Problemy Hilberta
W 1900 r. matematyk David Hilbert opublikował listę 23 nierozwiązanych problemów matematycznych. Lista problemów okazała się bardzo wpływowa. Po śmierci Hilberta w jego pismach odnaleziono jeszcze jeden problem, który dziś bywa znany jako 24. problem Hilberta. Problem ten polega na znalezieniu kryteriów pozwalających pokazać, że rozwiązanie pewnego problemu jest najprostsze z możliwych.
Spośród 23 problemów, trzy były nierozwiązane w 2012 roku, trzy były zbyt niejasne, aby je rozwiązać, a sześć mogło być rozwiązanych częściowo. Biorąc pod uwagę wpływ tych problemów, Clay Mathematics Institute sformułował w 2000 roku podobną listę, nazwaną Millennium Prize Problems.
Podsumowanie
Sformułowanie niektórych problemów jest lepsze niż innych. Spośród czysto sformułowanych problemów Hilberta, problemy 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 i 21 mają rozwiązanie, które jest akceptowane przez konsensus. Z drugiej strony, problemy 1, 2, 5, 9, 15, 18+ i 22 mają rozwiązania, które są częściowo akceptowane, ale istnieją pewne kontrowersje co do tego, czy rozwiązują one problem.
W rozwiązaniu zadania 18, dotyczącego domysłu Keplera, zastosowano dowód wspomagany komputerowo. Jest to kontrowersyjne, gdyż człowiek nie jest w stanie zweryfikować tego dowodu w rozsądnym czasie.
To pozostawia 16, 8 (hipoteza Riemanna) i 12 nierozwiązanymi. W tej klasyfikacji 4, 16 i 23 są zbyt niejasne, aby kiedykolwiek określić je jako rozwiązane. Wycofany 24 również znalazłby się w tej klasie. 6 jest uważany raczej za problem z dziedziny fizyki niż matematyki.
Tabela problemów
Dwadzieścia trzy problemy Hilberta to:
| Problem | Krótkie wyjaśnienie | Status | Rok rozwiązany |
| 1. | Hipoteza continuum (to znaczy, że nie istnieje zbiór, którego kardynalność jest ściśle pomiędzy kardynalnością liczb całkowitych a kardynalnością liczb rzeczywistych) | Udowodniono, że jest niemożliwe do udowodnienia lub obalenia w ramach teorii zbiorów Zermelo-Fraenkela z aksjomatem wyboru lub bez niego (pod warunkiem, że teoria zbiorów Zermelo-Fraenkela z aksjomatem wyboru lub bez niego jest spójna, tzn. nie zawiera dwóch twierdzeń takich, że jedno jest zaprzeczeniem drugiego). Nie ma zgody co do tego, czy jest to rozwiązanie problemu. | 1963 |
| 2. | Udowodnij, że aksjomaty arytmetyki są spójne. | Nie ma zgody co do tego, czy wyniki Gödla i Gentzena dają rozwiązanie problemu postawionego przez Hilberta. Drugie twierdzenie niezupełności Gödla, udowodnione w 1931 roku, pokazuje, że żaden dowód spójności arytmetyki nie może być przeprowadzony w ramach samej arytmetyki. Dowód spójności Gentzena (1936) pokazuje, że spójność arytmetyki wynika z dobrze uzasadnionej rzędowości ε0. | 1936? |
| 3. | Czy biorąc pod uwagę dwa wielościany o jednakowej objętości, zawsze można rozciąć pierwszy z nich na skończenie wiele wielościanów, które można ponownie złożyć, aby otrzymać drugi? | Rozwiązany. Wynik: nie, udowodnione przy użyciu inwariantów Dehna. | 1900 |
| 4. | Skonstruuj wszystkie metryki, w których linie są geodezyjnymi. | Zbyt niejasne, aby stwierdzić, rozwiązane lub nie. | - – |
| 5. | Czy grupy ciągłe są automatycznie grupami różnicowymi? | Rozwiązane przez Andrew Gleasona lub Hidehiko Yamabe, w zależności od tego, jak interpretuje się oryginalne twierdzenie. Jeśli jednak jest ono rozumiane jako odpowiednik przypuszczenia Hilberta-Smitha, to nadal pozostaje nierozwiązane. | 1953? |
| 6. | Aksjomatyzuje całą fizykę | Częściowo rozwiązany. | - – |
| 7. | Czy a b jest transcendentalne, dla algebraicznego a ≠ 0,1 i irracjonalnego algebraicznego b? | Rozwiązany. Wynik: tak, ilustruje to twierdzenie Gelfonda lub twierdzenie Gelfonda-Schneidera. | 1934 |
| 8. | Hipoteza Riemanna ("część rzeczywista każdego nietrywialnego zera funkcji zeta Riemanna wynosi ½") i inne problemy związane z liczbami pierwszymi, m.in. hipoteza Goldbacha i hipoteza podwójnej liczby pierwszej | Nierozstrzygnięty. | - – |
