Szereg harmoniczny — definicja i dowód rozbieżności

O tym, że serie harmoniczne są rozbieżne, po raz pierwszy udowodniła to Nicole Oresme w XIV wieku, ale o tym zapomniała. Dowody zostały podane w XVII wieku przez Pietro Mengoli, Johanna Bernoulli i Jacoba Bernoulli.

Sekwencje harmoniczne zostały wykorzystane przez architektów. W okresie baroku architekci wykorzystywali je w proporcjach rzutów kondygnacji, elewacji oraz w relacjach między detalami architektonicznymi kościołów i pałaców.

Istnieje kilka znanych dowodów na rozbieżność serii harmonicznych. Kilka z nich podano poniżej.

Test porównawczy

Jednym ze sposobów na udowodnienie rozbieżności jest porównanie serii harmonicznych z innymi rozbieżnymi seriami, w których każdy mianownik jest zastępowany przez następny co do wielkości moc dwóch:

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + ⋯ ≥ 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + ⋯ {\i1}styk stylistyczny {\i1}&{}1+{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}+{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}+{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}+{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}+{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}&1+{frac {1}{2}+{frac {1}{color {czerwony}{mathbf {4} {y:i}++frac {1}{4}+frac {1}{color {czerwony}{mathbf {8}   {y:i}++frac {1}{8}+frac {1}{color {czerwony}{mathbf {16} {y:i}+cdots {y:i}end {y:i}alignededed}

Każdy termin szeregu harmonicznego jest większy lub równy odpowiadającemu mu terminowi drugiego szeregu, a zatem suma szeregów harmonicznych musi być większa lub równa sumie terminów drugiego szeregu. Suma drugich szeregów jest jednak nieskończona:

1 + ( 1 2 ) + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + ( 1 16 + ⋯ + 1 16 ) + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ = ∞ {\i1+ \i1+ \i1+ lewa(frac {\i0}{\i1}prawda)\i0+lewa(frac {\i0}{\i1})!+\W prawo! W lewo!+\W porządku, lewa strona!{frac {1}{16} {cdots} {y:i}&1+{frac {1}{2}+{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}{frac {2}{cdots}+{frac {1}{2}{cdots}{cdots}{infract {1}{\i1}

Wynika z tego (poprzez test porównawczy), że suma szeregów harmonicznych musi być również nieskończona. Dokładniej mówiąc, powyższe porównanie dowodzi, że

∑ n = 1 2 k 1 n ≥ 1 + k 2 {\i1} {\i1} {\i1}^{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}frac {\i1}{\i1}}geq 1+{\i1}frac {\i1}{\i1}}

dla każdej dodatniej liczby całkowitej k.

Dowód ten, zaproponowany przez Nicole Oresme około 1350 roku, uważany jest za wysoki punkt w matematyce średniowiecznej. Do dziś jest to standardowy dowód nauczany na lekcjach matematyki.

Test integralny

Można udowodnić, że szeregi harmoniczne różnią się od siebie poprzez porównanie ich sumy z niewłaściwą całką. Należy zwrócić uwagę na układ prostokątów pokazany na rysunku po prawej stronie. Każdy z prostokątów ma 1 jednostkę szerokości i 1/n jednostek wysokości, a więc całkowita powierzchnia nieskończonej liczby prostokątów jest sumą szeregów harmonicznych:

Całkowita powierzchnia pod krzywą y = 1/x od 1 do nieskończoności jest podana przez rozbieżną, niewłaściwą całkę:

obszar pod krzywą = ∫ 1 ∞ 1 x d x = ∞ .  }

Ponieważ obszar ten w całości mieści się w obrębie prostokątów, łączna powierzchnia prostokątów musi być również nieskończona. Dowodzi to, że

∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 1 x d x = ln ( k + 1 ) . {\i1}Displaystyle \i1}{\i1}^{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}, dx=ln(k+1). }

Uogólnienie tego argumentu znane jest jako test integralny.

Serie harmoniczne rozchodzą się bardzo powoli. Na przykład, suma pierwszych ¹⁰⁴³ terminów wynosi mniej niż 100. Dzieje się tak, ponieważ częściowe sumy szeregów mają wzrost logarytmiczny. W szczególności,

∑ n = 1 k 1 n = ln k + γ + ε k ≤ ( ln k ) + 1 {\i1}styk stylistyczny _{n=1}^{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}= ln k+gamma +\i0}varepsilon _{\i0}leq (ln k)+1}

gdzie γ jest stałą Eulera-Mascheroniego, a εk ~ 1/2k, która zbliża się do 0 jak k idzie w nieskończoność. Leonhard Euler udowodnił zarówno to, jak i to, że suma, która zawiera tylko odwrotności pierwiastków pierwotnych również się różni, czyli:

∑ p prime 1 p = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + 1 17 + ⋯ = ∞ .  }

Skończone częściowe sumy rozbieżnych serii harmonicznych,

H n = ∑ k = 1 n 1 k , {\i1}==sum _{k=1}^{\i1}{\i1}frac {\i1}{\i1},}

są nazywane numerami harmonicznymi.

