Skala logarytmiczna — definicja, zastosowania i przykłady
Skala logarytmiczna — czym jest, jak działa i gdzie się stosuje: praktyczne przykłady, obliczenia oraz zastosowania w sejsmice, akustyce, oświetleniu i pomiarach pH.
Skala logarytmiczna jest skalą stosowaną, gdy zakres badanych wielkości jest bardzo duży — od bardzo małych do bardzo dużych wartości. Powszechnie używa się jej do opisu wytrzymałości przy trzęsieniach ziemi, głośności dźwięku, natężenia światła oraz pH roztworów.
Skala logarytmiczna jest oparta na rzędach wielkości, a nie na standardowej skali liniowej. Zamiast mierzyć bezwzględne różnice między wartościami, mierzy się ich stosunki (ilorazy). W praktyce oznacza to, że odległość na skali odpowiada logarytmowi wartości: dla danej podstawy b miarą jest log_b(x). Dzięki temu mnożenie wartości rzeczywistych sprowadza się do dodawania wartości na skali logarytmicznej.
Galeria obrazów
3 Obrazy
Jak to działa — przykłady i wzory
- Skala dziesiętna (podstawa 10): każda kolejna jednostka odpowiada pomnożeniu wartości przez 10 (np. 1, 10, 100, 1000).
- pH: pH = -log10[H+], więc zmiana pH o 1 oznacza dziesięciokrotną zmianę stężenia jonów wodorowych.
- Decybele (dB): stosowane do opisu poziomu dźwięku i innych wielkości akustycznych; dla mocy stosuje się 10·log10(P/P0), a dla ciśnienia akustycznego (amplitudy) 20·log10(p/p0). Dzięki temu stosunek mocy 10:1 to +10 dB, stosunek 100:1 to +20 dB itd.
- Skala Richtera i inne skale sejsmiczne: wzrost o 1 jednostkę odpowiada około 10-krotnemu wzrostowi amplitudy sygnału sejsmicznego, a energii ~31,6-krotnemu (ponieważ energia rośnie w przybliżeniu jak amplituda do kwadratu).
Dlaczego używa się skali logarytmicznej?
- Redukuje szeroki zakres wartości do wygodniejszego zakresu liczbowego, ułatwiając porównania i wizualizacje (np. na wykresach semilog i log-log).
- Przekształca mnożenie na dodawanie, co upraszcza analizę proporcji i względnych zmian.
- Jest zgodna z percepcją niektórych zmysłów: niektóre nasze zmysły reagują w sposób przybliżony logarytmiczny lub potęgowy (zob. prawo mocy Stevensa). Na przykład nasz słuch odbiera równe wielokrotności częstotliwości jako mniej więcej równe różnice wysokości dźwięku — stąd sens stosowania skali logarytmicznej w akustyce.
Wizualizacja i interpretacja wykresów
- Wykres semilog: jedna oś (zwykle pionowa) jest logarytmiczna — dobre przy danych, które zmieniają się wykładniczo w zależności od drugiej zmiennej.
- Wykres log-log: obie osie są w skali logarytmicznej — stosowany do badania zależności potęgowych (proste na wykresie log-log oznaczają zależności typu y ∝ x^k).
- Na skali logarytmicznej wartości mniejsze niż 1 dają ujemne wartości logarytmu — stąd pojawiają się ujemne liczby na takiej skali dla małych wielkości.
Praktyczne wskazówki
- Używaj skali logarytmicznej, gdy rozpiętość danych obejmuje wiele rzędów wielkości (np. od 0,001 do 1 000 000) lub gdy interesują Cię względne zmiany (stosunki), a nie różnice bezwzględne.
- Zadbaj o czytelność wykresu: oznacz, że oś jest logarytmiczna i rozważ dodanie siatki co rzędy wielkości (np. 1, 10, 100...).
- Przy interpretacji wyników pamiętaj, że prosta różnica na osi logarytmicznej odpowiada mnożeniu wartości rzeczywistych (np. różnica 2 jednostek przy podstawie 10 oznacza pomnożenie przez 100).
Skale logarytmiczne ułatwiają pracę z danymi o dużym zakresie i często lepiej oddają sposób, w jaki postrzegamy niektóre wielkości fizyczne. Są powszechne w naukach przyrodniczych, inżynierii, akustyce, chemii i wizualizacji danych.
