Twierdzenie Gödla
Twierdzenia niezupełności Gödla to nazwa nadana dwóm twierdzeniom (prawdziwym twierdzeniom matematycznym), udowodnionym przez Kurta Gödla w 1931 roku. Są to twierdzenia z zakresu logiki matematycznej.
Matematycy uważali kiedyś, że wszystko, co jest prawdziwe, ma swój dowód matematyczny. System, który posiada tę własność, nazywamy kompletnym; taki, który jej nie posiada, nazywamy niekompletnym. Ponadto, idee matematyczne nie powinny zawierać sprzeczności. Oznacza to, że nie powinny być jednocześnie prawdziwe i fałszywe. System, który nie zawiera sprzeczności nazywamy spójnym. Systemy te oparte są na zbiorach aksjomatów. Aksjomaty to stwierdzenia, które są uznawane za prawdziwe i nie wymagają dowodu.
Gödel powiedział, że każdy nietrywialny (interesujący) system formalny jest albo niezupełny, albo niespójny:
- Zawsze będą pytania, na które nie da się odpowiedzieć, używając pewnego zestawu aksjomatów;
- Nie możesz udowodnić, że system aksjomatów jest spójny, chyba że użyjesz innego zestawu aksjomatów.
Twierdzenia te są ważne dla matematyków, ponieważ dowodzą, że nie da się stworzyć zbioru aksjomatów, który wyjaśniałby wszystko w matematyce.
Niektóre powiązane tematy
Pytania i odpowiedzi
P: Czym są twierdzenia o niezupełności Gödla?
O: Twierdzenia o niezupełności Gödla to dwa prawdziwe twierdzenia matematyczne, udowodnione przez Kurta Gödla w 1931 roku w dziedzinie logiki matematycznej.
P: Czym jest kompletny system w matematyce?
O: Kompletny system w matematyce to system, który ma tę własność, że wszystko, co jest prawdziwe, ma matematyczny dowód.
P: Co to jest niekompletny system w matematyce?
O: Niekompletny system w matematyce to system, który nie ma własności, że wszystko, co jest prawdą, ma dowód matematyczny.
P: Co to jest spójny system w matematyce?
O: Spójny system w matematyce to system, który nie zawiera sprzeczności, co oznacza, że idee matematyczne nie powinny być prawdziwe i fałszywe w tym samym czasie.
P: Czym są aksjomaty w matematyce?
A: Aksjomaty w matematyce to stwierdzenia, które są akceptowane jako prawdziwe i nie wymagają dowodu.
P: Co twierdził Gödel o każdym nietrywialnym systemie formalnym?
O: Gödel twierdził, że każdy nietrywialny system formalny jest albo niekompletny, albo niespójny.
P: Dlaczego twierdzenia Gödla o niekompletności są ważne dla matematyków?
O: Twierdzenia o niekompletności Gödla są ważne dla matematyków, ponieważ dowodzą, że niemożliwe jest stworzenie zestawu aksjomatów, który wyjaśniałby wszystko w matematyce.
