Rozmaitość algebraiczna
W matematyce odmiany algebraiczne (zwane też odmianami) są jednym z centralnych przedmiotów badań w geometrii algebraicznej. Pierwsze definicje odmiany algebraicznej definiowały ją jako zbiór rozwiązań układu równań wielomianowych, nad liczbami rzeczywistymi lub złożonymi. Współczesne definicje odmiany algebraicznej uogólniają to pojęcie, starając się jednocześnie zachować intuicję geometryczną stojącą za pierwotną definicją.
Konwencje dotyczące definicji odmiany algebraicznej różnią się od siebie: Niektórzy autorzy wymagają, aby "odmiana algebraiczna" była z definicji nieredukowalna (co oznacza, że nie jest to związek dwóch mniejszych zbiorów zamkniętych w topologii Zariskiego), podczas gdy inni nie. Gdy stosuje się tę pierwszą konwencję, nieredukowalne odmiany algebraiczne nazywane są zbiorami algebraicznymi.
Pojęcie odmiany jest podobne do pojęcia rozmaitości. Jedną z różnic między odmianą a kolektorem jest to, że odmiana może mieć pojedyncze punkty, podczas gdy kolektor nie będzie. Udowodnione około roku 1800, podstawowe twierdzenie algebry ustanawia związek między algebrą i geometrią, pokazując, że wielomian moniczny w jednej zmiennej o złożonych współczynnikach (obiekt algebraiczny) jest zdeterminowany przez zbiór jej korzeni (obiekt geometryczny). Uogólniając ten wynik, Nullstellensatz Hilberta zapewnia fundamentalną zgodność między ideałami wielomianowych pierścieni i zbiorów algebraicznych. Wykorzystując Nullstellensatz i związane z nim wyniki, matematycy ustalili silną zgodność między pytaniami dotyczącymi zbiorów algebraicznych a pytaniami dotyczącymi teorii pierścieni. Korespondencja ta jest specyfiką geometrii algebraicznej wśród innych podobszarów geometrii.
Skręcony sześcienny to rzutowa odmiana algebraiczna.
Pytania i odpowiedzi
P: Co to są odmiany algebraiczne?
O: Odmiany algebraiczne są jednym z centralnych obiektów badań w geometrii algebraicznej. Definiuje się je jako zbiór rozwiązań układu równań wielomianowych, nad liczbami rzeczywistymi lub złożonymi.
P: Czym się różnią współczesne definicje od pierwotnych?
O: Współczesne definicje starają się zachować intuicję geometryczną stojącą za oryginalną definicją, jednocześnie ją uogólniając. Niektórzy autorzy wymagają, aby "rozmaitość algebraiczna" była z definicji nieredukowalna (co oznacza, że nie jest związkiem dwóch mniejszych zbiorów zamkniętych w topologii Zariskiego), inni zaś nie.
P: Jaka jest jedna różnica między rozmaitością a rozmaitością?
O: Różnorodność może mieć punkty szczególne, podczas gdy rozmaitość nie.
P: Co oznacza podstawowe twierdzenie algebry?
O: Podstawowe twierdzenie algebry ustanawia związek między algebrą a geometrią, pokazując, że wielomian moniczny jednej zmiennej o współczynnikach złożonych (obiekt algebraiczny) jest określony przez zbiór jego korzeni (obiekt geometryczny).
P: Co zapewnia Nullstellensatz Hilberta?
O: Nullstellensatz Hilberta zapewnia podstawową zgodność między ideałami pierścieni wielomianowych i zbiorami algebraicznymi.
P: W jaki sposób matematycy wykorzystali tę zależność?
O: Za pomocą tej korespondencji matematycy ustalili silną zgodność między pytaniami dotyczącymi zbiorów algebraicznych a pytaniami z zakresu teorii pierścieni.
P: Co sprawia, że ten obszar jest wyjątkowy wśród innych obszarów geometrii? O: Silna zgodność między pytaniami dotyczącymi zbiorów algebraicznych a pytaniami dotyczącymi teorii pierścieni sprawia, że ta dziedzina jest wyjątkowa wśród innych dziedzin geometrii.
