Całka powierzchniowa

W matematyce całka powierzchniowa to całka skończona po powierzchni (może to być krzywa wyznaczona w przestrzeni). Tak jak całka liniowa dotyczy jednego wymiaru lub jednej zmiennej, tak całkę powierzchniową można uważać za całkę podwójną, dwuwymiarową. Biorąc pod uwagę powierzchnię, można całkować po jej polach skalarnych (czyli funkcjach zwracających liczby jako wartości) oraz po polach wektorowych (czyli funkcjach zwracających wektory jako wartości).

Całki powierzchniowe mają zastosowanie w fizyce, w szczególności w klasycznej teorii elektromagnetyzmu.

Definicja całki powierzchniowej opiera się na podziale powierzchni na małe elementy powierzchniowe.Zoom
Definicja całki powierzchniowej opiera się na podziale powierzchni na małe elementy powierzchniowe.

Ilustracja pojedynczego elementu powierzchni. Te elementy są nieskończenie małe, poprzez proces ograniczania, tak aby przybliżyć powierzchnię.Zoom
Ilustracja pojedynczego elementu powierzchni. Te elementy są nieskończenie małe, poprzez proces ograniczania, tak aby przybliżyć powierzchnię.

Całki powierzchniowe pól skalarnych

Rozważmy powierzchnię S, na której zdefiniowane jest pole skalarne f. Jeśli pomyślimy o S jako o powierzchni wykonanej z pewnego materiału, a dla każdego x w S liczba f(x) jest gęstością materiału w x, to całka powierzchniowa f na S jest masą na jednostkę grubości S. (Jest to prawdziwe tylko wtedy, gdy powierzchnia jest nieskończenie cienką powłoką).) Jednym z podejść do obliczania całki powierzchniowej jest podzielenie powierzchni na wiele bardzo małych kawałków, przyjęcie, że na każdym kawałku gęstość jest w przybliżeniu stała, znalezienie masy na jednostkę grubości każdego kawałka przez pomnożenie gęstości kawałka przez jego powierzchnię, a następnie zsumowanie otrzymanych liczb, aby znaleźć całkowitą masę na jednostkę grubości S.

Aby znaleźć jednoznaczny wzór na całkę powierzchniową, matematycy parametryzują S poprzez rozważenie na S układu współrzędnych krzywoliniowych, takich jak szerokość i długość geograficzna na kuli. Niech taką parametryzacją będzie x(s, t), gdzie (s, t) zmienia się w pewnym obszarze T na płaszczyźnie. Wówczas całka powierzchniowa jest dana przez

∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t {displaystyle \\int _{S}f, dS= \iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{partial \mathbf {x} nad s} \times \partial {{partial \mathbf {x} \\ nad \partial t} \right|ds,dt} {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|ds\,dt}

gdzie wyrażenie między kreskami po prawej stronie jest wielkością iloczynu krzyżowego pochodnych cząstkowych x(s, t).

Na przykład, aby znaleźć pole powierzchni pewnego ogólnego kształtu funkcjonalnego, powiedzmy z = f ( x , y ) {displaystyle z=f,(x,y)}. {\displaystyle z=f\,(x,y)}, mamy

A = ∫ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {displaystyle A= ∫int _{S}},dS= ∫int _{T}  T  r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y \\ nad \partial x \ czas {\partial \mathbf {r} \over \partial y} \right|dx,dy} {\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|dx\,dy}

gdzie r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) { {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}{\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))} . Tak więc ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) {{displaystyle {{partial \mathbf {{r}} ∂ r ∂ x}=(1,0,f_{x}(x,y))}{\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} , oraz ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {{displaystyle {{partial \mathbf {{r}} ∂ r ∂ y}=(0,1,f_{y}(x,y))} {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}. Zatem,

A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {displaystyle {{begin{aligned}}A&{}=iint _{T}left(1,0,{partial f nad \partial x}prawo)\times \left(0,1,{\partial f nad \partial y}prawo)\prawo|dx,dy\}{}=iint _{T} left(-{partial f \partial x},-{partial f \partial y},1}prawo)\prawo|dx,dy\&{}=iint _{T}{sqrt {left({partial f \partial x \\\right)^{2}+left({partial f \partial y \right)^{2}+1}}}}:\,dx,dy{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}

który jest wzorem na pole powierzchni ogólnego kształtu funkcjonalnego. Wektor w drugim wierszu powyżej można rozpoznać jako wektor normalny do powierzchni.

Zauważmy, że ze względu na obecność iloczynu krzyżowego, powyższe wzory działają tylko dla powierzchni osadzonych w przestrzeni trójwymiarowej.

Całki powierzchniowe pól wektorowych

Rozważmy pole wektorowe v na S, to znaczy, że dla każdego x w S, v(x) jest wektorem.

Całka powierzchniowa może być zdefiniowana składnikowo zgodnie z definicją całki powierzchniowej pola skalarnego; wynikiem jest wektor. Na przykład, dotyczy to pola elektrycznego w pewnym ustalonym punkcie ze względu na elektrycznie naładowaną powierzchnię, lub grawitacji w pewnym ustalonym punkcie ze względu na arkusz materiału. Można również obliczyć strumień magnetyczny przez powierzchnię.

Alternatywnie, matematycy mogą całkować składową normalną pola wektorowego; wynik jest skalarem. Przykładem może być płyn przepływający przez S, gdzie v(x) określa prędkość płynu w punkcie x. Strumień definiuje się jako ilość płynu przepływającego przez S w jednostce czasu.