| 9. | Znajdź najbardziej ogólne prawo twierdzenia o wzajemności w dowolnym polu liczb algebraicznych | Częściowo rozwiązany. | - – |
| 10. | Znajdź algorytm pozwalający określić, czy dane wielomianowe równanie Diophantine'a o współczynnikach całkowitych ma rozwiązanie całkowite. | Rozwiązany. Wynik: niemożliwe, z twierdzenia Matiyasevicha wynika, że taki algorytm nie istnieje. | 1970 |
| 11. | Rozwiązywanie form kwadratowych o algebraicznych współczynnikach liczbowych. | Częściowo rozwiązane. [] | - – |
| 12. | Rozszerzenie twierdzenia Kroneckera-Webera o abelianowych rozszerzeniach liczb racjonalnych na dowolne pole liczb podstawowych. | Częściowo rozwiązane przez klasową teorię pola, choć rozwiązanie nie jest tak jednoznaczne jak twierdzenie Kroneckera-Webera. | - – |
| 13. | Rozwiązywanie równań 7 stopnia z wykorzystaniem ciągłych funkcji dwóch parametrów. | Nierozwiązany. Problem został częściowo rozwiązany przez Vladimira Arnolda na podstawie pracy Andreya Kolmogorova. | 1957 |
| 14. | Czy pierścień inwariantów grupy algebraicznej działającej na pierścieniu wielomianowym jest zawsze skończenie generowany? | Rozwiązany. Wynik: nie, kontrprzykład został skonstruowany przez Masayoshi Nagatę. | 1959 |
| 15. | Ścisłe podstawy enumeratywnego rachunku Schuberta. | Częściowo rozwiązane. [] | - – |
| 16. | Opisać względne położenia owali pochodzących z rzeczywistej krzywej algebraicznej oraz jako cykle graniczne wielomianowego pola wektorowego na płaszczyźnie. | Nierozstrzygnięty. | - – |
| 17. | Wyrażenie skończonej funkcji racjonalnej jako ilorazu sum kwadratów | Rezolucja: Emil Artin i Charles Delzell. Wynik: Ustalono górne ograniczenie na liczbę potrzebnych wyrażeń kwadratowych. Znalezienie dolnego ograniczenia jest nadal problemem otwartym. | 1927 |
| 18. | (a) Czy istnieje wielościan, który dopuszcza tylko trójwymiarowe uporządkowanie anizohedralne? | a) Uchwalono. Wynik: tak (przez Karl Reinhardt). | a) 1928 r. |
| 19. | Czy rozwiązania Lagrangianów są zawsze analityczne? | Rozwiązany. Wynik: tak, udowodnione przez Ennio de Giorgi oraz, niezależnie i przy użyciu różnych metod, przez Johna Forbesa Nasha. | 1957 |
| 20. | Czy wszystkie problemy wariacyjne z pewnymi warunkami brzegowymi mają rozwiązania? | Rozwiązany. Ważny temat badań przez cały XX wiek, zakończony rozwiązaniami[] dla przypadku nieliniowego. | - – |
| 21. | Dowód na istnienie liniowych równań różniczkowych o zadanej grupie monodromicznej | Rozwiązany. Wynik: Tak lub nie, w zależności od dokładniejszych sformułowań problemu. [] | - – |
| 22. | Uniformizacja relacji analitycznych za pomocą funkcji automorficznych | Rozwiązany. [] | - – |
| 23. | Dalszy rozwój rachunku wariacji | Nierozstrzygnięty. | - – |
Pytania i odpowiedzi
P: Kto opublikował listę 23 nierozwiązanych problemów matematycznych w 1900 roku?
O: David Hilbert opublikował listę 23 nierozwiązanych problemów matematycznych w 1900 roku.
P: Czy 24. problem Hilberta był częścią oryginalnej listy?
O: Nie, 24. problem Hilberta został znaleziony w pismach Hilberta po jego śmierci.
P: Czego dotyczy 24. problem Hilberta?
O: Dwudziesty czwarty problem Hilberta dotyczy znalezienia kryteriów pokazujących, że rozwiązanie danego problemu jest najprostsze z możliwych.
P: Czy wszystkie 23 problemy z listy Hilberta zostały rozwiązane do 2012 roku?
O: Nie, trzy z 23 problemów z listy Hilberta pozostały nierozwiązane w 2012 roku.
P: Czy któryś z problemów z listy Hilberta był zbyt niejasny, by go rozwiązać?
O: Tak, trzy problemy z listy Hilberta były zbyt niejasne, by je rozwiązać.
P: Ile problemów z listy Hilberta można częściowo rozwiązać?
O: Sześć problemów z listy Hilberta można rozwiązać częściowo.
P: Czy Clay Mathematics Institute stworzył listę podobną do listy Hilberta?
O: Tak, Clay Mathematics Institute stworzył podobną listę nazwaną Millennium Prize Problems w 2000 roku.
