od ich częstotliwości.

Transformacje Fouriera są ważne, ponieważ wiele sygnałów ma większy sens, gdy ich częstotliwości są rozdzielone. W przykładzie audio powyżej, patrząc na sygnał w odniesieniu do czasu nie czyni oczywistym, że noty A, B i C są w sygnale. Wiele systemów zrobić różne rzeczy do różnych częstotliwości, więc te rodzaje systemów mogą być opisane przez co robią do każdej częstotliwości. Przykładem tego jest filtr, który blokuje wysokie częstotliwości.

Obliczenie transformacji Fouriera wymaga zrozumienia integracji i wyimaginowanych liczb. Komputery są zazwyczaj używane do obliczania transformacji Fouriera wszystkiego oprócz najprostszych sygnałów. Szybka Transformacja Fouriera jest metodą używaną przez komputery do szybkiego obliczania transformacji Fouriera.

·        

Oryginalna funkcja pokazująca sygnał oscylujący na poziomie 3 herców.

·        

Rzeczywiste i wyimaginowane części liczby całkowitej dla transformatora Fouriera przy 3 herców

·        

Rzeczywiste i wyimaginowane części liczby całkowitej dla transformatora Fouriera przy 5 herców

·        

Transformacja Fouriera z oznaczeniem 3 i 5 herców.

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest transformata Fouriera?


O: Transformacja Fouriera to funkcja matematyczna, która służy do znalezienia częstotliwości podstawowych, z których składa się fala. Na podstawie fali złożonej znajduje ona częstotliwości, które się na nią składają, co pozwala na identyfikację nut tworzących akord.

P: Jakie są niektóre zastosowania transformaty Fouriera?


O: Transformata Fouriera ma wiele zastosowań w kryptografii, oceanografii, uczeniu się maszyn, radiologii, fizyce kwantowej, a także w projektowaniu i wizualizacji dźwięku.

P: Jak oblicza się transformatę Fouriera?


O: Transformata Fouriera funkcji f(x) ma postać F(ב) = ∫-∞+∞f(x)e-2נiבxdx gdzie ב jest częstotliwością. Zwraca to wartość określającą, jak częsta jest częstotliwość ב w oryginalnym sygnale. Odwrotna transformata Fouriera ma postać f(x) = ∫-∞+∞F(ב)e+2נixבdב.

P: Jak wygląda wyjście transformaty Fouriera?


O: Wynik transformaty Fouriera można nazwać widmem częstotliwości lub rozkładem, ponieważ przedstawia on rozkład możliwych częstotliwości danych wejściowych.

P: Jak komputery obliczają Szybką Transformację Fouriera?


O: Komputery wykorzystują algorytm zwany szybką transformatą Fouriera (FFT), aby szybko obliczyć każdą, ale najprostszą transformatę sygnałów.

P: Czego nie pokazuje patrzenie na sygnały w odniesieniu do czasu?


O: Patrząc na sygnały w odniesieniu do czasu, nie jest oczywiste, jakie nuty są w nich obecne; wiele sygnałów ma więcej sensu, gdy ich częstotliwości są oddzielone i analizowane indywidualnie.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3