Geometria algebraiczna
Geometria algebraiczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem równań wielomianowych. Współczesna geometria algebraiczna opiera się na bardziej abstrakcyjnych technikach algebry abstrakcyjnej, zwłaszcza komutatywnej, z językiem i problemami geometrii.
Głównymi obiektami badań w geometrii algebraicznej są odmiany algebraiczne, które są geometrycznymi manifestacjami zbiorów rozwiązań układów równań wielomianowych. Przykładami najczęściej badanych klas odmian algebraicznych są: krzywe płaskie algebraiczne, na które składają się linie, koła, parabole, elipsy, hiperbola, krzywe sześcienne jak elipsy i krzywe kwartalne jak lemniscenty oraz owal Cassiniego. Punkt płaszczyzny należy do krzywej algebraicznej, jeżeli jego współrzędne odpowiadają danemu równaniu wielomianowemu. Podstawowe pytania dotyczą badania punktów o szczególnym znaczeniu, takich jak punkty pojedyncze, punkty przegięcia i punkty w nieskończoności. Bardziej zaawansowane pytania dotyczą topologii krzywej i relacji między krzywymi podawanymi przez różne równania.
Geometria algebraiczna zajmuje centralne miejsce we współczesnej matematyce. Stosowane przez nią pojęcia łączą ją z tak różnorodnymi dziedzinami jak analiza złożona, topologia i teoria liczb. Na początku geometria algebraiczna polegała na badaniu układów równań wielomianowych w kilku zmiennych. Geometria algebraiczna zaczyna się w momencie, w którym rozwiązywanie równań kończy się: W wielu przypadkach, znalezienie właściwości wszystkich rozwiązań danego zbioru równań jest ważniejsze od znalezienia konkretnego rozwiązania: prowadzi to do najgłębszych obszarów we wszystkich dziedzinach matematyki, zarówno koncepcyjnie jak i technicznie.
W XX wieku geometria algebraiczna została podzielona na kilka podobszarów.
- Główny nurt geometrii algebraicznej poświęcony jest badaniu złożonych punktów odmian algebraicznych, a ogólniej punktów o współrzędnych w algebraicznie zamkniętym polu.
- Badanie punktów odmiany algebraicznej o współrzędnych w polu liczb racjonalnych lub w polu liczb stało się geometrią arytmetyczną (lub bardziej klasyczną geometrią diofantynową), podpolem algebraicznej teorii liczb.
- Badanie rzeczywistych punktów odmiany algebraicznej jest przedmiotem rzeczywistej geometrii algebraicznej.
- Duża część teorii osobliwości jest poświęcona osobliwości odmian algebraicznych.
- Kiedy komputery stały się bardziej powszechne, rozwinęła się dziedzina zwana "algebraiczną geomerią obliczeniową". Przygląda się ono skrzyżowaniu geometrii algebraicznej i algebry komputerowej. Zajmuje się tworzeniem algorytmów i oprogramowania do badania i znajdowania właściwości wyraźnie określonych odmian algebraicznych.
Duża część rozwoju głównego nurtu geometrii algebraicznej w XX wieku przebiegała w abstrakcyjnych ramach algebraicznych, przy czym coraz większy nacisk kładziono na "nieodłączne" właściwości odmian algebraicznych, które nie są zależne od konkretnego sposobu osadzenia odmiany w przestrzeni współrzędnych otoczenia. W podobny sposób kształtowały się topologia, geometria różnicowa i złożona. Jednym z kluczowych osiągnięć tej abstrakcyjnej geometrii algebraicznej jest teoria schematu Grothendiecka, która pozwala na wykorzystanie teorii snopów do badania odmian algebraicznych w sposób bardzo podobny do jej wykorzystania w badaniach kolektorów różnicowych i analitycznych. Uzyskuje się to poprzez rozszerzenie pojęcia punktu: w klasycznej geometrii algebraicznej punkt odmiany afinicznej może być zidentyfikowany, poprzez Nullstellensatz Hilberta, z maksymalnym ideałem pierścienia współrzędnych, podczas gdy wszystkie punkty odpowiedniego schematu afinicznego są głównymi ideałami tego pierścienia. Oznacza to, że punkt takiego schematu może być albo zwykłym punktem, albo odmianą. Podejście to umożliwia również unifikację języka i narzędzi klasycznej geometrii algebraicznej, dotyczącej głównie punktów złożonych, oraz algebraicznej teorii liczb. Przykładem siły tego podejścia jest dowód Wiles'a na to, że ostatnie twierdzenie Fermata, które od dawna jest znane.
Ta powierzchnia Togliatti jest algebraiczną powierzchnią piątego stopnia. Obrazek przedstawia część jej prawdziwego locusu
Pytania i odpowiedzi
P: Co to jest geometria algebraiczna?
A: Geometria algebraiczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem równań wielomianowych.
P: Jakie techniki są stosowane w nowoczesnej geometrii algebraicznej?
O: Nowoczesna geometria algebraiczna wykorzystuje bardziej abstrakcyjne techniki z algebry abstrakcyjnej, takie jak algebra komutacyjna, aby zająć się językiem i problemami geometrii.
P: Jakiego typu równania bada geometria algebraiczna?
O: Geometria algebraiczna bada równania wielomianowe.
P: Jak wykorzystuje się w niej algebrę abstrakcyjną?
O: Wykorzystuje algebrę abstrakcyjną, w szczególności algebrę komutacyjną, aby zrozumieć język i problemy związane z geometrią.
P: Czy jest jakiś szczególny rodzaj języka używany w tej dziedzinie?
O: Tak, nowoczesna geometria algebraiczna używa języka i problemów związanych z geometrią.
P: Jak nowoczesna technologia wpłynęła na tę dziedzinę?
O: Nowoczesna technologia pozwoliła na zastosowanie bardziej zaawansowanych technik z algebry abstrakcyjnej do badania równań wielomianowych w tej dziedzinie.
