Hipoteza continuum
Hipoteza continuum to hipoteza mówiąca, że nie istnieje zbiór, który byłby jednocześnie większy od zbioru liczb naturalnych i mniejszy od zbioru liczb rzeczywistych. Hipotezę tę wysunął Georg Cantor w 1877 roku.
Jest nieskończenie wiele liczb naturalnych, kardynalność zbioru liczb naturalnych jest nieskończona. Jest to również prawdą dla zbioru liczb rzeczywistych, ale liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb naturalnych. Mówimy, że liczby naturalne mają nieskończoną kardynalność, a liczby rzeczywiste mają nieskończoną kardynalność, ale kardynalność liczb rzeczywistych jest większa od kardynalności liczb naturalnych.
Hipoteza ta jest pierwszym problemem z listy 23 problemów, którą David Hilbert opublikował w 1900 roku. Kurt Gödel pokazał w 1939 roku, że hipotezy tej nie da się sfalsyfikować za pomocą teorii zbiorów Zermelo-Fraenkla. Teoria zbiorów Zermelo-Fraenkla jest teorią zbiorów powszechnie stosowaną w matematyce. W latach 60. Paul Cohen pokazał, że teorii zbiorów Zermelo-Fraenkla nie można również użyć do udowodnienia hipotezy continuum. Cohen został za to nagrodzony Medalem Fieldsa.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest hipoteza kontinuum?
O: Hipoteza continuum to hipoteza, że nie istnieje zbiór, który byłby jednocześnie większy od zbioru liczb naturalnych i mniejszy od zbioru liczb rzeczywistych.
P: Kto i kiedy postawił hipotezę continuum?
O: Georg Cantor postawił hipotezę continuum w 1877 roku.
P: Czy istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych?
O: Tak, liczb naturalnych jest nieskończenie wiele.
P: Jaka jest kardynalność zbioru liczb naturalnych?
O: Kardynalność zbioru liczb naturalnych jest nieskończona.
P: Czy jest więcej liczb rzeczywistych niż liczb naturalnych?
O: Tak, jest więcej liczb rzeczywistych niż liczb naturalnych.
P: Czy hipoteza continuum może być sfalsyfikowana przy użyciu teorii zbiorów Zermelo-Fraenkla?
O: Kurt Gödel wykazał w 1939 r., że hipotezy tej nie można sfalsyfikować za pomocą teorii zbiorów Zermela-Fraenkla.
P: Kto wykazał, że teorii zbiorów Zermelo-Fraenkla nie można użyć do udowodnienia hipotezy continuum?
O: Paul Cohen wykazał w latach 60-tych, że teoria zbiorów Zermela i Fraenkla nie może być użyta do udowodnienia hipotezy continuum.
