Aksjomaty Zermela-Fraenkla

Teoria zbiorów Zermelo-Fraenkela (w skrócie ZF) to system aksjomatów służący do opisu teorii zbiorów. Po dodaniu do ZF aksjomatu wyboru, system ten nazywa się ZFC. Jest to system aksjomatów używany w teorii zbiorów przez większość współczesnych matematyków.

Po odkryciu paradoksu Russella w 1901 roku, matematycy chcieli znaleźć sposób na opisanie teorii zbiorów, który nie zawierałby sprzeczności. Ernst Zermelo zaproponował teorię zbiorów w 1908 roku. W 1922 roku Abraham Fraenkel zaproponował nową wersję opartą na pracy Zermelo.

Aksjomaty

Aksjomat to stwierdzenie, które jest akceptowane bez wątpliwości i które nie ma dowodu. ZF zawiera osiem aksjomatów.

  1. Aksjomat rozszerzenia mówi, że dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy. Na przykład, zbiór { 1 , 3 } {\displaystyle \{1,3\}}i zbiór { 3 , 1 } { 3 , 1 } { 3 , 1 } {\displaystyle \{3,1\}}są równe.
  2. Aksjomat fundacji mówi, że każdy zbiór S {w stylu S} (oprócz pustego) zawiera element, który jest rozłączny (nie ma wspólnych członków) z S {w stylu S}. {\displaystyle S}(oprócz zbioru pustego) zawiera element, który jest dysjunktywny (nie ma wspólnych członów) z S {styl S}. {\displaystyle S}.
  3. Aksjomat specyfikacji mówi, że biorąc pod uwagę zbiór S {displaystyle S} {\displaystyle S}i predykat F {{displaystyle F}} F(funkcja, która jest albo prawdziwa, albo fałszywa), że istnieje zbiór, który zawiera dokładnie te elementy S {displaystyle S} , {\displaystyle S}w których F {displaystyle F} Fjest prawdziwe. Na przykład, jeśli S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}}, a F {displaystyle F}F to "to jest liczba parzysta", to aksjomat mówi, że zbiór { 2 , 6 } {{displaystyle {2,6}} {\displaystyle \{2,6\}}istnieje.
  4. Aksjomat parowania mówi, że jeśli dane są dwa zbiory, to istnieje zbiór, którego elementami są dokładnie te dwa dane zbiory. Zatem, biorąc pod uwagę dwa zbiory { 0 , 3 } {\displaystyle \{0,3\}}i { 2 , 5 } { {displaystyle {{2,5}} {\displaystyle \{2,5\}}aksjomat ten mówi, że zbiór { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } { {displaystyle {0,3}},{{2,5}} {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}istnieje.
  5. Aksjomat unii mówi, że dla dowolnego zbioru istnieje zbiór, który składa się tylko z elementów elementów tego zbioru. Na przykład, biorąc pod uwagę zbiór { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}aksjomat ten mówi, że zbiór { 0 , 3 , 2 , 5 } { {displaystyle {{0,3,2,5}} {\displaystyle \{0,3,2,5\}}istnieje.
  6. Aksjomat zastępowalności mówi, że dla dowolnego zbioru S {w stylu S} {\displaystyle S}i funkcji F {w stylu F} F, to {\displaystyle S}istnieje zbiór składający się z wyników wywołania funkcji F {{displaystyle F}} Fna wszystkich członach S {{displaystyle S}}. Na przykład, jeśli S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } { {displaystyle S={1,2,3,5,6}}{\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}}, a F {displaystyle F} Fjest "dodaj dziesięć do tej liczby", to aksjomat mówi, że zbiór { 11 , 12 , 13 , 15 , 16 } {{displaystyle {11,12,13,15,16}} {\displaystyle \{11,12,13,15,16\}}istnieje.
  7. Aksjomat nieskończoności mówi, że istnieje zbiór wszystkich liczb całkowitych (w rozumieniu konstrukcji Von Neumanna). Jest to zbiór { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... . } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}} {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
  8. Aksjomat zbioru potęgowego mówi, że zbiór potęgowy (zbiór wszystkich podzbiorów) dowolnego zbioru istnieje. Na przykład zbiór potęgowy zbioru { 2 , 5 } { { { 2 , 5 } } {\displaystyle \{2,5\}}to { { } , { 2 } , { 5 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}} {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}}

Aksjomat wyboru

Aksjomat wyboru mówi, że z każdego elementu zbioru można wyjąć jeden obiekt i utworzyć nowy zbiór. Na przykład, biorąc pod uwagę zbiór { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}aksjomat wyboru pokazuje, że zbiór taki jak { 3 , 5 } {{displaystyle {3,5}} {\displaystyle \{3,5\}}istnieje. Aksjomat ten można udowodnić na podstawie innych aksjomatów dla zbiorów skończonych, ale nie dla nieskończonych.


AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3