Równania Maxwella

Równania Maxwella w postaciach klasycznych

Nazwa	Forma różnicowa	Forma integralna
Prawo Gaussa:		∮ S D ⋅ d A = ∫ V ρ ⋅ d V {{displaystyle \aint _{S}\mathbf {D} = ∫ S D ⋅ d A = ∫ V ρ ⋅ d V
Prawo Gaussa dla magnetyzmu (brak monopoli magnetycznych):	∇ ⋅ B = 0 {{displaystyle ⋅nabla ⋅cdot ⋅mathbf {B} =0}}	∮ S B ⋅ d A = 0 {{S} ∮ S B ⋅ d A = 0} \cdot d\mathbf {A} =0}
Prawo indukcji Faradaya:	∇ × E = - ∂ B ∂ t {{displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{frac {{partial \mathbf {B} }} {{partial t}}	∮ C E ⋅ d l - ∮ C B × v ⋅ d l = - d d t ∫ S B ⋅ d A {displaystyle }  \times \mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} }=-int _{S} \\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }
Prawo Ampère'a (z rozszerzeniem Maxwella):	∇ × H = J + ∂ D ∂ t {{displaystyle \nabla \times \mathbf {H} = \mathbf {J} +{frac {{partial \mathbf {D}} }} {{partial t}}	∮ C H ⋅ d l = ∫ S J ⋅ d A + ∫ S ∂ D ∂ t ⋅ d A ∮ C H ⋅ d l = ∫ S J ⋅ d A = ∫ S ∂ D ∂ t ⋅ d A \cdot d\mathbf {l} = \int _{S}\mathbf {J} +int _{C} \mathbf {A} +int _{S}{} =int _{S}{}partial \mathbf {D} {{partial t}} \cdot d\mathbf {A} }

gdzie w poniższej tabeli podano znaczenie każdego symbolu i jednostki miary w układzie SI:

Symbol	Znaczenie	Jednostka miary SI
E { {displaystyle \mathbf {E} }	pole elektryczne	wolt na metr
H { {displaystyle \mathbf {H} }	natężenie pola magnetycznego	amperów na metr
D { {displaystyle \\\\{D} }	pole elektryczne wypierające	coulomb na metr kwadratowy
B { {displaystyle \\\{B} }	gęstość strumienia magnetycznego zwana również indukcją magnetyczną.	tesla, lub równoważnie, weber na metr kwadratowy
ρ { {displaystyle \\\\\\\\ }	gęstość swobodnego ładunku elektrycznego, nie licząc ładunków dipolowych związanych w materiale.	coulomb na metr sześcienny
J { {displaystyle \\\\\{J} }	gęstość prądu swobodnego, nie licząc prądów polaryzacyjnych i magnetyzacyjnych związanych w materiale.	amperów na metr kwadratowy
d A {{displaystyle d{mathbf {A}} }	element różniczkowy wektorowy powierzchni A, o bardzo małej wielkości i kierunku normalnym do powierzchni S	metry kwadratowe
d V {displaystyle dV }	element różniczkowy o objętości V otoczony powierzchnią S	metry sześcienne
d l {{displaystyle d{mathbf {l}} }	element wektora różnicowego o długości ścieżki stycznej do konturu C zamykającego powierzchnię c	metry
v { {displaystyle \mathbf {v} }	prędkość chwilowa elementu liniowego d l {{displaystyle dmathbf {l}} } zdefiniowane powyżej (dla obwodów ruchomych).	metrów na sekundę

oraz

∇ ⋅ {displaystyle ∇ ∇ ∇ ⋅ jest operatorem dywergencji (jednostka SI: 1 na metr),

∇ × {displaystyle \nabla \times } jest operatorem krzywizny (jednostka SI: 1 na metr).

Znaczenie równań

Gęstość ładunku i pole elektryczne

 ,

gdzie ρ jest gęstością swobodnego ładunku elektrycznego (w jednostkach C/m3), nie licząc ładunków dipolowych związanych w materiale, a D {displaystyle \mathbf {D} } jest polem elektrycznym wypierającym (w jednostkach C/m2). To równanie jest jak prawo Coulomba dla nieporuszających się ładunków w próżni.

