Pierwiastek kwadratowy z 2
Pierwiastek kwadratowy z 2 lub (1/2)potęgi 2, zapisywany w matematyce jako √2 lub 21⁄2, jest dodatnią liczbą irracjonalną, która po pomnożeniu przez siebie jest równa liczbie 2. Aby być bardziej poprawnym, nazywa się ją głównym pierwiastkiem kwadratowym z 2, aby odróżnić ją od ujemnej wersji samej siebie, gdzie to również jest prawdą.
Geometrycznie pierwiastek kwadratowy z 2 jest długością przekątnej w poprzek kwadratu o bokach długości jeden; można go znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
Pierwiastek kwadratowy z 2 jest równy długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o nogach długości 1.
Dowód, że pierwiastek kwadratowy z 2 nie jest racjonalny
Liczba 2 {{displaystyle {{sqrt {2}}}}
nie jest racjonalna. Oto dowód.
- Przyjmijmy, że 2 {{sqrt {2}}} jest racjonalne. Istnieją więc
takie liczby a , b {displaystyle a,b}, że a / b = 2 {displaystyle a/b={sqrt {2}}}. 
. - Możemy tak dobrać a i b, że albo a albo b jest nieparzyste. Gdyby a i b były parzyste, to ułamek można by uprościć (na przykład zamiast pisać 2 4 {displaystyle {{frac {2}{4}}}}).
możemy napisać 1 2 {{displaystyle {{frac {{1}{2}}}}
). - Jeśli obie strony równania zostaną podniesione do kwadratu, to otrzymamy a2 / b2 = 2 i a2 = 2 b2.
- Prawa strona to 2 b 2 {displaystyle 2b^{2}}.
. Ta liczba jest parzysta. Więc lewa strona też musi być parzysta. Zatem a 2 {displaystyle a^{2}} 
jest parzysta. Jeśli liczba nieparzysta zostanie podniesiona do kwadratu, to wynikiem będzie liczba nieparzysta. A jeśli liczba parzysta zostanie podniesiona do kwadratu, to wynikiem będzie również liczba parzysta. Zatem a {displaystyle a}
jest parzyste. - Ponieważ a jest parzyste, można je zapisać jako: a = 2 k {przykład a=2k}
. - Wykorzystujemy równanie z kroku 3. Otrzymujemy 2b2 = (2k)2
- Można skorzystać z reguły wykładania (patrz artykuł) - w wyniku otrzymamy 2 b 2 = 4 k 2 {{displaystyle 2b^{2}}=4k^{2}}.
. - Obie strony są podzielne przez 2. Zatem b 2 = 2 k 2 {{displaystyle b^{2}}=2k^{2}}.
. To oznacza, że b {displaystyle b} 
jest parzyste. - W kroku 2 powiedzieliśmy, że a jest nieparzyste lub b jest nieparzyste. Ale w kroku 4, zostało powiedziane, że a jest parzyste, a w kroku 7, zostało powiedziane, że b jest parzyste. Jeśli założenie, które zrobiliśmy w kroku 1 jest prawdziwe, to wszystkie te inne rzeczy muszą być prawdziwe, ale ponieważ nie zgadzają się ze sobą, nie mogą być wszystkie prawdziwe; to znaczy, że nasze założenie nie jest prawdziwe.
Nie jest prawdą, że 2 {displaystyle {{sqrt {2}}} jest liczbą racjonalną. Zatem 2 {displaystyle {{sqrt {2}}} jest irracjonalne.
