| Problem | Krótkie wyjaśnienie | Status | Rok rozwiązany |
| 1. | Hipoteza continuum (to znaczy, że nie istnieje zbiór, którego kardynalność jest ściśle pomiędzy kardynalnością liczb całkowitych a kardynalnością liczb rzeczywistych) | Udowodniono, że jest niemożliwe do udowodnienia lub obalenia w ramach teorii zbiorów Zermelo-Fraenkela z aksjomatem wyboru lub bez niego (pod warunkiem, że teoria zbiorów Zermelo-Fraenkela z aksjomatem wyboru lub bez niego jest spójna, tzn. nie zawiera dwóch twierdzeń takich, że jedno jest zaprzeczeniem drugiego). Nie ma zgody co do tego, czy jest to rozwiązanie problemu. | 1963 |
| 2. | Udowodnij, że aksjomaty arytmetyki są spójne. | Nie ma zgody co do tego, czy wyniki Gödla i Gentzena dają rozwiązanie problemu postawionego przez Hilberta. Drugie twierdzenie niezupełności Gödla, udowodnione w 1931 roku, pokazuje, że żaden dowód spójności arytmetyki nie może być przeprowadzony w ramach samej arytmetyki. Dowód spójności Gentzena (1936) pokazuje, że spójność arytmetyki wynika z dobrze uzasadnionej rzędowości ε0. | 1936? |
| 3. | Czy biorąc pod uwagę dwa wielościany o jednakowej objętości, zawsze można rozciąć pierwszy z nich na skończenie wiele wielościanów, które można ponownie złożyć, aby otrzymać drugi? | Rozwiązany. Wynik: nie, udowodnione przy użyciu inwariantów Dehna. | 1900 |
| 4. | Skonstruuj wszystkie metryki, w których linie są geodezyjnymi. | Zbyt niejasne, aby stwierdzić, rozwiązane lub nie. | - – |
| 5. | Czy grupy ciągłe są automatycznie grupami różnicowymi? | Rozwiązane przez Andrew Gleasona lub Hidehiko Yamabe, w zależności od tego, jak interpretuje się oryginalne twierdzenie. Jeśli jednak jest ono rozumiane jako odpowiednik przypuszczenia Hilberta-Smitha, to nadal pozostaje nierozwiązane. | 1953? |
| 6. | Aksjomatyzuje całą fizykę | Częściowo rozwiązany. | - – |
| 7. | Czy a b jest transcendentalne, dla algebraicznego a ≠ 0,1 i irracjonalnego algebraicznego b? | Rozwiązany. Wynik: tak, ilustruje to twierdzenie Gelfonda lub twierdzenie Gelfonda-Schneidera. | 1934 |
| 8. | Hipoteza Riemanna ("część rzeczywista każdego nietrywialnego zera funkcji zeta Riemanna wynosi ½") i inne problemy związane z liczbami pierwszymi, m.in. hipoteza Goldbacha i hipoteza podwójnej liczby pierwszej | Nierozstrzygnięty. | - – |
| 9. | Znajdź najbardziej ogólne prawo twierdzenia o wzajemności w dowolnym polu liczb algebraicznych | Częściowo rozwiązany. | - – |
| 10. | Znajdź algorytm pozwalający określić, czy dane wielomianowe równanie Diophantine'a o współczynnikach całkowitych ma rozwiązanie całkowite. | Rozwiązany. Wynik: niemożliwe, z twierdzenia Matiyasevicha wynika, że taki algorytm nie istnieje. | 1970 |
| 11. | Rozwiązywanie form kwadratowych o algebraicznych współczynnikach liczbowych. | Częściowo rozwiązane. [] | - – |
| 12. | Rozszerzenie twierdzenia Kroneckera-Webera o abelianowych rozszerzeniach liczb racjonalnych na dowolne pole liczb podstawowych. | Częściowo rozwiązane przez klasową teorię pola, choć rozwiązanie nie jest tak jednoznaczne jak twierdzenie Kroneckera-Webera. | - – |
| 13. | Rozwiązywanie równań 7 stopnia z wykorzystaniem ciągłych funkcji dwóch parametrów. | Nierozwiązany. Problem został częściowo rozwiązany przez Vladimira Arnolda na podstawie pracy Andreya Kolmogorova. | 1957 |
| 14. | Czy pierścień inwariantów grupy algebraicznej działającej na pierścieniu wielomianowym jest zawsze skończenie generowany? | Rozwiązany. Wynik: nie, kontrprzykład został skonstruowany przez Masayoshi Nagatę. | 1959 |
| 15. | Ścisłe podstawy enumeratywnego rachunku Schuberta. | Częściowo rozwiązane. [] | - – |
| 16. | Opisać względne położenia owali pochodzących z rzeczywistej krzywej algebraicznej oraz jako cykle graniczne wielomianowego pola wektorowego na płaszczyźnie. | Nierozstrzygnięty. | - – |
| 17. | Wyrażenie skończonej funkcji racjonalnej jako ilorazu sum kwadratów | Rezolucja: Emil Artin i Charles Delzell. Wynik: Ustalono górne ograniczenie na liczbę potrzebnych wyrażeń kwadratowych. Znalezienie dolnego ograniczenia jest nadal problemem otwartym. | 1927 |
| 18. | (a) Czy istnieje wielościan, który dopuszcza tylko trójwymiarowe uporządkowanie anizohedralne?
(b) Jaka jest największa gęstość upakowania kuli? | a) Uchwalono. Wynik: tak (przez Karl Reinhardt).
(b) Rozwiązany przez Thomasa Callistera Halesa przy użyciu wspomaganego komputerowo dowodu. Wynik: ścisłe upakowanie sześcienne i ścisłe upakowanie sześciokątne, oba o gęstości około 74%. | a) 1928 r.
b) 1998 r. |
| 19. | Czy rozwiązania Lagrangianów są zawsze analityczne? | Rozwiązany. Wynik: tak, udowodnione przez Ennio de Giorgi oraz, niezależnie i przy użyciu różnych metod, przez Johna Forbesa Nasha. | 1957 |
| 20. | Czy wszystkie problemy wariacyjne z pewnymi warunkami brzegowymi mają rozwiązania? | Rozwiązany. Ważny temat badań przez cały XX wiek, zakończony rozwiązaniami[] dla przypadku nieliniowego. | - – |
| 21. | Dowód na istnienie liniowych równań różniczkowych o zadanej grupie monodromicznej | Rozwiązany. Wynik: Tak lub nie, w zależności od dokładniejszych sformułowań problemu. [] | - – |
| 22. | Uniformizacja relacji analitycznych za pomocą funkcji automorficznych | Rozwiązany. [] | - – |
| 23. | Dalszy rozwój rachunku wariacji | Nierozstrzygnięty. | - – |