Kolejna postać całki (przez twierdzenie o dywergencji), znana również jako prawo Gaussa, mówi to samo:

∮ A D ⋅ d A = Q zamknięty {{displaystyle \\} =Q_{text{enclosed}}

d A {{displaystyle d{mathbf {A}} } jest polem kwadratu różniczkowego na zamkniętej powierzchni A. Normalna powierzchniowa skierowana na zewnątrz jest kierunkiem, a Q zamknięty {displaystyle Q_{text{enclosed}} jest ładunkiem swobodnym, który znajduje się wewnątrz powierzchni.

W materiale liniowym, D { {displaystyle \mathbf {D} } jest bezpośrednio związana z polem elektrycznym E {displaystyle \mathbf {E} } ze stałą zwaną przenikalnością, ε {displaystyle \varepsilon }. (stała ta jest różna dla różnych materiałów):

D = ε E { {displaystyle \mathbf {D} =varepsilon \mathbf {E} } .

Można udawać, że materiał jest liniowy, jeśli pole elektryczne nie jest bardzo silne.

Przenikalność swobodnej przestrzeni nazywana jest ε 0 {{displaystyle \varepsilon _{0}} i jest używana w tym równaniu:

∇ ⋅ E = ρ t ε 0 {displaystyle ⋅nabla ⋅mathbf {E} ={frac {{rho _{t}}{varepsilon _{0}}}}

Tutaj E {displaystyle \mathbf {E} } jest ponownie polem elektrycznym (w jednostkach V/m), ρ t { \displaystyle \rho _{t}} jest całkowitą gęstością ładunku (w tym ładunków związanych), a ε 0 { \displaystyle \varepsilon _{0}} (około 8.854 pF/m) jest przenikalnością wolnej przestrzeni. Można również zapisać ε {displaystyle \varepsilon }jako ε 0 ⋅ ε r {displaystyle \varepsilon _{0}} {cdot \varepsilon _{r}} . Tutaj ε r {displaystyle \varepsilon _{r}} jest przenikalnością materiału w porównaniu z przenikalnością wolnej przestrzeni. Nazywa się to względną przenikalnością lub stałą dielektryczną.

Patrz również równanie Poissona.

Struktura pola magnetycznego

∇ ⋅ B = 0 {{displaystyle ⋅nabla ⋅cdot ⋅mathbf {B} =0}}

B {{displaystyle \mathbf {B} } to gęstość strumienia magnetycznego (w jednostkach tesli, T), zwana również indukcją magnetyczną.

Ta następna forma całki mówi to samo:

∮ A B ⋅ d A = 0 {{displaystyle } \cdot d\mathbf {A} =0}

Pole powierzchni d A {{displaystyle d\mathbf {A} } jest polem powierzchni kwadratu różniczkowalnego na powierzchni A {displaystyle A} . Kierunek d A {displaystyle dmathbf {A} } jest normalną powierzchniową skierowaną na zewnątrz powierzchni A {{displaystyle A}} .

Równanie to działa tylko wtedy, gdy całka jest wykonywana na zamkniętej powierzchni. Równanie to mówi, że w każdej objętości suma linii pola magnetycznego wchodzących równa się sumie linii pola magnetycznego wychodzących. Oznacza to, że linie pola magnetycznego muszą być zamkniętymi pętlami. Innym sposobem powiedzenia tego jest to, że linie pola nie mogą zaczynać się od jakiegoś miejsca. Jest to matematyczny sposób powiedzenia: "Nie ma monopoli magnetycznych".

Zmieniający się strumień magnetyczny i pole elektryczne

∇ × E = - ∂ B ∂ t {{displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{frac {{partial \mathbf {B} }} {{partial t}}

Ta następna forma całki mówi to samo:

∮ s E ⋅ d s = - d Φ B d t {{displaystyle \aint _{s} \mathbf {{E}} \cdot d\mathbf {s} =-{{frac {dPhi _{mathbf {B} }}{dt}}

Tutaj Φ B = ∫ A B ⋅ d A {displaystyle \Phi _{mathbf {B} }=int _{A} \mathbf {B} \przykład d\mathbf {A} }

To właśnie oznaczają te symbole:

ΦB jest strumieniem magnetycznym, który przechodzi przez obszar A, który opisuje drugie równanie,

E jest polem elektrycznym, które wywołuje strumień magnetyczny,

s to zamknięta droga, w której indukuje się prąd, np. przewód,

v jest prędkością chwilową elementu linii (dla obwodów ruchomych).