Różnica między Hn i ln n zbiega się ze stałą Euler-Mascheroni. Różnica pomiędzy dwoma dowolnymi liczbami harmonicznymi nigdy nie jest liczbą całkowitą. Żadne liczby harmoniczne nie są liczbami całkowitymi, z wyjątkiem H1 = 1.

Zmienne szeregi harmoniczne

Seria

znana jest jako naprzemienna seria harmoniczna. Seria ta jest zbieżna w teście serii naprzemiennych harmonicznych. W szczególności, suma jest równa logarytmowi naturalnemu 2:

1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ = ln 2.

Zmienna seria harmoniczna, podczas gdy warunkowo zbieżna, nie jest absolutnie zbieżna: jeśli terminy w serii są systematycznie zmieniane, w ogóle suma staje się inna i, w zależności od zmiany układu, może nawet nieskończona.

Wzór na zmienne szeregi harmoniczne jest specjalnym przypadkiem serii Mercator, serii Taylor dla logarytmu naturalnego.

Powiązana seria może być wyprowadzona z serii Taylora dla arktangantu:

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + ⋯ = π 4 . {\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1} }

To jest znane jako seria Leibniza.

Ogólne serie harmoniczne

Ogólna seria harmoniczna jest w formie

∑ n = 0 ∞ 1 a n + b , {\i0}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1},}

gdzie a ≠ 0 i b są liczbami rzeczywistymi, a b/a nie jest zerem lub liczbą całkowitą ujemną.

Poprzez test porównawczy z seriami harmonicznymi, wszystkie ogólne serie harmoniczne również się różnią.

p-seria

Uogólnienie serii harmonicznych to seria p (lub seria hiperharmoniczna), zdefiniowana jako

∑ n = 1 ∞ 1 n p {\i1} {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}frac {\i1}{\i1}{\i1}n^}}}}}

dla każdej liczby rzeczywistej p. Gdy p = 1, seria p jest serią harmoniczną, która jest rozbieżna. Test całkowania lub test kondensacji Cauchy'ego pokazuje, że seria p jest zbieżna dla wszystkich p > 1 (w tym przypadku nazywana jest serią nadharmoniczną) i różni się dla wszystkich p ≤ 1. Jeżeli p > 1, to suma szeregów p wynosi ζ(p), tzn. funkcja Riemanna zeta oceniona na p.

Problem znalezienia sumy dla p = 2 nazywany jest problemem bazylejskim; Leonhard Euler pokazał, że jest to π2/6. Wartość sumy dla p = 3 nazywana jest stałą Apéry'ego, ponieważ Roger Apéry udowodnił, że jest to liczba nieracjonalna.

ln-seria

W odniesieniu do serii p jest to seria ln, zdefiniowana jako

∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p {\i1}displaystyle \i0}sum _{n=2}^ {\i1}infrac {\i1}{n(\i0} n)^(p}}}})

dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej p. Można to wykazać testem integralnym, aby odbiegać od siebie dla p ≤ 1, ale zbiegać się dla wszystkich p > 1.

φ-seria

Dla każdej wypukłej, rzeczywistej funkcji φ takiej, że

lim {y:i}sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 , {y:i}displaystyle {y:i}limsup _{u`to 0^{+}{\i1}{\i1}frac {\i1}varphi {\i0}left(\i0}{\i1}{\i1}prawda){\i0} {\i1}, {\i1}

seriale

∑ n = 1 ∞ φ φ ( 1 n ) {\i1} {\i1} {\i1} {\i1} {\i1} {\i1} {\i1} {\i1} {\i1} {\i1} {\i1} {\i1} {\i1}varphi {\i1} {\i1}Lewy{\i1}

jest zbieżny. ^[]

