Teoria zbiorów Zermelo–Fraenkela (ZF i ZFC) — definicja i aksjomaty

Poznaj teorię zbiorów Zermelo–Fraenkela (ZF) i ZFC: definicje, aksjomaty, historia Zermelo i Fraenkla oraz rola aksjomu wyboru i paradoksu Russella.

Teoria zbiorów Zermelo-Fraenkela (w skrócie ZF) to system aksjomatów służący do opisu teorii zbiorów. Po dodaniu do ZF aksjomatu wyboru, system ten nazywa się ZFC. Jest to system aksjomatów używany w teorii zbiorów przez większość współczesnych matematyków.

Po odkryciu paradoksu Russella w 1901 roku, matematycy chcieli znaleźć sposób na opisanie teorii zbiorów, który nie zawierałby sprzeczności. Ernst Zermelo zaproponował teorię zbiorów w 1908 roku. W 1922 roku Abraham Fraenkel zaproponował nową wersję opartą na pracy Zermelo.

Aksjomaty ZF — przegląd

ZF to zbiór aksjomatów formułujących podstawowe własności zbiorów w sposób zapobiegający typom paradoksów (jak paradoks Russella). W prostym ujęciu aksjomaty określają, jakie zbiory istnieją i jakie operacje na zbiorach są dozwolone. Poniżej wymieniono zwykle przyjmowane aksjomaty (nazwy podane w skrócie i z krótkim opisem):

• Aksjomat ekstensionalności — dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.
• Aksjomat zbioru pustego (lub dowód jego istnienia w niektórych formułach) — istnieje zbiór nieposiadający elementów (zbiór pusty ∅).
• Aksjomat parowania — dla dowolnych dwóch zbiorów istnieje zbiór, którego elementami są dokładnie te dwa zbiory (umożliwia tworzenie par {a,b}).
• Aksjomat sumy (unia) — dla dowolnego zbioru zbiorów istnieje zbiór będący ich sumą (łączeniem wszystkich elementów tych zbiorów).
• Aksjomat potęgi — dla każdego zbioru istnieje zbiór wszystkich jego podzbiorów (potęga zbioru).
• Aksjomat nieskończoności — istnieje zbiór o strukturze pozwalającej zbudować liczby naturalne (umożliwia istnienie nieskończonych zbiorów).
• Schemat separacji (specyfikacji) — z każdego istniejącego zbioru można wydzielić podzbiór określony własnością (unika się ogólnego „zapisu” zbioru przez dowolną własność, co prowadziłoby do paradoksów).
• Schemat zastępowania (replacement) — obrazy zbiorów przez funkcje określone w teorii dają zbiory; formalnie: przekształcenie elementów zbioru przez definicję daje znowu zbiór.
• Aksjomat regularności (fundacji) — każdy niepusty zbiór ma element rozłączny z nim (usuwa możliwości istnienia nieskończonych łańcuchów x∈x∈x… i ujemnych cykli).

To standardowy opis aksjomatów ZF; różne podręczniki mogą podawać drobne warianty (np. jawne dołączenie aksjomatu istnienia zbioru pustego lub traktowanie niektórych schematów nieco inaczej). Aksjomat wyboru (AC) nie należy do ZF — jeśli go dodamy, otrzymujemy ZFC.

ZFC — aksjomat wyboru i jego konsekwencje

Aksjomat wyboru (AC) stwierdza, że z dowolnej rodziny niepustych zbiorów da się wybrać dokładnie jeden element z każdego spośród nich. Aksjomat ten ma wiele równoważnych sformułowań, z których najbardziej znane to twierdzenie o dobrze-orderowaniu (każdy zbiór można dobrze uporządkować) oraz lemat Zorna. Zastosowania AC występują powszechnie w analizie funkcjonalnej, teorii miary i algebraicznych twierdzeniach (np. każdy wektorowy nad ciałem ma bazę — wymaga AC).

Modele, spójność i niezależność aksjomatów

Ważną częścią badań nad ZF i ZFC są prace dotyczące spójności i niezależności. Kurt Gödel w 1938 roku pokazał, że jeśli ZF jest spójne, to ZF + AC oraz ZF + „wszystkie aksjomaty wyboru i uogólniona hipoteza continuum (GCH)” są również spójne — dokonał tego konstrukcją uniwersum klasycznego V=L (teoria zbiorów konstruowalnych). Paul Cohen w 1963 roku wprowadził metodę forsowania i pokazał, że zarówno aksjomat wyboru, jak i hipoteza continuum (CH) są niezależne od ZF — można skonstruować modele ZF, w których te twierdzenia są prawdziwe, oraz modele, w których są fałszywe. Wskazuje to, że nie da się udowodnić ani obalić tych twierdzeń z samych aksjomatów ZF.

Cumulative hierarchy, porządek rang i klasy

Współczesna intuicja ZF opiera się na pojęciu hierarchii kumulatywnej (oznaczanej zwykle V), w której zbiory powstają „poziomami” (rangi): najpierw mamy zbiór pusty, potem jego potęgę, potem zbiory złożone z poprzednich poziomów itd. Ten obraz pomaga wyjaśnić aksjomat regularności oraz pojęcia takie jak ordynaly i kardynały. W praktyce matematycy często operują też pojęciem klas (np. klasa wszystkich zbiorów), które formalnie nie muszą być zbiorami — w tej roli wykorzystuje się rozszerzenia ZF, jak teoria von Neumanna–Bernays–Gödel (NBG), by formalnie rozmawiać o klasach.

Rola ZF/ZFC w matematyce i alternatywy

ZFC jest standardowym fundamentem większości współczesnej matematyki: większość twierdzeń w analizie, algebrze czy topologii można sformułować i udowodnić w ZFC. Jednak z punktu widzenia logiki i filozofii matematyki istnieją alternatywy i rozszerzenia — przykładowo ZF bez AC (dla badań nad własnościami bez wyboru), NBG (formalizm klas), czy teorie wzbogacone o aksjomaty wielkich kardynałów (używane w badaniach czysto teoretycznych, np. w teorii deszczów i porządków). Niektóre twierdzenia matematyczne okazują się niezależne od ZFC i wówczas badacze rozważają dodanie nowych aksjomatów lub przyjmują rezultaty jako „nieokreślone” w standardowej teorii.

Podsumowanie

Teoria Zermelo–Fraenkela (ZF) wraz z aksjomatem wyboru (ZFC) dostarcza formalnego i na ogół wystarczającego rachunku do budowy współczesnej matematyki, jednocześnie unikając znanych paradoksów. Jednocześnie badania nad modelami, spójnością i niezależnością ujawniają granice tej teorii i motywują do filozoficznych i technicznych rozważań nad tym, które dodatkowe założenia (jeśli w ogóle) chcemy przyjąć.

Szukaj według litery