Siła elektromotoryczna jest równa wartości tej całki. Czasami ten symbol jest używany dla siły elektromotorycznej: E {{mathcal {E}} , nie należy go mylić z symbolem przenikalności, który był używany wcześniej.

To prawo jest jak prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya.

Niektóre podręczniki pokazują prawy znak postaci całkowej z literą N (N jest liczbą zwojów drutu, które są wokół krawędzi A) przed pochodną strumienia. O N można zadbać przy obliczaniu A (wiele zwojów drutu oznacza wiele powierzchni, przez które przechodzi strumień), ale jest to szczegół inżynierski, więc tutaj go pominięto.

Ujemny znak jest potrzebny do zachowania energii. Jest to tak ważne, że ma nawet swoją własną nazwę, prawo Lenza.

To równanie pokazuje jak pola elektryczne i magnetyczne mają się do siebie. Na przykład, to równanie wyjaśnia, jak działają silniki elektryczne i generatory elektryczne. W silniku lub generatorze, obwód polowy ma stałe pole elektryczne, które powoduje powstanie pola magnetycznego. Nazywa się to stałym wzbudzeniem. Zmieniające się napięcie jest mierzone w obwodzie twornika. Równania Maxwella są używane w prawoskrętnym układzie współrzędnych. Aby użyć ich w układzie lewoskrętnym, bez konieczności zmiany równań, biegunowość pól magnetycznych musi być odwrotna (nie jest to błędne, ale jest mylące, ponieważ zazwyczaj nie robi się tego w ten sposób).

Źródło pola magnetycznego

∇ × H = J + ∂ D ∂ t {{displaystyle \nabla \times \mathbf {H} = \mathbf {J} +{frac {{partial \mathbf {D}} }} {{partial t}}

H to natężenie pola magnetycznego (w jednostkach A/m), które można uzyskać dzieląc strumień magnetyczny B przez stałą zwaną przenikalnością, μ (B = μH), a J to gęstość prądu, określona przez:

J = ∫ρqvdA

v jest polem wektorowym zwanym prędkością dryfu. Opisuje ono prędkości nośników ładunku, które mają gęstość opisaną funkcją skalarną ρq.

W wolnej przestrzeni przenikalność μ jest przenikalnością wolnej przestrzeni μ0, która z definicji wynosi dokładnie 4π×10-7 W/A-m. Również przenikalność jest przenikalnością wolnej przestrzeni ε0. Zatem w wolnej przestrzeni równanie brzmi:

∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {{displaystyle \nabla \times \mathbf {B} = \mu _{0} \mathbf {J} + +mu _{0}varepsilon _{0}{}frac {{partial \mathbf {E} {{partial t}}

Następna forma całki mówi to samo:

∮ s B ⋅ d s = μ 0 I encircled + μ 0 ε 0 ∫ A ∂ E ∂ t ⋅ d A \cdot d\mathbf {s} = \mu _{0}I_{text{encircled}}+ \mu _{0}varepsilon _{0}\int _{A}{\frac {{partial \mathbf {E} {{partial t}}}{frac {partial \partial d\mathbf {A} }

s jest krawędzią powierzchni otwartej A (dowolna powierzchnia, której krawędzią jest krzywa s, jest tutaj w porządku), a Iencircled jest prądem otoczonym przez krzywą s (prąd płynący przez dowolną powierzchnię jest określony równaniem: Ithrough _A = ∫AJ-dA).

Jeśli gęstość strumienia elektrycznego nie zmienia się bardzo szybko, drugi człon po prawej stronie (strumień wyporu) jest bardzo mały i można go pominąć, a wtedy równanie jest takie samo jak prawo Ampere'a.

Formuła kowariantna

Istnieją tylko dwa kowariantne równania Maxwella, ponieważ wektor pola kowariantnego zawiera pole elektryczne i magnetyczne.

Uwaga matematyczna: W tym rozdziale będzie stosowana notacja indeksu abstrakcyjnego.

