Transformacja Fouriera jest funkcją matematyczną, która może być wykorzystana do znalezienia częstotliwości bazowych, które składają się na sygnał lub falę. Na przykład, jeśli akord jest odtwarzany, fala dźwiękowa akordu może być podawana do transformaty Fouriera w celu znalezienia nut, z których akord jest wykonany. Wyjście z transformaty Fouriera jest czasami nazywane widmem częstotliwości lub dystrybucji, ponieważ wyświetla widmo częstotliwości wejścia. Funkcja ta ma wiele zastosowań w kryptografii, oceanografii, nauce maszynowej, radiologii, fizyce kwantowej, jak również w projektowaniu i wizualizacji dźwięku.

Transformacja Fouriera funkcji f ( x )f(x) {\i1}jest podana przez

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\i1}displaystyle F(\i0}alfa)=int _{-\i0}^(+\i0}f(x)e^{\i0}dx) {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}dx}

α {\i1}Stylografia {\i1}alfa {\i1} {\displaystyle \alpha }jest częstotliwością.{\i0}

F ( α ){\displaystyle F(\alpha )} {\i1}jest funkcją transformacji Fouriera i zwraca wartość reprezentującą przeważającą częstotliwość α {\i1}alfa {\i1}w{\displaystyle \alpha } oryginalnym sygnale.

e - 2 π i α x {\i1}displaystyle e^{\i0}pi i \i0}alfa x}} {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}}Reprezentuje zawinięcie funkcji wejściowej f ( x ) {\i1} f(x)wokół pochodzenia w płaszczyźnie złożonej z pewną częstotliwością α {\i1}{\i1}. {\displaystyle \alpha }

Odwrotna transformacja Fouriera jest dana przez

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\i1}displaystyle f(x)=int _{-\i0}^(+\i0}F(alfa)e^(+2\i0}pi ixalfa {\i0}dalfa) {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }d\alpha }

Transformacja Fouriera pokazuje, jakie częstotliwości są w sygnale. Na przykład, rozważmy falę dźwiękową, która zawiera trzy różne nuty muzyczne: A, B, i C. Wykonanie wykresu transformacji Fouriera tej fali dźwiękowej (z częstotliwością na osi x i natężeniem na osi y) pokaże szczyt dla każdej częstotliwości, który odpowiada jednej z nut muzycznych.

Wiele sygnałów może być tworzonych poprzez sumowanie cosinusów i sinusów o różnych amplitudach i częstotliwościach. Fourier przekształca amplitudy i fazy tych cosinusów i sinusów w zależności od ich częstotliwości.

Transformacje Fouriera są ważne, ponieważ wiele sygnałów ma większy sens, gdy ich częstotliwości są rozdzielone. W przykładzie audio powyżej, patrząc na sygnał w odniesieniu do czasu nie czyni oczywistym, że noty A, B i C są w sygnale. Wiele systemów zrobić różne rzeczy do różnych częstotliwości, więc te rodzaje systemów mogą być opisane przez co robią do każdej częstotliwości. Przykładem tego jest filtr, który blokuje wysokie częstotliwości.

Obliczenie transformacji Fouriera wymaga zrozumienia integracji i wyimaginowanych liczb. Komputery są zazwyczaj używane do obliczania transformacji Fouriera wszystkiego oprócz najprostszych sygnałów. Szybka Transformacja Fouriera jest metodą używaną przez komputery do szybkiego obliczania transformacji Fouriera.

·        

Oryginalna funkcja pokazująca sygnał oscylujący na poziomie 3 herców.

·        

Rzeczywiste i wyimaginowane części liczby całkowitej dla transformatora Fouriera przy 3 herców

·        

Rzeczywiste i wyimaginowane części liczby całkowitej dla transformatora Fouriera przy 5 herców

·        

Transformacja Fouriera z oznaczeniem 3 i 5 herców.