Przejdź do treści
Strona główna

Wyznacznik macierzy — definicja, własności i zastosowania

Wyjaśnienie pojęcia wyznacznika macierzy: definicja, symbole, podstawowe własności, metody obliczania oraz praktyczne zastosowania w algebrze liniowej i geometrii.

Autor: Utworzono: Zaktualizowano:

Definicja i zapis

{\displaystyle A} Wyznacznik jest skalarą przypisaną macierzy kwadratowej, która opisuje niektóre globalne cechy tej macierzy, takie jak odwracalność czy czynnik skalujący objętości. Dla macierzy A oznaczamy go zwykle symbolem det(A) lub pionowo zapisanym macierzem jako |A|. Wyznacznik zależy od elementów macierzy i jest liczbą, którą można obliczyć ze wzoru lub algorytmu.

Definicja i podstawowe przykłady

Najprostszy przypadek to macierz 2×2: dla A = [[a, b],[c, d]] mamy det(A) = ad − bc. Dla macierzy 3×3 istnieje wygodna reguła Sarrusa, a ogólnie wyznacznik można zapisać jako sumę iloczynów elementów z odpowiednimi znakami permutacji. W zapisie wzorowym pojawiają się permutacje indeksów i znak parzystości permutacji.

Własności

Wyznacznik posiada kilka użytecznych własności, które upraszczają pracę z macierzami:

  • Multiplikatywność: det(AB) = det(A)det(B).
  • Zmiana wierszy: zamiana dwóch wierszy zmienia znak wyznacznika.
  • Wiersz dodany: dodanie do jednego wiersza liniowej kombinacji innych wierszy nie zmienia wyznacznika.
  • Jeżeli macierz ma wiersz lub kolumnę zerową, det = 0; det = 0 też jeśli wiersze są liniowo zależne.
  • Iloczyn własnych wartości macierzy kwadratowej równa się jej wyznacznikowi (licząc wielokrotności algebraiczne).

Metody obliczania

{\displaystyle \det(A)} W praktyce obliczanie wyznaczników dużych macierzy wykonuje się przy użyciu rozkładów numerycznych: LU (gdzie wyznacznik jest iloczynem przekątnych macierzy U, z uwzględnieniem ewentualnych permutacji), rozkładów QR lub eliminacji Gaussa z odpowiednim śledzeniem zmian znaku. Metoda Laplace’a (rozwinięcie względem wiersza/kolumny) jest użyteczna teoretycznie, lecz ma złożoność wykładniczą i rzadko stosuje się ją w obliczeniach ręcznych dla dużych wymiarów. Reguła Sarrusa jest wygodna tylko dla 3×3.

Zastosowania i historia

{\displaystyle |A|} Wyznacznik odgrywa rolę w wielu dziedzinach: w rozwiązywaniu układów równań liniowych (reguła Cramera), w analizie odwracalności macierzy, w geometrii (skalowanie objętości przez przekształcenia liniowe) oraz w teorii równań własnych i analizie stabilności układów. Historycznie koncepcja wyznacznika rozwijała się stopniowo: elementy idei pojawiały się w pracach matematycznych od XVII do XIX wieku, a formalne ujęcie zostało sformalizowane przez kolejnych autorów w algebrze liniowej.

Uwagi praktyczne i dalsze informacje

{\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|}W numerycznych obliczeniach warto zwracać uwagę na kondycję macierzy: blisko zerowy wyznacznik może wskazywać na problemy z dokładnością obliczeń. Dla rozszerzonego materiału i przykładów obliczeń polecam dalszą lekturę. {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}} W praktyce znajomość własności wyznacznika ułatwia analizę macierzy i zastosowań w matematyce stosowanej, fizyce i inżynierii.

Tłumaczenie ustne

Istnieje kilka sposobów, aby zrozumieć, co determinant mówi o macierzy.

Interpretacja geometryczna

{\displaystyle n\times n}Matryca n × n {\i1}wyświetlacza n {\i1}może być postrzegana jako opisująca mapę liniową w nwymiarach n {\i1}wyświetlacza n{\i0}. W tym przypadku wyznacznik mówi o czynniku, o który ta macierz skaluje (rośnie lub kurczy) region n {\i0} - przestrzeń wymiarową.n

Na przykład, {\displaystyle 2\times 2}matryca 2 × 2 {\i1}wyświetlacza 2 razy 2 {\i0} {\i1}wyświetlacza A {\displaystyle A}widziany jako mapa liniowa, zmieni kwadrat w przestrzeni dwuwymiarowej w równoległobok. Powierzchnia tego równoległoboku będzie det ( A ) {y:i}det(A) {y:{\displaystyle \det(A)}i}krotnie większa od powierzchni kwadratu.

W ten sam sposób, {\displaystyle 3\times 3}matryca 3 × 3 razy 3{\displaystyle B}, widziana jako mapa liniowa, zmieni sześcian w przestrzeni trójwymiarowej w równoległościan. Objętość tego równoległościanu będzie większa od objętości sześcianu.