W szczególnej teorii względności równania Maxwella dla próżni są zapisane w postaci "jawnie kowariantnej" w postaci czterowektorów i tensorów. Zostało to zrobione, aby wyraźniej pokazać fakt, że równania Maxwella (w próżni) mają taką samą postać w dowolnym inercjalnym układzie współrzędnych. Jest to postać "jawnie kowariantna":

J b = ∂ a F a b {{displaystyle J^{b}= ∂ a F^{ab}} } } ,

oraz

0 = ∂ c F a b + ∂ b F c a + ∂ a F b c {{displaystyle 0= ∂partial _{c}F_{ab}+ ∂partial _{b}F_{ca}+ ∂partial _{a}F_{bc}}

Drugie równanie jest takie samo jak:

0 = ε d a b c ∂ a F b c {displaystyle 0=varepsilon _{dabc}}partial ^{a}F^{bc}}},} }

Tutaj J a {{displaystyle ^{a}} to prąd 4, F a b {{displaystyle ^{ab}} to tensor natężenia pola (zapisany jako macierz 4 × 4), ε a b c d {{displaystyle ^{abcd}} to symbol Leviego-Civity, a ∂ a = ( ∂ / ∂ c t , ∇ ) {displaystyle ∂partial _{a}=(∂ / ∂partial ct ,∂nabla )} jest 4-gradientem (tak więc ∂ a ∂ a {displaystyle ∂ ∂partial ^{a}} jest operatorem d'Alemberta). (a} w pierwszym równaniu jest domyślnie zsumowane, zgodnie z notacją Einsteina). Pierwsze równanie tensorowe mówi to samo, co dwa niejednorodne równania Maxwella: Prawo Gaussa i Prawo Ampere'a z poprawką Maxwella. Drugie równanie mówi to samo, co pozostałe dwa równania, czyli równania jednorodne: Prawo indukcji Faradaya i brak monopoli magnetycznych.

J a {styl J^{a}} może być również opisany bardziej jednoznacznie przez to równanie: J a = ( c ρ , J → ) { {displaystyle J^{a}}=,(c ρrho ,{vec {J}})} (jako wektor kontrawariantny), gdzie J a {displaystyle ^{a}} otrzymujemy z gęstości ładunku ρ i gęstości prądu J → {displaystyle {{vec {J}}}. . Prąd 4 jest rozwiązaniem równania ciągłości:

J a , a = 0 {{displaystyle J^{a}{}_{,a}} =0}.

W ujęciu 4-potencjału (jako wektora kontrawariantnego) A a = ( ϕ , A → c ) {displaystyle A^{a}=left(∂phi ,{{vec {A}}c}right)} gdzie φ jest potencjałem elektrycznym, a A → {displaystyle {{A}} jest magnetycznym potencjałem wektorowym w mirze Lorentza ( ∂ a A a = 0 ) {displaystyle \left(\partial _{a}A^{a}=0\right)} , F może być zapisany jako:

F a b = ∂ b A a - ∂ a A b { {displaystyle F^{ab}= ^{b}A^{a}- ^{a}A^{b}} } }

co prowadzi do uzyskania tensora rangi 2 macierzy 4 × 4:

F a b = ( 0 - E x c - E y c - E z c E x c 0 - B z B y E y c B z 0 - B x E z c - B y B x 0 ) . Displaystyle F^{ab}=left({{begin{matrix}0&-{frac {E_{x}}{c}}&-{frac {E_{y}}{c}}&-{frac {E_{z}}{c}}}&.0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right). }

Fakt, że zarówno pole elektryczne, jak i magnetyczne są połączone w jeden tensor pokazuje, że zgodnie z relatywistyką oba te pola są różnymi częściami tej samej rzeczy - przy zmianie ram odniesienia to, co wygląda jak pole elektryczne w jednej ramie, może wyglądać jak pole magnetyczne w innej ramie i na odwrót.

Korzystając z tensorowej postaci równań Maxwella, z pierwszego równania wynika, że

◻ F a b = 0 {{displaystyle \Box F^{ab}=0} (Patrz Czteropotencjał elektromagnetyczny dla związku między d'Alembertianem czteropotencjału i czteroprądem, wyrażonym w starszej notacji operatora wektorowego).

Różni autorzy czasami używają różnych konwencji znakowych dla tych tensorów i 4-wektorów (ale to nie zmienia ich znaczenia).

F a b {{ab}} i F a b {{ab}} nie są tożsame: są one związane tensorem metrycznym Minkowskiego η {{ab}} : F a b = η a c η b d F c d {{ab}} = η a c η b d F c d {{ab}} = η a c η b d F c d {{ab} = η a c η b d F c d {{bd} F^{cd}}. . Zmienia to znak niektórych składowych F; bardziej złożone dualności metryczne można zaobserwować w ogólnej teorii względności.