Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) — definicja, wzór i przykłady

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) — jasna definicja, wzory i praktyczne przykłady dla rozkładów ciągłych. Zrozum probabilistykę krok po kroku.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest funkcją, która może być zdefiniowana dla każdego ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa. Całość funkcji gęstości prawdopodobieństwa w przedziale czasu [ a , b ] {\i1} daje prawdopodobieństwo, że dana zmienna losowa o danej gęstości jest zawarta w podanym przedziale czasu.

Definicja i podstawowe własności

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (oznaczana zwykle jako f(x) lub p(x)) opisuje rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej. Najważniejsze własności to:

• Nieujemność: f(x) ≥ 0 dla każdego x.
• Znormalizowanie: całka po całej dziedzinie wynosi 1: ∫_−∞^∞ f(x) dx = 1.
• Prawdopodobieństwo przedziału: prawdopodobieństwo, że zmienna X znajduje się w przedziale [a, b], obliczamy jako całkę P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx.
• Pojedynczy punkt: dla zmiennych ciągłych P(X = x) = 0 (wartość funkcji gęstości w punkcie nie jest bezpośrednio prawdopodobieństwem).

Relacja z funkcją dystrybuanty (CDF)

Funkcja dystrybuanty F(x) jest związana z gęstością przez wzór F(x) = P(X ≤ x) = ∫_−∞^x f(t) dt. Jeżeli F jest różniczkowalna, to f(x) = F′(x).

Przykłady wzorów

Przykłady często spotykanych funkcji gęstości:

• Rozkład jednostajny na [a, b]: f(x) = 1/(b − a) dla x ∈ [a, b], poza tym f(x) = 0. Dla takiego rozkładu P(x ∈ [c, d]) = (d − c)/(b − a).
• Rozkład normalny (Gaussa): f(x) = 1/(σ√(2π)) exp(−(x − μ)²/(2σ²)), gdzie μ to wartość oczekiwana, a σ² wariancja.

Obliczanie wartości oczekiwanej i wariancji

Wartość oczekiwana i wariancja wyraża się przez całki względem gęstości: E[X] = ∫_−∞^∞ x f(x) dx, Var(X) = ∫_−∞^∞ (x − E[X])² f(x) dx.

Przykłady i intuicja

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest konieczna, aby móc pracować z rozkładami ciągłymi. Dla porównania, Rzucanie kostką daje liczby od 1 do 6 z prawdopodobieństwem 1 6. To jest przypadek dyskretny — rozkład nie jest ciągły, ponieważ możliwe wyniki są skończone i odseparowane.

W przeciwieństwie do tego, dwie osoby rzadko będą miały dokładnie ten sam wzrost czy wagę — wartości te są praktycznie ciągłe. Używając funkcji gęstości prawdopodobieństwa, można określić prawdopodobieństwo, że wzrost osoby mieści się pomiędzy 180 cm a 181 cm, lub waga między 80 kg a 81 kg, mimo że pomiędzy tymi granicami jest nieskończenie wiele wartości. Aby policzyć takie prawdopodobieństwo, trzeba przyjąć model rozkładu (np. normalny) i obliczyć odpowiednią całkę.

Przykład prosty (rozkład jednostajny): jeśli przyjmujemy, że wzrost X jest równomiernie rozłożony na przedziale [150 cm, 200 cm], to f(x) = 1/50 dla x ∈ [150,200]. Wtedy P(180 ≤ X ≤ 181) = ∫₁₈₀¹⁸¹ (1/50) dx = 1/50 = 0,02 (czyli 2%).

Uwagi praktyczne

• Wartość f(x) sama w sobie nie jest prawdopodobieństwem — jest gęstością. Probabilistyczny sens mają całki z f(x) po przedziałach.
• W modelowaniu empirycznym dobór odpowiedniego rozkładu (np. normalny, log-normalny, wykładniczy) zależy od danych i testów dopasowania.
• Dla zmiennych mieszanych (cząstkowo dyskretnych i ciągłych) stosuje się kombinacje masy punktowej i gęstości.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest zatem podstawowym narzędziem w teorii prawdopodobieństwa i statystyce przy opisie zachowania zmiennych losowych o przebiegu ciągłym.

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest funkcja gęstości prawdopodobieństwa?

P: Jak zapisuje się funkcję gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X?

P: Co oznacza całka z funkcji gęstości prawdopodobieństwa?

P: Czy funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest zawsze nieujemna w całej swojej dziedzinie?

P: Czy całkowanie po przedziale sumuje się do 1?

P: Jaki rodzaj rozkładu charakteryzuje funkcja gęstości prawdopodobieństwa?

Szukaj według litery