Tutaj pokażemy pierwsze równanie, które dało podstawową ideę pokazaną później w zasadzie niepewności Heisenberga.
Przełomowy papier Heisenberga z 1925 roku nie używa i nawet nie wspomina o matrycach. Wielkim sukcesem Heisenberga był "schemat, który w zasadzie był w stanie jednoznacznie określić istotne właściwości fizyczne (częstotliwości i amplitudy przejścia)" promieniowania wodorowego.
Po tym jak Heisenberg napisał swój przełomowy artykuł, dał go jednemu ze swoich nauczycieli, aby się naprawił i pojechał na wakacje. Max Born był zdziwiony równaniami i równaniami nieprowadzącymi do pracy, które nawet Heisenberg uważał za problem. Po kilku dniach Born zdał sobie sprawę, że równania te są wskazówkami do wypisywania matryc. Macierze były nowe i dziwne, nawet dla ówczesnych matematyków, ale jak się z nimi matematykę robiło, było już wiadomo. On i kilka innych osób opracowało wszystko w formie macierzy, zanim Heisenberg wrócił z wolnego czasu, a w ciągu kilku miesięcy nowa mechanika kwantowa w formie macierzy dała im podstawę do napisania kolejnej pracy.
Max Born widział, że kiedy matryce reprezentujące pq i qp zostały obliczone, nie będą one równe. Heisenberg widział to samo już wcześniej, jeśli chodzi o jego oryginalny sposób pisania rzeczy, a Heisenberg mógł domyślić się tego, co było dla Borna prawie od razu oczywiste - że różnica między matrycami odpowiedzi dla pq i qp zawsze będzie się wiązała z dwoma czynnikami, które wynikały z oryginalnej matematyki Heisenberga: stała Plancka h i i, która jest pierwiastkiem kwadratowym z ujemnego. Tak więc sama idea tego, co Heisenberg wolał nazywać "zasadą nieokreśloności" (znaną zwykle jako zasada niepewności), ukrywała się w oryginalnych równaniach Heisenberga.
Heisenberg przyglądał się zmianom, które zachodzą w atomie, gdy elektron zmienia swój poziom energii i w ten sposób zbliża się do centrum swojego atomu lub oddala się od jego centrum, a zwłaszcza sytuacjom, w których elektron w dwóch krokach opada do niższego stanu energetycznego. Max Born wyjaśnił, jak wziął dziwną "recepturę" Heisenberga na znalezienie iloczynu C pewnej zmiany w atomie z poziomu energetycznego n na poziom energetyczny n-b, który polega na wzięciu sumy mnożenia jednej zmiany w czymś zwanym A (która może być, na przykład, częstotliwością jakiegoś fotonu) wytworzonej przez zmianę energii elektronu w atomie pomiędzy stanem energetycznym n a stanem energetycznym n-a) przez następną zmianę w czymś zwanym B (która może być, na przykład, amplitudą zmiany) wytworzoną przez inną zmianę stanu energetycznego z n-a na n-b):
C ( n , n - b ) = ∑ a A ( n , n - a ) B ( n - a , n - b ) {\i1}styk C(n,n-b)=\i0}suma _{a}^{\i1}, A(n,n-a)B(n-a,n-b)} 
i odkrył coś przełomowego:
Biorąc pod uwagę ...przykłady...[Heisenberg] znalazł tę regułę.... To było latem 1925 roku. Heisenberg...wziął urlop...i przekazał mi swoją pracę do publikacji ....
Zasada mnożenia Heisenberga nie zostawiła mi spokoju, a po tygodniu intensywnych przemyśleń i prób nagle przypomniałem sobie teorię....regułę do stanu kwantowego Heisenberga i stwierdziłem, że zgadza się ona na elementy przekątne. Łatwo było odgadnąć, jakie muszą być pozostałe elementy, a mianowicie zero; i od razu stanął przede mną dziwny wzór
Q P - P Q = i h 2 π {\i0} {\i1}styk stylistyczny {\i1}QP-PQ={\i0}frac {\i1}{\i1}pi }}}} 
[Symbol Q jest matrycą przemieszczenia, P jest matrycą pędu, i oznacza pierwiastek kwadratowy z ujemnego, a h jest stałą Plancka].
Później Heisenberg włożył swoje odkrycie w inną matematyczną formę:
Δ x Δ p ≥ ℏ 2 {\i1}Delta x\i0},\i0}Delta pgeq {\i1}frac {\i0}bar {\i1}(2)) 
(Specjalny symbol ℏ nazywany 
jest "h-bar" lub "zredukowana stała desek" i jest równy h 2. 
.)
Matematyka jest sposobem na opisanie tego, co dzieje się w realnym świecie. Można sobie wyobrazić, że łatwo byłoby uzyskać zarówno dokładną pozycję czegoś, jak i jego dokładną masę, ścieżkę i prędkość w tym samym czasie. Jednak w rzeczywistości musisz zrobić dwie rzeczy, aby uzyskać swoją odpowiedź. Jeśli mierzysz położenie i pęd pocisku, który utknął gdzieś w klifie wielkiej góry, to jest to prosta sprawa. Wydaje się, że góra nigdzie się nie wybiera, podobnie jak kula. Tak więc jego pozycja jest znana i jego prędkość wynosi 0, więc jego pęd również wynosi 0. Ale jeśli kula znajduje się gdzieś pomiędzy pistoletem a celem, to trudno będzie uzyskać jej pozycję w danym momencie. Najlepsze co możemy zrobić, to zrobić mu zdjęcie aparatem z bardzo szybką migawką. Jednak pojedyncze naciśnięcie spustu migawki da nam tylko jedną rzecz, pozycję kuli w czasie t. Aby uzyskać rozmach, możemy umieścić na drodze kuli blok parafiny i zmierzyć jak poruszał się blok parafiny, gdy zatrzymywał kulę. Albo, gdybyśmy znali masę kuli, moglibyśmy zrobić sekwencję dwóch zdjęć, obliczyć prędkość, znając różnicę między dwoma położeniami kuli i czasem między jej dwoma pojawieniami się. Jakkolwiek to zrobimy, musimy zmierzyć masę oraz pozycję i czas pomiędzy pojawieniami się pocisku. Ostatecznie dokonujemy co najmniej dwóch pomiarów, aby uzyskać x i p. W tym przypadku musimy wybrać, który pomiar wykonać pierwszy, a który drugi. Wydaje się, że nie ma różnicy, w jakiej kolejności dokonuje się naszych pomiarów. Pomiar masy pocisku, a następnie dwukrotny pomiar jego położenia, lub dwukrotny pomiar położenia pocisku, a następnie odzyskanie pocisku i pomiar jego masy nie zrobiłyby żadnej różnicy, czyż nie? Przecież nic nie zrobiliśmy z kulą przy jej ważeniu i fotografowaniu.
W bardzo małej skali, kiedy mierzymy coś jak elektron, jednak każdy pomiar coś z nim robi. Jeśli najpierw zmierzymy pozycję, to w tym procesie zmieniamy jego momencik. Jeśli najpierw zmierzymy pęd elektronu, to zmienimy jego położenie w procesie. Naszą nadzieją byłoby zmierzenie jednego z nich, a następnie zmierzenie drugiego zanim cokolwiek się zmieni, ale nasz pomiar sam w sobie powoduje zmianę, a najlepsze, co możemy mieć nadzieję zrobić, to zredukować do minimum energię, którą dostarczamy do elektronu mierząc go. Ta minimalna ilość energii ma stałą Plancka jako jeden z jej czynników.