Serie harmoniczne losowe

Losowa seria harmoniczna

∑ n = 1 ∞ s n n , {\i1} {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}

gdzie sn są niezależne, identycznie rozmieszczone zmienne losowe przyjmujące wartości +1 i -1 z równym prawdopodobieństwem 1/2, jest znanym przykładem w teorii prawdopodobieństwa dla serii zmiennych losowych, które zbiegają się z prawdopodobieństwem 1. Fakt tej zbieżności jest łatwą konsekwencją albo twierdzenia Kołmogorowa o trzech seriach, albo ściśle związanej z nim maksymalnej nierówności Kołmogorowa. Byron Schmuland z Uniwersytetu Alberta zbadał dalej właściwości serii harmonicznych losowych i wykazał, że seria zbieżna jest zmienną losową o kilku interesujących właściwościach. W szczególności funkcja gęstości prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej oceniana na +2 lub na -2 przyjmuje wartość 0,1249999999999999999999999999999999999999764..., różniącą się od 1/8 o mniej niż 10-42. Praca Schmulanda wyjaśnia, dlaczego to prawdopodobieństwo jest tak bliskie, ale nie do końca, 1/8. Dokładna wartość tego prawdopodobieństwa jest podana przez nieskończoną cosinusoidalną całkę produktu C2 podzieloną przez π.

Wyczerpane serie harmoniczne

Wyczerpany szereg harmoniczny, w którym wszystkie terminy, w których cyfra 9 pojawia się gdziekolwiek w mianowniku, są usunięte, może być pokazany jako zbieżny, a jego wartość jest mniejsza niż 80. W rzeczywistości, gdy wszystkie terminy zawierające dowolny ciąg cyfr (w dowolnej bazie) są usunięte, seria ta jest zbieżna.

Serie harmoniczne mogą być przeciwintuicyjne. Dzieje się tak dlatego, że jest to seria rozbieżna, mimo że warunki serii stają się mniejsze i idą w kierunku zera. Dywergencja szeregów harmonicznych jest źródłem pewnych paradoksów.

• "Robak na gumce". Załóżmy, że ślimak czołga się wzdłuż nieskończenie elastycznej jednometrowej gumki w tym samym czasie, gdy gumka jest równomiernie rozciągnięta. Jeśli ślimak porusza się z prędkością 1 centymetra na minutę, a taśma naciąga się z prędkością 1 metra na minutę, to czy ślimak kiedykolwiek dotrze do końca gumki? Odpowiedź, wbrew pozorom, brzmi "tak", ponieważ po n minutach stosunek odległości pokonanej przez ślimaka do całkowitej długości gumki wynosi

1 100 ∑ k = 1 n 1 k . {\i1}{\i1}{\i1}{C:$aaccff}{c:$aaccff}{\i1}{c:$aaccff}{\i1}{c:$aaccff}{\i1}{\i1}{\i1}. }

Ponieważ seria staje się arbitralnie duża, gdy n staje się większa, ostatecznie stosunek ten musi przekraczać 1, co oznacza, że ślimak osiąga koniec gumy. Jednak wartość n, przy której to następuje, musi być bardzo duża: około e100, czyli liczba przekraczająca ¹⁰⁴³ minuty (1037 lat). Mimo, że szeregi harmoniczne są rozbieżne, to jednak robią to bardzo powoli.

• Problem z Jeepem dotyczy tego, ile paliwa potrzeba do przejechania przez pustynię samochodu o ograniczonej ładowności, pozostawiając po sobie spadki paliwa na trasie. Odległość, jaką samochód może pokonać z daną ilością paliwa, jest związana z częściowymi sumami serii harmonicznych, które rosną logarytmicznie. I tak potrzebne paliwo rośnie wykładniczo wraz z wymaganą odległością.

• Problem układania blokowego: biorąc pod uwagę kolekcję identycznych domino, możliwe jest układanie ich na brzegu stołu tak, aby wisiały nad krawędzią stołu, nie spadając. Wbrew pozorom można je układać w taki sposób, aby zwisały na krawędzi stołu, nie spadając. To znaczy, pod warunkiem, że jest wystarczająco dużo domino.

• Pływak, który idzie szybciej za każdym razem, gdy dotykają ściany basenu. Pływak rozpoczyna przeprawę przez 10-metrowy basen z prędkością 2 m/s, a przy każdym przejściu dodawane są kolejne 2 m/s do prędkości. Teoretycznie prędkość pływaka jest nieograniczona, ale liczba przejazdów w basenie potrzebnych do osiągnięcia tej prędkości staje się bardzo duża; na przykład, aby dostać się do prędkości światła (ignorując szczególną względność), pływak musi przejść przez basen 150 milionów razy. W przeciwieństwie do tej dużej liczby, czas potrzebny do osiągnięcia danej prędkości zależy od sumy serii przy danej liczbie krzyżyków w basenie:

10 2 ∑ k = 1 n 1 k . {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{C:$aaccff}{c:$aaccff}{\i1}{c:$aaccff}{\i1}{c:$aaccff}{\i1}{\i1}.../ }

Obliczenie sumy pokazuje, że czas potrzebny do osiągnięcia prędkości światła wynosi tylko 97 sekund.

• Harmonijny postęp
• Wykaz kwot wzajemnych rozliczeń