Równoległościan — definicja, rodzaje i własności (sześcian, prostopadłościan)

Właściwości

Każda z trzech par równoległych ścian może być postrzegana jako płaszczyzna podstawy graniastosłupa. Graniastosłup równoległoboczny ma trzy zestawy czterech równoległych krawędzi; krawędzie w każdym zestawie są równej długości.

Równoległoboki wynikają z przekształceń liniowych sześcianu (dla przypadków niezdegenerowanych: przekształceń liniowych bijektywnych).

Ponieważ każda ściana ma symetrię punktową, równoległościan jest zonohedronem. Również cały równoległościan ma symetrię punktową _Ci (zobacz też triclinic). Każda ściana jest, patrząc z zewnątrz, lustrzanym odbiciem przeciwległej ściany. Ściany są w ogóle chiralne, ale równoległościan nie jest.

Teselacja wypełniająca przestrzeń jest możliwa z przystającymi kopiami dowolnego równoległościanu.

Tom

Objętość równoległoboku jest iloczynem pola podstawy A i wysokości h. Podstawą jest dowolna z sześciu ścian równoległoboku. Wysokość to odległość prostopadła między podstawą a przeciwległą ścianą.

Alternatywna metoda definiuje wektory a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) i c = (c1, c2, c3) jako trzy krawędzie, które spotykają się w jednym wierzchołku. Objętość równoległościanu jest więc równa wartości bezwzględnej skalarnego iloczynu potrójnego a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {displaystyle V=left|mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ) \right|=left|mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Jest to prawdą, ponieważ jeśli wybierzemy b i c jako krawędzie podstawy, to pole podstawy jest z definicji iloczynem krzyżowym (zobacz geometryczne znaczenie iloczynu krzyżowego),

A = | b | c | sin θ = | b × c | , {displaystyle A= lewa strona|mathbf {b} \right|left|mathbf {c} \right|sin \theta = \left|mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

gdzie θ jest kątem między b i c, a wysokość wynosi

h = | a | cos α , {displaystyle h=left|mathbf {a} \prawo|cos \alpha ,}

gdzie α jest kątem wewnętrznym między a i h.

Z rysunku można wywnioskować, że wielkość α jest ograniczona do 0° ≤ α < 90°. Przeciwnie, wektor b × c może tworzyć z a kąt wewnętrzny β większy niż 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Mianowicie, ponieważ b × c jest równoległy do h, wartość β jest albo β = α, albo β = 180° - α. Zatem

cos α = ± cos β = | cos β | , {{displaystyle \cos \alpha = \pm \cos \beta = \left||cos \beta \right|,}

oraz

h = | a | | cos β | . {displaystyle h= lewa strona|mathbf {a} ™right|lewa strona|cos ™beta ™right|. }

Stwierdzamy, że

V = A h = | a | b × c | | cos β | , {displaystyle V=Ah= \left|mathbf {a} \right|left|mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|left|cos \beta \right|,}

który z definicji iloczynu skalarnego (lub punktowego) jest równoważny wartości bezwzględnej a - (b × c), Q.E.D.

To ostatnie wyrażenie jest również równoważne wartości bezwzględnej wyznacznika macierzy trójwymiarowej zbudowanej z a, b i c jako wierszy (lub kolumn):

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Znajduje się to przy użyciu Reguły Cramera na trzech zredukowanych dwuwymiarowych macierzach znalezionych z oryginału.

Jeżeli a, b i c są długościami krawędzi równoległoboku, a α, β i γ są kątami wewnętrznymi między krawędziami, to objętość wynosi

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . V=abc{sqrt {1+2 cos(alfa )- cos(βeta )- cos(gamma )- cos ^{2}(alfa )- cos ^{2}(β )- cos ^{2}(gamma )- cos ^{2}(β )} }

Odpowiadający czworościan foremny

Objętość każdego czworościanu foremnego, który ma trzy zbieżne krawędzie równoległościanu, jest równa jednej szóstej objętości tego równoległościanu (zobacz dowód).

Przypadki szczególne

Dla równoległoboków z płaszczyzną symetrii istnieją dwa przypadki:

• ma cztery prostokątne ściany
• ma dwie ściany rombowe, a z pozostałych ścian dwie sąsiednie są równe i dwie pozostałe również (te dwie pary są swoimi lustrzanymi odbiciami).

Patrz również monokliniczny.

Prostopadłościan, zwany także prostokątnym równoległościanem lub czasem po prostu prostopadłościanem, jest równoległościanem, którego wszystkie ściany są prostokątne; sześcian jest prostopadłościanem o kwadratowych ścianach.

Romboedr to równoległościan o wszystkich rombowych ścianach; trapez trójkątny to romboedr o przystających rombowych ścianach.

