Hipoteza Poincarégo
Poincaré Conjecture jest pytaniem o sfery w matematyce. Nazwa pochodzi od nazwiska Henri'ego Poincarégo, francuskiego matematyka i fizyka, który sformułował ją w 1904 roku.
Kula (nazywana również 2-kula, ponieważ jest to powierzchnia 2-wymiarowa, choć zazwyczaj widziana jest jako wnętrze przestrzeni 3-wymiarowej) ma tę właściwość, że każda pętla na niej może być skurczona do punktu (jeśli gumka jest owinięta wokół kuli, to można ją zsunąć do punktu). Matematycy mówią, że ta 2-kula jest po prostu połączona. Inne przestrzenie nie mają tej właściwości, na przykład pączek: gumka, która raz owinięta jest wokół całego pączka, nie może być zsunięta w dół do punktu bez pozostawienia go na powierzchni.
Matematycy wiedzieli, że ta właściwość jest unikalna dla 2-sfery, w tym sensie, że każda inna, po prostu połączona przestrzeń, która nie ma krawędzi i jest wystarczająco mała (w sensie matematycznym, czyli zwarta), jest w rzeczywistości 2-sferą. Nie jest to już prawdą, jeśli usuniemy pojęcie małości, ponieważ nieskończenie duża płaszczyzna jest również po prostu połączona. Również dysk regularny (okrąg i jego wnętrze) jest po prostu połączony, ale ma krawędź (krąg ograniczający).
Domysł ten stawia pytanie, czy to samo odnosi się do trójsfery, która jest obiektem żyjącym naturalnie w czterech wymiarach. To pytanie motywowało większość współczesnej matematyki, zwłaszcza w dziedzinie topologii. Pytanie to zostało ostatecznie rozstrzygnięte w 2002 roku przez Grigoriego Perelmana, rosyjskiego matematyka, przy pomocy metod z geometrii, pokazujących, że jest to rzeczywiście prawda. Za swoją pracę otrzymał Medal Fieldsa i Milenijną Nagrodę Millenijną w wysokości 1 miliona dolarów, której obu odmówił.
Domysł Poincaré'ego może być również rozszerzony na wyższe wymiary: jest to uogólnione domysły Poincaré'ego. Co zaskakujące, łatwiej było udowodnić ten fakt w przypadku sfer o wyższych wymiarach: w 1960 r. Smale udowodnił, że jest on prawdziwy dla 5-sfery, 6-sfery i wyższych. W 1982 r. Freedman udowodnił, że jest to również prawdą w przypadku 4-kuli, za co otrzymał Medal Fieldsa.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest Koncepcja Poincarégo?
A: Domysł Poincarégo to pytanie o sfery w matematyce, nazwane tak na cześć Henri Poincarégo, który pyta, czy pewne własności 2 sfery są również prawdziwe dla 3 sfery.
P: Jaką własność ma 2-sfera?
O: Sfera 2 ma tę własność, że każda pętla na niej może być skurczona do punktu.
P: Czy ta własność jest unikalna dla 2-sfery?
O: Ta własność jest unikalna dla 2-sfery, jeżeli chodzi o małe przestrzenie, które nie mają krawędzi. Natomiast nieskończenie duża płaszczyzna i dysk regularny (koło i jego wnętrze) są prosto połączone, ale mają krawędzie.
P: Kto udowodnił, że to prawda dla sfer o wyższych wymiarach?
O: W 1960 r. Smale udowodnił, że jest to prawda dla 5-sfer, 6-sfer i wyższych, a w 1982 r. Freedman udowodnił, że jest to również prawda dla 4-wymiarowych sfer.
P: Kto rozwiązał zagadkę Poincarégo?
O: Konflikt Poincarégo został rozwiązany przez Grigorija Perelmana, rosyjskiego matematyka, który wykorzystał metody z geometrii, aby wykazać, że jest on rzeczywiście prawdziwy.
P: Jakie nagrody otrzymał Perelman za swoją pracę?
O: Perelman otrzymał Medal Fieldsa i Nagrodę Milenijną w wysokości 1 miliona dolarów za pracę nad rozwiązaniem konceptu Poincarégo; jednak odmówił przyjęcia obu nagród.