Przykłady
Dobrze znanymi przykładami takich wag są:
- Bogatsza skala magnitudowa i skala chwilowa (MMS) dla siły trzęsień ziemi i ruchu w ziemi.
- bel i decybel i neper dla mocy akustycznej (głośności) i mocy elektrycznej;
- liczenie f-stopni dla współczynników ekspozycji fotograficznej;
- oceniając niskie prawdopodobieństwa za pomocą liczby "dziewiątek" w dziesiętnych rozwinięciach prawdopodobieństwa ich nie wystąpienia: na przykład system, który zawiedzie z prawdopodobieństwem 10-5, jest wiarygodny w 99,999%: "pięć dziewiątek".
- Entropia w termodynamice.
- Informacje w teorii informacji.
- Krzywe rozkładu wielkości cząstek gleby
Niektóre skale logarytmiczne zostały zaprojektowane tak, aby duże wartości (lub proporcje) wielkości bazowej odpowiadały małym wartościom miary logarytmicznej. Przykładami takich skal są:
- pH dla kwasowości;
- gwiezdna skala wielkości dla jasności gwiazd;
Skala logarytmiczna to również skala graficzna na jednej lub obu stronach wykresu, gdzie liczba x jest drukowana w odległości c-log(x) od punktu oznaczonego liczbą 1. Suwak logarytmiczny posiada skale logarytmiczne, a nomogramy często wykorzystują skale logarytmiczne. Na skali logarytmicznej różnica rzędu wielkości jest reprezentowana przez równą odległość. Średnia geometryczna dwóch liczb znajduje się w połowie odległości między nimi.
Papier do grafów logarytmicznych, przed pojawieniem się grafiki komputerowej, był podstawowym narzędziem naukowym. Wykresy na papierze z jedną skalą logarytmiczną mogą przedstawiać prawa wykładnicze, a na papierze logarytmicznym prawa mocy, jako linie proste (patrz wykres półilogowy, wykres logarytmiczny).
Pytania i odpowiedzi
Q: Co to jest skala logarytmiczna?
O: Skala logarytmiczna to skala używana w przypadku dużego zakresu wielkości.
P: Jakie są przykłady rzeczy, które można mierzyć w skali logarytmicznej?
O: Siła trzęsienia ziemi, głośność dźwięku, natężenie światła, szybkość rozprzestrzeniania się epidemii i pH roztworów mogą być mierzone w skali logarytmicznej.
P: Czym różni się skala logarytmiczna od standardowej skali liniowej?
O: Skala logarytmiczna opiera się na rzędach wielkości, a nie na standardowej skali liniowej. Wartość każdego znaku na skali to wartość poprzedniego znaku pomnożona przez stałą.
P: Jaka jest korzyść z używania skali logarytmicznej?
O: Skala logarytmiczna może zredukować duży zakres wartości do łatwiejszego w zarządzaniu zakresu, co może być pomocne w przypadku danych obejmujących szeroki zakres wartości.
P: Co to jest prawo potęgowe Stevensa i jaki ma związek ze skalą logarytmiczną?
O: Prawo mocy Stevensa opisuje, w jaki sposób niektóre z naszych zmysłów działają w sposób logarytmiczny, gdzie mnożenie rzeczywistej siły wejściowej dodaje stałą do postrzeganej siły sygnału. To sprawia, że skale logarytmiczne dla tych wielkości wejściowych są szczególnie odpowiednie.
P: Dlaczego skala logarytmiczna jest szczególnie przydatna do pomiaru głośności dźwięku?
O: Nasz zmysł słuchu postrzega równe wielokrotności częstotliwości jako równe różnice w wysokości dźwięku, więc skala logarytmiczna może dokładnie reprezentować tę zależność między częstotliwością dźwięku a postrzeganą głośnością.
P: Jaki jest związek między małymi wielokrotnościami wielkości bazowej a miarą logarytmiczną w większości skal logarytmicznych?
O: W większości skal logarytmicznych małe wielokrotności (lub proporcje) wielkości bazowej odpowiadają małym (ewentualnie ujemnym) wartościom miary logarytmicznej.
Powiązane artykuły
Autor
AlegsaOnline.com Skala logarytmiczna — definicja, zastosowania i przykłady Leandro Alegsa
URL: https://pl.alegsaonline.com/art/58854