Idealny równoległobok

Idealny równoległościan to równoległościan z krawędziami o całkowitej długości, przekątnymi ścian i przekątnymi przestrzeni. W 2009 roku wykazano istnienie kilkudziesięciu doskonałych równoległościanów, co było odpowiedzią na otwarte pytanie Richarda Guya. Jeden z przykładów ma krawędzie 271, 106 i 103, mniejsze przekątne 101, 266 i 255, większe przekątne 183, 312 i 323 oraz przekątne przestrzenne 374, 300, 278 i 272.

Znane są pewne idealne równoległoboki o dwóch prostokątnych ścianach. Nie wiadomo jednak, czy istnieją takie, których wszystkie ściany są prostokątne; taki przypadek nazywamy doskonałym prostopadłościanem.

Parallelotope

Coxeter uogólnienie równoległościanu w wyższych wymiarach nazwał równoległościanem.

W szczególności w przestrzeni n-wymiarowej nazywa się ją n-wymiarowym równoległobokiem, lub po prostu n-równoległobokiem. Tak więc równoległobok jest 2-paralelotopem, a równoległobok jest 3-paralelotopem.

Ogólniej, równoległościan, lub równoległościan voronoi, ma równoległe i przystające przeciwległe ściany. Tak więc 2-paralelotop jest równoległobokiem, który może również zawierać pewne sześciokąty, a 3-paralelotop jest równoległościanem, w tym 5 rodzajów wielościanów.

Przekątne n-równoległoboku przecinają się w jednym punkcie i są przez ten punkt symetryczne. Inwersja w tym punkcie pozostawia n-równoległobok niezmienionym. Zobacz też punkty stałe grup izometrycznych w przestrzeni euklidesowej.

Krawędzie promieniujące od jednego wierzchołka k-równoległościanu tworzą k-ramkę ( v 1 , ... , v n ) {displaystyle (v_{1},ldots ,v_{n})} przestrzeni wektorowej, a równoległościan można odzyskać z tych wektorów, biorąc kombinacje liniowe wektorów, z wagami od 0 do 1.

Objętość n-paralotopu osadzonego w R m {{m}} gdzie m ≥ n {{displaystyle m}} można obliczyć za pomocą wyznacznika Grama. Alternatywnie, objętość jest normą iloczynu zewnętrznego wektorów:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . V = ∧ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . }

Jeśli m = n, to jest to wartość bezwzględna wyznacznika n wektorów.

Inny wzór na obliczenie objętości n-równoległoboku P w R n {displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , którego n + 1 wierzchołków to V 0 , V 1 , ... , V n {displaystyle V_{0},V_{1},ldots ,V_{n}}}. , to

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | ,

gdzie [ V i 1 ] {displaystyle [V_{i}}} jest wektorem rzędów utworzonym przez konkatenację V i {displaystyle V_{i}} i 1. Wyznacznik jest niezmienny, jeżeli [ V 0 1 ] {displaystyle [V_{0}}} jest odjęty od [ V i 1 ] {displaystyle V_{i}}}} na ostatniej pozycji zmienia tylko znak. (i > 0), a umieszczenie [ V 0 1 ] {{displaystyle [V_{0}}} na ostatniej pozycji zmienia tylko jego znak.

Podobnie, objętość dowolnego n-prostokąta, który dzieli n zbieżnych krawędzi równoległościanu, ma objętość równą jednej 1/n! objętości tego równoległościanu.

Leksykografia

Słowo to pojawia się jako parallelipipedon w tłumaczeniu Elementów Euklidesa przez Sir Henry'ego Billingsleya, datowanym na 1570 rok. W wydaniu Cursus mathematicus z 1644 roku Pierre Hérigone użył pisowni parallelepipedum. The Oxford English Dictionary cytuje dzisiejszy parallelepipedum jako po raz pierwszy pojawiający się w Chorea gigantum Waltera Charletona (1663).

Charles Hutton's Dictionary (1795) pokazuje parallelopiped i parallelopipedon, pokazując wpływ formy łączącej parallelo-, jak gdyby drugi element był pipedon, a nie epipedon. Noah Webster (1806) uwzględnia pisownię parallelopiped. Wydanie Oxford English Dictionary z 1989 r. wyraźnie opisuje parallelopiped (i parallelipiped) jako formy niepoprawne, ale w wydaniu z 2004 r. są one wymienione bez komentarza i podana jest tylko wymowa z akcentem na piątą sylabę pi (/paɪ/).

Zmiana z dala od tradycyjnej wymowy ukryła inny podział sugerowany przez greckie korzenie, z epi- ("na") i pedon ("ziemia") łączące się, aby dać epiped, płaski "płaszczyzna". Tak więc twarze równoległościanu są płaskie, a przeciwległe twarze są równoległe.