Walec (bryła) — definicja, rodzaje, pole powierzchni i objętość

W powszechnym użyciu przez walec rozumie się skończony wycinek walca prostokątnego, tzn. walec o liniach generujących prostopadłych do podstaw, którego końce są zamknięte tak, że tworzą dwie powierzchnie kołowe, jak na rysunku (po prawej). Jeżeli walec ma promień r i długość (wysokość) h, to jego objętość jest dana przez:

V = πr2h

a jego powierzchnia wynosi:

• powierzchnia wierzchołka (πr2) +
• powierzchnia dna (πr2) +
• obszar boku (2πrh).

Dlatego bez góry i dołu (powierzchnia boczna), powierzchnia wynosi:

A = 2πrh.

Z górą i dołem, powierzchnia wynosi:

A = 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h).

Dla danej objętości walec o najmniejszej powierzchni ma h = 2r. Dla danej powierzchni walec o największej objętości ma h = 2r, tzn. walec mieści się w sześcianie (wysokość = średnica).

Mając walec prostokątny o wysokości h jednostek i podstawie o promieniu r jednostek, którego osie współrzędnych są tak dobrane, że początek znajduje się w środku jednej z podstaw, a wysokość jest mierzona wzdłuż dodatniej osi x. Przekrój płaski w odległości x jednostek od początku ma pole powierzchni A(x) jednostek kwadratowych, gdzie

A ( x ) = π r 2 {{displaystyle A(x)=p r^{2}}

lub

A ( y ) = π r 2 {{displaystyle A(y)={pi r^{2}}

Elementem objętości jest prawy walec o polu podstawy Awi jednostek kwadratowych i grubości Δix jednostek. Zatem jeśli V jednostek sześciennych jest objętością prawego walca kołowego, to na mocy sumy Riemanna,

V o l u m e o of c y l i n d e r = lim | | Δ → 0 | | ∑ i = 1 n A ( w i ) Δ i x {displaystyle {Volume;of;cylinder} =lim _{||Delta \ do 0|} \sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {displaystyle = ∫ ∫ ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {{0}^{h}A(y)^{2} }

= ∫ 0 h π r 2 d y {{displaystyle = ∫ 0 h π r 2 d y }

= π r 2 h {{displaystyle = \i0,r^{2} }

Używając współrzędnych cylindrycznych, objętość można obliczyć przez całkowanie po

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {displaystyle = ∫ 0 h ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d ϕ d z }

= π r 2 h {{displaystyle = \i0,r^{2} }

Przekroje walcowe to przecięcia walców z płaszczyznami. Dla walca prostego kołowego istnieją cztery możliwości. Płaszczyzna styczna do walca styka się z nim w jednej prostej. Przesunięta równolegle do siebie płaszczyzna albo nie przecina walca, albo przecina go dwiema prostymi równoległymi. Wszystkie inne płaszczyzny przecinają walec w elipsie lub, gdy są prostopadłe do osi walca, w okręgu.

Walec eliptyczny, czyli cylindroid, jest powierzchnią czworokątną o następującym równaniu we współrzędnych kartezjańskich:

( x a )2 + ( y b )2 = 1. { {displaystyle \a_left({{frac {x}{a}}}}}prawica)^{2}+left({{frac {}{b}}}prawica)^{2}=1.}

Równanie to dotyczy walca eliptycznego, uogólnienia zwykłego walca kołowego (a = b). Jeszcze bardziej ogólny jest walec uogólniony: jego przekrój może być dowolną krzywą.

Walec jest zdegenerowanym czworokątem, ponieważ co najmniej jedna ze współrzędnych (w tym przypadku z) nie występuje w równaniu.

Cylinder skośny ma górną i dolną powierzchnię przesuniętą względem siebie.

Istnieją jeszcze inne, bardziej niezwykłe rodzaje cylindrów. Są to wyimaginowane cylindry eliptyczne:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = - 1 { {displaystyle \left(\frac {x}{a}}}prawica)^{2}+ \left(\frac {}{b}}prawica)^{2}=-1}.

walec hiperboliczny:

( x a ) 2 - ( y b ) 2 = 1 { {displaystyle \frac {x}{a}}prawica} ^{2}- \frac {{b}prawica} ^{2}=1}

i cylindra parabolicznego:

x 2 + 2 a y = 0. {displaystyle x^{2}+2ay=0.}

W geometrii rzutowej walec to po prostu stożek, którego wierzchołek znajduje się w nieskończoności.

Jest to przydatne w definicji stożków zdegenerowanych, które wymagają rozważenia stożków walcowych.