Twierdzenie o liczbach pierwszych
Twierdzenie o liczbach pierwszych to twierdzenie z teorii liczb. Liczby pierwsze nie są rozmieszczone równomiernie w całym zakresie liczb. Twierdzenie to formalizuje ideę, że prawdopodobieństwo trafienia liczby pierwszej z przedziału od 1 do danej liczby staje się coraz mniejsze, w miarę wzrostu liczby. Prawdopodobieństwo to wynosi około n/ln(n), gdzie ln(n) jest funkcją logarytmu naturalnego. Oznacza to, że prawdopodobieństwo trafienia liczby pierwszej z 2n cyframi jest o połowę mniejsze niż z n cyframi. Na przykład, wśród dodatnich liczb całkowitych o co najwyżej 1000 cyfrach, około jedna na 2300 jest pierwsza (ln 101000 ≈ 2302.6), podczas gdy wśród dodatnich liczb całkowitych o co najwyżej 2000 cyfrach, około jedna na 4600 jest pierwsza (ln 102000 ≈ 4605.2). Innymi słowy, średni odstęp między kolejnymi liczbami pierwszymi wśród pierwszych N liczb całkowitych jest w przybliżeniu równy ln(N).
Piętnastoletni Carl Friedrich Gauss podejrzewał w 1793 roku, że istnieje związek między liczbami pierwszymi a logarytmami. Adrien-Marie Legendre również podejrzewał taki związek w 1798 roku. Jacques Hadamard i Charles-Jean de La Vallée Poussin udowodnili twierdzenie o liczbach pierwszych w 1896 roku, ponad sto lat po Gaussie.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest twierdzenie o liczbach pierwszych?
O: Twierdzenie o liczbach pierwszych to twierdzenie z teorii liczb, które wyjaśnia, w jaki sposób liczby pierwsze są rozmieszczone w całym zakresie liczb.
P: Czy liczby pierwsze są równomiernie rozłożone w całym zakresie liczbowym?
O: Nie, liczby pierwsze nie są rozłożone równomiernie w całym zakresie liczbowym.
P: Co formalizuje twierdzenie o liczbach pierwszych?
O: Twierdzenie o liczbach pierwszych formalizuje ideę, że prawdopodobieństwo trafienia na liczbę pierwszą z przedziału od 1 do danej liczby maleje wraz ze wzrostem liczby.
P: Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia liczby pierwszej pomiędzy 1 a daną liczbą?
O: Prawdopodobieństwo trafienia liczby pierwszej pomiędzy 1 a daną liczbą wynosi około n/ln(n), gdzie ln(n) jest funkcją logarytmu naturalnego.
P: Czy prawdopodobieństwo trafienia liczby pierwszej z 2n cyframi jest większe niż prawdopodobieństwo trafienia liczby pierwszej z n cyframi?
O: Nie, prawdopodobieństwo trafienia liczby pierwszej o 2n cyfrach jest o połowę mniejsze niż prawdopodobieństwo trafienia liczby pierwszej o n cyfrach.
P: Kto udowodnił twierdzenie o liczbach pierwszych?
O: Jacques Hadamard i Charles-Jean de La Vallée Poussin udowodnili twierdzenie o liczbach pierwszych w 1896 roku, ponad sto lat po tym, jak Gauss podejrzewał związek między liczbami pierwszymi a logarytmami w 1793 roku.
P: Jaki jest średni odstęp między kolejnymi liczbami pierwszymi wśród pierwszych N liczb całkowitych?
O: Średni odstęp między kolejnymi liczbami pierwszymi wśród pierwszych N liczb całkowitych wynosi w przybliżeniu ln(N).
