Podobieństwo jest pojęciem z zakresu geometrii opisującym relację między figurami o tym samym kształcie, niekoniecznie tej samej wielkości. Dwa wielokąty, odcinki linii lub inne figury są podobne, jeśli odpowiadające sobie kąty mają tę samą miarę, a odpowiadające boki są proporcjonalne. W praktyce oznacza to, że jedna figura powstaje z drugiej przez powiększenie lub pomniejszenie (skalowanie) oraz ewentualnie przesunięcie, obrót i/lub odbicie. Dwa koła, kwadraty lub odcinki linii są zawsze podobne.

Trójkąty zajmują szczególne miejsce w badaniu podobieństwa. W przypadku trójkątów wystarczy spełnienie jednego z kilku kryteriów, by stwierdzić podobieństwo; nie trzeba sprawdzać wszystkich kątów i wszystkich boków. Dla pozostałych wielokątów zwykle wymagane jest jednoczesne sprawdzenie równości kątów i proporcjonalności boków.

Kryteria podobieństwa trójkątów

  • AA (kąt–kąt): jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.
  • SSS (bok–bok–bok): jeśli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta (w tej samej kolejności), to trójkąty są podobne.
  • SAS (bok–kąt–bok) dla podobieństwa: jeśli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego, a kąty między tymi bokami są równe, to trójkąty są podobne.

Współczynnik podobieństwa i własności

Gdy dwie figury są podobne, istnieje stała dodatnia k nazywana współczynnikiem podobieństwa (skala), taka że każdy bok jednej figury jest równy odpowiadającemu bokowi drugiej figury pomnożonemu przez k. Jeśli A ~ B i k = 2, to B jest dwa razy większe od A (boki dwukrotnie dłuższe).

  • Obwody (długości odpowiadających obwodów) skalują się również z czynnikiem k.
  • Pola figur skalują się z kwadratem współczynnika: pole(B) = k² · pole(A).
  • Objętości brył (przy podobieństwie w przestrzeni 3D) skalują się z sześcianem współczynnika: objętość(B) = k³ · objętość(A).

Odwzorowania związane z podobieństwem

Najprostszym odwzorowaniem realizującym podobieństwo jest homotetia (inną nazwą jest podobieństwo centralne) — skalowanie względem pewnego punktu (centrum homotetii) o zadany współczynnik k, ewentualnie połączone z przesunięciem, obrotem lub odbiciem. Jeśli k > 0, orientacja figury jest zachowana; jeśli k < 0 (rzadziej rozważane), następuje dodatkowe odwrócenie (obrót o 180° z odbiciem).

Przykłady

1. Prosty przykład z trójkątami: Trójkąt o bokach 3, 4 i 5 jest podobny do trójkąta o bokach 6, 8 i 10. Współczynnik podobieństwa k = 6/3 = 2 (lub 8/4 = 2, 10/5 = 2). Obwód drugiego jest dwa razy większy, a pole jest 2² = 4 razy większe.

2. Zadanie praktyczne: Mamy trójkąt o bokach 6, 8, 10 i trójkąt podobny, którego najmniejszy bok ma długość 9. Jaki jest współczynnik podobieństwa i jakie długości mają pozostałe boki? Współczynnik k = 9/6 = 1,5. Pozostałe boki: 8·1,5 = 12 oraz 10·1,5 = 15.

3. Wielokąty: Dwa prostokąty o wymiarach 2×3 i 4×6 są podobne (k = 2). Dwa różne prostokąty są podobne wtedy, gdy mają ten sam stosunek boków (proporcję długości boków). Kwadraty są do siebie zawsze podobne, ponieważ ich kąty są równe, a stosunek boków wynosi 1.

Uwagi i praktyczne wskazówki

  • Przy badaniu podobieństwa ważne jest poprawne dopasowanie odpowiadających sobie wierzchołków (kolejność liter w zapisie np. ABC ~ A'B'C' ma znaczenie).
  • Równość kątów można sprawdzać mierząc kąty lub korzystając z twierdzeń geometrycznych; proporcjonalność boków sprawdza się porównując ilorazy długości odpowiadających boków.
  • Przystawanie (patrz przystawania) jest szczególnym przypadkiem podobieństwa, odpowiadającym współczynnikowi k = 1: figury przystające mają takie same boki i kąty, więc są też podobne.

Podsumowując: podobieństwo oznacza ten sam kształt, proporcję boków i równość kątów; dla trójkątów istnieją wygodne kryteria (AA, SSS, SAS), a współczynnik podobieństwa pozwala łatwo wyznaczać długości, obwody i pola figur podobnych.