Znak (matematyka)
Pojęcie znaku w matematyce: określenie dodatniości i ujemności liczb, rola zera, symbole oraz zastosowania w analizie, algebrze i informatyce.
Przegląd
W matematyce pojęcie znaku odnosi się głównie do rozróżnienia między wartościami dodatnimi i ujemnymi. W kontekście matematyce najczęściej mówi się o znaku liczb: każda niezerowa liczba rzeczywista jest albo dodatnia, albo ujemna, natomiast zero jest traktowane jako wartość pozbawiona znaku. Gdy zapisujemy liczbę bez znaku, zwykle przyjmuje się, że jest to liczba dodatnia.
Charakterystyka i notacja
Standardowymi symbolami wskazującymi znak są znaki + i −, umieszczane przed liczbą lub wyrażeniem. Dla funkcjonalnego opisu używa się funkcji signum: sgn(x), którą definiuje się zwykle jako 1 dla x>0, 0 dla x=0 i −1 dla x<0. Dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej zachodzi związek |x| = sgn(x)·x. Notacja znaku pojawia się też w zapisie ± (plus/minus) przy rozwiązaniach równania kwadratowego oraz przy opisie symetrii wielomianów.
Historia i pochodzenie
Wyodrębnienie koncepcji znaku jest efektem stopniowego rozwoju algebry i rachunkowości. W praktykach handlowych i we wczesnej algebrze zaczęto odróżniać przyrosty od ubytków, co stopniowo przełożyło się na powszechne użycie symboli wskazujących wartości dodatnie i ujemne. Ostateczna standaryzacja notacji zajmowała kilka stuleci i miała miejsce w kulturze piśmiennej Europy oraz w matematycznych pracach dydaktycznych.
Zastosowania i przykłady
Znak jest narzędziem powszechnie używanym w różnych działach matematyki i nauk ścisłych. W algebrze i analizie reguła mnożenia: znak iloczynu jest iloczynem znaków czynników, pozwala szybko ustalać orientację wyniku. W analizie zmiana znaku funkcji lub pochodnej informuje o kierunku zmian wartości. W przypadku liczb rzeczywistych postępowania na znakach upraszczają rozwiązywanie nierówności. W informatyce i reprezentacji danych pojęcie znaku przejawia się w bitach znaku oraz w konwencjach takich jak reprezentacja uzupełnień do dwóch.
Główne własności i rozróżnienia
- Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne; traktuje się je jako element neutralny względem znaku.
- Liczby zespolone nie mają naturalnego porządku, więc pojęcie „dodatni/ujemny” nie jest tam zdefiniowane w sposób ogólny.
- W rachunkowości i praktyce obliczeniowej warto odróżnić znak jako cechę wartości od symbolu używanego do jej zapisu; oba aspekty pełnią odmienne role.
- W informatyce istnieje wyróżnienie między bitem znaku a wartością bezwzględną reprezentowaną przez pozostałe bity.
Pojęcie znaku jest więc proste w podstawowym znaczeniu, lecz ma wiele implikacji praktycznych i teoretycznych. W zależności od działu matematyki lub zastosowania akcentowane są różne aspekty: od symboliki i notacji po własności algebraiczne i wpływ na interpretację wyników. Dalsze informacje i przykłady można znaleźć, odwołując się do materiałów podstawowych i specjalistycznych, które opisują zarówno pojęcia dodatniości i ujemności, jak i konkretne techniki obliczeniowe. Więcej ilustracji i opracowań dostępnych jest pod odnośnikami: podręcznikowe opracowania, analiza liczb rzeczywistych oraz praktyczne wyjaśnienia dotyczące zachowania zera i typowych symboli.
Znak liczby
Mówi się, że liczba rzeczywista jest dodatnia, jeśli jest większa od zera, a ujemna, jeśli jest mniejsza od zera. Cecha bycia dodatnim lub ujemnym jest nazywana znakiem liczby. Zero samo w sobie nie jest uważane za posiadające znak.
