Problemy Hilberta: lista 23 zadań matematycznych i ich wpływ

Problem

Krótkie wyjaśnienie

Status

Rok rozwiązany

1.

Hipoteza continuum (to znaczy, że nie istnieje zbiór, którego kardynalność jest ściśle pomiędzy kardynalnością liczb całkowitych a kardynalnością liczb rzeczywistych)

Udowodniono, że jest niemożliwe do udowodnienia lub obalenia w ramach teorii zbiorów Zermelo-Fraenkela z aksjomatem wyboru lub bez niego (pod warunkiem, że teoria zbiorów Zermelo-Fraenkela z aksjomatem wyboru lub bez niego jest spójna, tzn. nie zawiera dwóch twierdzeń takich, że jedno jest zaprzeczeniem drugiego). Nie ma zgody co do tego, czy jest to rozwiązanie problemu.

1963

2.

Udowodnij, że aksjomaty arytmetyki są spójne.

Nie ma zgody co do tego, czy wyniki Gödla i Gentzena dają rozwiązanie problemu postawionego przez Hilberta. Drugie twierdzenie niezupełności Gödla, udowodnione w 1931 roku, pokazuje, że żaden dowód spójności arytmetyki nie może być przeprowadzony w ramach samej arytmetyki. Dowód spójności Gentzena (1936) pokazuje, że spójność arytmetyki wynika z dobrze uzasadnionej rzędowości ε0.

1936?

3.

Czy biorąc pod uwagę dwa wielościany o jednakowej objętości, zawsze można rozciąć pierwszy z nich na skończenie wiele wielościanów, które można ponownie złożyć, aby otrzymać drugi?

Rozwiązany. Wynik: nie, udowodnione przy użyciu inwariantów Dehna.

1900

4.

Skonstruuj wszystkie metryki, w których linie są geodezyjnymi.

Zbyt niejasne, aby stwierdzić, rozwiązane lub nie.

- –

5.

Czy grupy ciągłe są automatycznie grupami różnicowymi?

Rozwiązane przez Andrew Gleasona lub Hidehiko Yamabe, w zależności od tego, jak interpretuje się oryginalne twierdzenie. Jeśli jednak jest ono rozumiane jako odpowiednik przypuszczenia Hilberta-Smitha, to nadal pozostaje nierozwiązane.

1953?

6.

Aksjomatyzuje całą fizykę

Częściowo rozwiązany.

- –

7.

Czy a ^{b jest} transcendentalne, dla algebraicznego a ≠ 0,1 i irracjonalnego algebraicznego b?

Rozwiązany. Wynik: tak, ilustruje to twierdzenie Gelfonda lub twierdzenie Gelfonda-Schneidera.

1934

8.

Hipoteza Riemanna ("część rzeczywista każdego nietrywialnego zera funkcji zeta Riemanna wynosi ½") i inne problemy związane z liczbami pierwszymi, m.in. hipoteza Goldbacha i hipoteza podwójnej liczby pierwszej

Nierozstrzygnięty.

- –

9.

Znajdź najbardziej ogólne prawo twierdzenia o wzajemności w dowolnym polu liczb algebraicznych

Częściowo rozwiązany.

- –

10.

Znajdź algorytm pozwalający określić, czy dane wielomianowe równanie Diophantine'a o współczynnikach całkowitych ma rozwiązanie całkowite.

Rozwiązany. Wynik: niemożliwe, z twierdzenia Matiyasevicha wynika, że taki algorytm nie istnieje.

1970

11.

Rozwiązywanie form kwadratowych o algebraicznych współczynnikach liczbowych.

Częściowo rozwiązane. ^[]

- –

12.

Rozszerzenie twierdzenia Kroneckera-Webera o abelianowych rozszerzeniach liczb racjonalnych na dowolne pole liczb podstawowych.

Częściowo rozwiązane przez klasową teorię pola, choć rozwiązanie nie jest tak jednoznaczne jak twierdzenie Kroneckera-Webera.

- –

13.

Rozwiązywanie równań 7 stopnia z wykorzystaniem ciągłych funkcji dwóch parametrów.

Nierozwiązany. Problem został częściowo rozwiązany przez Vladimira Arnolda na podstawie pracy Andreya Kolmogorova.

1957

14.

Czy pierścień inwariantów grupy algebraicznej działającej na pierścieniu wielomianowym jest zawsze skończenie generowany?

Rozwiązany. Wynik: nie, kontrprzykład został skonstruowany przez Masayoshi Nagatę.

1959

15.

Ścisłe podstawy enumeratywnego rachunku Schuberta.

Częściowo rozwiązane. ^[]

- –

16.

Opisać względne położenia owali pochodzących z rzeczywistej krzywej algebraicznej oraz jako cykle graniczne wielomianowego pola wektorowego na płaszczyźnie.

Nierozstrzygnięty.

- –

17.

Wyrażenie skończonej funkcji racjonalnej jako ilorazu sum kwadratów

Rezolucja: Emil Artin i Charles Delzell. Wynik: Ustalono górne ograniczenie na liczbę potrzebnych wyrażeń kwadratowych. Znalezienie dolnego ograniczenia jest nadal problemem otwartym.

1927

18.

(a) Czy istnieje wielościan, który dopuszcza tylko trójwymiarowe uporządkowanie anizohedralne?
(b) Jaka jest największa gęstość upakowania kuli?

a) Uchwalono. Wynik: tak (przez Karl Reinhardt).
(b) Rozwiązany przez Thomasa Callistera Halesa przy użyciu wspomaganego komputerowo dowodu. Wynik: ścisłe upakowanie sześcienne i ścisłe upakowanie sześciokątne, oba o gęstości około 74%.

a) 1928 r.
b) 1998 r.

19.

Czy rozwiązania Lagrangianów są zawsze analityczne?

Rozwiązany. Wynik: tak, udowodnione przez Ennio de Giorgi oraz, niezależnie i przy użyciu różnych metod, przez Johna Forbesa Nasha.

1957

20.

Czy wszystkie problemy wariacyjne z pewnymi warunkami brzegowymi mają rozwiązania?

Rozwiązany. Ważny temat badań przez cały XX wiek, zakończony rozwiązaniami^[] dla przypadku nieliniowego.

- –

21.

Dowód na istnienie liniowych równań różniczkowych o zadanej grupie monodromicznej

Rozwiązany. Wynik: Tak lub nie, w zależności od dokładniejszych sformułowań problemu. ^[]

- –

22.

Uniformizacja relacji analitycznych za pomocą funkcji automorficznych

Rozwiązany. ^[]

- –

23.

Dalszy rozwój rachunku wariacji

Nierozstrzygnięty.

- –