Z ilustracji tej wynika, że jeśli pole wektorowe jest styczne do S w każdym punkcie, to strumień wynosi zero, ponieważ płyn płynie równolegle do S, ani do wewnątrz, ani na zewnątrz. Wynika z tego również, że jeśli v nie płynie tylko wzdłuż S, to znaczy, jeśli v ma zarówno składową styczną jak i normalną, to tylko składowa normalna przyczynia się do strumienia. Bazując na tym rozumowaniu, aby znaleźć strumień, musimy wziąć iloczyn punktowy v z jednostkową normalną powierzchniową do S w każdym punkcie, co da nam pole skalarne, i zintegrować otrzymane pole jak wyżej. Daje to wzór

∫ S v ⋅ d S = ∫ S ( v ⋅ n ) d S = ∬ T v ( x ( s , t ) ) ( ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t ) d s d t . { {displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} } } \dot \,d{\mathbf {S} }=int _{S}({{mathbf {v} }}(\mathbf {n}})\, dS=int _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({{partial \mathbf {x} nad \partial s \times {\partial \mathbf {x} \\ nad \partial t}prawo)ds\,dt. } {\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)ds\,dt.}

Iloczyn krzyżowy po prawej stronie tego wyrażenia jest normalną powierzchniową określoną przez parametryzację.

Wzór ten definiuje całkę po lewej stronie (zwróć uwagę na kropkę i notację wektorową dla elementu powierzchniowego).

Pole wektorowe na powierzchni.Zoom
Pole wektorowe na powierzchni.

Twierdzenia dotyczące całek powierzchniowych

Różne użyteczne wyniki dla całek powierzchniowych mogą być wyprowadzone przy użyciu geometrii różniczkowej i rachunku wektorowego, takie jak twierdzenie o dywergencji i jego uogólnienie, twierdzenie Stokesa.

Zagadnienia zaawansowane

Zmiana parametryzacji

W powyższej dyskusji zdefiniowano całkę powierzchniową poprzez użycie parametryzacji powierzchni S. Dana powierzchnia może mieć kilka parametryzacji. Na przykład, gdy na sferze przesuniemy położenie bieguna północnego i południowego, to szerokość i długość geograficzna zmieni się dla wszystkich punktów na sferze. Naturalnym pytaniem jest więc, czy definicja całki powierzchniowej zależy od wybranej parametryzacji. Dla całek z pól skalarnych odpowiedź na to pytanie jest prosta, wartość całki powierzchniowej będzie taka sama bez względu na to, jakiej parametryzacji użyjemy.

Całki z pól wektorowych są bardziej skomplikowane, ponieważ w grę wchodzi normalna powierzchniowa. Matematycy udowodnili, że jeżeli mamy dwie parametryzacje tej samej powierzchni, których normalne powierzchniowe wskazują w tym samym kierunku, to obie parametryzacje dają tę samą wartość całki powierzchniowej. Jeżeli natomiast normale tych parametryzacji wskazują w przeciwnych kierunkach, to wartość całki powierzchniowej otrzymanej za pomocą jednej parametryzacji jest ujemna w stosunku do wartości otrzymanej za pomocą drugiej parametryzacji. Wynika z tego, że biorąc pod uwagę powierzchnię, nie musimy trzymać się żadnej unikalnej parametryzacji, ale podczas całkowania pól wektorowych musimy z góry zdecydować, w którą stronę będzie skierowana normalna, a następnie wybrać dowolną parametryzację zgodną z tym kierunkiem.

Parametryzacje działają na części powierzchni

Innym problemem jest to, że czasami powierzchnie nie mają parametryzacji, które obejmują całą powierzchnię; tak jest na przykład w przypadku powierzchni walca (o skończonej wysokości). Oczywistym rozwiązaniem jest wtedy podzielenie tej powierzchni na kilka kawałków, obliczenie całki powierzchniowej na każdym kawałku, a następnie zsumowanie ich wszystkich. Tak to rzeczywiście działa, ale przy całkowaniu pól wektorowych trzeba znów uważać, jak wybrać wektor normalny dla każdego kawałka powierzchni, tak by po złożeniu kawałków z powrotem wyniki były spójne. Dla walca oznacza to, że jeśli zdecydujemy, że dla obszaru bocznego normalna będzie wskazywać na zewnątrz ciała, to dla górnej i dolnej okrągłej części normalna również musi wskazywać na zewnątrz ciała.

Niespójne normale powierzchni

Wreszcie, istnieją powierzchnie, które nie mają normalnej powierzchniowej w każdym punkcie z konsekwentnymi wynikami (na przykład, pasek Möbiusa). Jeśli taka powierzchnia zostanie podzielona na kawałki, na każdym kawałku zostanie wybrana parametryzacja i odpowiadająca jej normalna powierzchniowa, a następnie kawałki te zostaną złożone z powrotem, to wektory normalne pochodzące z różnych kawałków nie mogą zostać pogodzone. Oznacza to, że na pewnym styku dwóch kawałków wektory normalne będą skierowane w przeciwnych kierunkach. Taką powierzchnię nazywamy nieorientowalną. Pola wektorowe nie mogą być całkowane na powierzchniach nieorientowalnych.

Powiązane strony

  • Twierdzenie o rozbieżności
  • Twierdzenie Stokesa
  • Całka liniowa
  • Całka objętościowa
  • Kartezjański układ współrzędnych
  • Elementy objętości i powierzchni w sferycznym układzie współrzędnych
  • Elementy objętości i powierzchni w cylindrycznym układzie współrzędnych
  • Metoda Holsteina-Herringa

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3