W arytmetyce znak liczby jest często oznaczany przez umieszczenie znaku plusa lub minusa przed liczbą. Na przykład +3 oznacza dodatnie 3, a -3 - ujemne 3. Gdy nie ma znaku plusa lub minusa, głównym sposobem postrzegania jest to, że liczba jest dodatnia.
Znak każdej liczby, która nie jest zerem, może być zmieniony na dodatni przy użyciu funkcji wartości bezwzględnej. Na przykład, wartość bezwzględna liczby -3 i wartość bezwzględna liczby 3 są równe 3. W symbolach zapisujemy to |-3| = 3 i |3| = 3.
Znak zera
Liczba zero nie jest ani dodatnia, ani ujemna, a zatem nie ma znaku. W arytmetyce, zarówno +0 jak i -0 oznaczają tę samą liczbę 0.
Znaczenie znaków
Ponieważ zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne, do określenia znaku nieznanej liczby używa się czasem poniższych określeń:
- Liczba jest dodatnia, jeśli jest większa od zera.
- Liczba jest ujemna, jeśli jest mniejsza od zera.
- Liczba jest nieujemna, jeśli jest większa lub równa zeru.
- Liczba jest niedodatnia, jeśli jest mniejsza lub równa zeru.
Tak więc liczba nieujemna jest albo dodatnia, albo zerowa, a liczba niedodatnia jest albo ujemna, albo zerowa. Na przykład, wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemna, ale niekoniecznie dodatnia.
Ta sama definicja jest czasami używana dla funkcji, które przyjmują wartości rzeczywiste lub całkowite. Na przykład, funkcja będzie nazywana pozytywną, jeśli wszystkie jej wartości są pozytywne, lub nieujemną, jeśli wszystkie jej wartości są nieujemne.
Znak kąta
W wielu tekstach często spotykamy znak wraz z miarą kąta, w szczególności kąta usytuowanego lub kąta obrotu. W takiej sytuacji znak ten mówi, czy kąt jest zgodny czy przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Chociaż można stosować różne konwencje, w matematyce powszechne jest, że kąty przeciwne do ruchu wskazówek zegara liczy się jako dodatnie, a kąty zgodne z ruchem wskazówek zegara jako ujemne.
Możliwe jest również nadanie znaku kątowi obrotu w trzech wymiarach, zakładając, że oś obrotu została zorientowana. W szczególności, obrót wokół osi w prawo jest zwykle liczony jako dodatni, podczas gdy obrót w lewo jest liczony jako ujemny.
Znak kierunku
W arytmetyce i fizyce, powszechne jest oznaczanie pewnych kierunków jako dodatnie lub ujemne. Dla podstawowego przykładu, linia liczbowa jest zwykle rysowana z liczbami dodatnimi po prawej stronie, a ujemnymi po lewej:
Na płaszczyźnie kartezjańskiej, kierunki w prawo i w górę są zwykle uważane za dodatnie, gdzie w prawo jest dodatni kierunek x, a w górę dodatni kierunek y.
Inne znaczenia
Oprócz znaku liczby rzeczywistej, słowo znak jest również używane na różne pokrewne sposoby w całej matematyce i naukach ścisłych:
- W teorii grafów graf podpisany to taki graf, w którym każda krawędź została oznaczona dodatnim lub ujemnym znakiem.
- W fizyce każdy ładunek elektryczny ma swój znak, albo dodatni, albo ujemny. Zgodnie z ogólnymi zasadami, ładunek dodatni to ładunek o takim samym znaku jak ładunek protonu, a ładunek ujemny to ładunek o takim samym znaku jak ładunek elektronu.
Powiązane artykuły
Autor
AlegsaOnline.com Znak (matematyka) Leandro Alegsa
URL: https://pl.alegsaonline.com/art/90318