W ogólnym ujęciu pochodna cząstkowa mierzy, jak zmienia się wartość funkcji wielowymiarowej, gdy jedna z jej zmiennych ulega niewielkiej zmianie, a pozostałe pozostają niezmienione. W rachunku różniczkowym i w matematyce analizującej funkcje wielu zmiennych pochodne cząstkowe są podstawowym narzędziem do badania lokalnych własności funkcji. Symbolicznie zwykle zapisuje się je jako ∂f/∂x lub f_x, chociaż istnieją też inne konwencje oznaczania.

Definicja i notacja

Formalnie pochodną cząstkową funkcji f(x,y,...) względem zmiennej x definiuje się jako granicę ilorazu różnicowego przy zmianie tylko x: ∂f/∂x = lim_{h→0} (f(x+h,y,...)−f(x,y,...))/h, o ile granica istnieje. W zapisie występują warianty: ∂f/∂x, f_x, D_x f. Dla funkcji o więcej niż dwóch zmiennych analogicznie definiuje się pochodne względem poszczególnych argumentów. Pojęcie funkcji i pochodzenia tych definicji wywodzi się z klasycznych granic i definicji pochodnej w jednej zmiennej.

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}

Przykład i obliczanie

Rozważając funkcję f(x,y)=x^2 y + sin(y), pochodne cząstkowe są proste do wyznaczenia metodami algebraicznymi: ∂f/∂x = 2x y (traktując y jako stałą) oraz ∂f/∂y = x^2 + cos(y) (traktując x jako stałą). W praktyce stosuje się reguły: liniowość, regułę iloczynu i regułę łańcuchową dostosowane do sytuacji wielowymiarowej. Zależności między pochodnymi cząstkowymi a pojęciami takimi jak pochodna kierunkowa czy gradient są często używane w analizie wektorowej i optymalizacji. Gradient to wektor wszystkich pochodnych cząstkowych funkcji skalarnej.

Własności i twierdzenia

Do ważnych własności należą: liniowość pochodzenia w stosunku do sumy i stałej, reguła iloczynu i łańcucha oraz istnienie pochodnych wyższych rzędów. Przy odpowiednich założeniach o ciągłości drugich pochodnych mieszanych obowiązuje twierdzenie Clairauta (Schwarza), które mówi, że kolejność różniczkowania nie ma znaczenia: ∂^2 f/∂x∂y = ∂^2 f/∂y∂x. Ograniczenia formalne i warunki regularności są tu istotne.

Zastosowania i znaczenie

Pochodne cząstkowe mają szerokie zastosowanie: w analizie ekstremów funkcji wielu zmiennych do wyznaczania punktów krytycznych, w teorii równań różniczkowych cząstkowych opisujących zjawiska fizyczne, w ekonomii przy modelowaniu wrażliwości zmiennych oraz w statystyce i uczeniu maszynowym przy optymalizacji funkcji kosztu. Dalsze informacje i przykłady obliczeń można znaleźć pod odsyłaczami: więcej przykładów, zasady, zastosowania praktyczne.

Podsumowanie: Pochodna cząstkowa to uogólnienie pojęcia pochodnej na funkcje wielu zmiennych. Pozwala lokalnie opisać zależności i jest fundamentem dla teorii gradientu, równań różniczkowych cząstkowych oraz różnych metod numerycznych i analitycznych.