Wyznacznik może być negatywny. Mapa liniowa może rozciągać i skalować objętość, ale może również odbijać ją nad osią. Ilekroć to nastąpi, znak determinanta zmienia się z pozytywnego na negatywny lub z negatywnego na pozytywny. Determinant negatywny oznacza, że objętość została odzwierciedlona na nieparzystej liczbie osi.

Interpretacja "układu równań"

Możesz zobaczyć matrycę jako opisującą układ równań liniowych. Układ ten ma unikalne, nietrywialne rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy wyznacznikiem nie jest 0. (Nietrywialne oznacza, że rozwiązanie nie jest tylko wszystkie zerami).

Jeśli wyznacznikiem jest zero, to albo nie ma żadnego unikalnego, nietrywialnego rozwiązania, albo jest ich nieskończenie wiele.

Dla macierzy 2 × 2 (styropian 2 razy 2){\displaystyle 2\times 2}. {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}wyznacznikiem jest obszar paralelogramu. (Obszar jest równy a d - b c {\i1}wyświetlacz ad-bc}{\displaystyle ad-bc} .)

Pojedyncze matryce

Matryca ma odwrotną matrycę dokładnie wtedy, gdy wyznacznikiem nie jest 0. Z tego powodu, matryca z niezerowym wyznacznikiem jest nazywana odwracalną. Jeśli wyznacznikiem jest 0, to matrycę nazywa się nieodwracalną lub pojedynczą.

Geometrycznie można myśleć o pojedynczej matrycy jako o "spłaszczeniu" równoległościanu w równoległobok, lub równoległobok w linię. Wówczas objętość lub obszar wynosi 0 i nie istnieje żadna mapa liniowa, która przywróciłaby stary kształt.

Obliczanie wyznacznika

Istnieje kilka sposobów na obliczenie wyznacznika.

Formuły dla małych matryc

  • Dla {\displaystyle 2\times 2}matryc 1 × 1{\displaystyle 1\times 1} {\i1}oraz 2 × 2 {\i1} {\i1}podstawowych, można zapamiętać formuły:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\i1}a, qquad {\i1}a&b {\i1}a&b {\i1}a&b {\i1}a&b {\i1}a&b {\i1}c&d {\i1}-ad-bc. } {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}

  • Dla {\displaystyle 3\times 3}matryc 3 × 3 {\i1} {\i1}podstawowych 3 razy 3 {\i0} formuła jest:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\i1}det {\i1}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Możesz użyć Reguły Sarrusa (patrz obrazek), aby zapamiętać tę formułę.

Rozszerzenie współczynnika korekcyjnego

W przypadku większych macierzy, wyznacznik jest trudniejszy do obliczenia. Jednym ze sposobów jest rozszerzenie kofaktora.

Powiedzmy, że mamy n × n {\i1}splastyle n × {\displaystyle n\times n} {\i0} {\i1}matrycę A {\i1} {\displaystyle A}. Po pierwsze, wybieramy dowolny wiersz lub kolumnę matrycy. Dla każdej liczby a i j {\displaystyle a_{ij}}w tym wierszu lub kolumnie obliczamy coś, co nazywa się jego kofaktorem C i j C. {\displaystyle C_{ij}}. Wtedy det ( A ) = ∑ a i j C i j {\i1}det(A)=sum a_{ij}C_{ij}} {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}.

Aby obliczyć taki kofaktor C i j {\i1} {\displaystyle C_{ij}}Wymażemy wiersz i i kolumnę j {\displaystyle j}z matrycy A, {\displaystyle i}a kolumnę j ze styropianu A{\displaystyle A}. To daje nam mniejszą ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\i1 ) {\i1}{\displaystyle (n-1)\times (n-1)} matrycę. Nazywamy ją M {\i1} {\i1}stylem M{\i1}{\displaystyle M} . Współczynnik C{\displaystyle C_{ij}} i j jest równy ( - 1 ) i + j det ( M ) ( -1 ) ^(i+j) ^(M)} {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)}.

Oto przykład rozszerzenia kofaktora lewej kolumny {\displaystyle 3\times 3}matrycy 3 × 3 {\i1}:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. ={color {red}1}cdot C_{11}+{color {red}2}cdot C_{21}+{color {red}0}cdot C_{31} {\i1}&=left(color {red}1}cdot (-1){\i1+1}det {\i1}begin{bmatrix}1&1}3&4 end{bmatrix} {y:i}right)+left{color {red}2 {y:i}cdot (-1){2+1}det {y:i}begin{bmatrix}3&2 {y:i}end{bmatrix}right)+left{color {red}0}cdot (-1){3+1}det {y:i}begin{bmatrix}3&{\i1}poprawnie?{\i0} {\i1}&=(color {\i1}cdot 1cdot 1){\i0} +(color {\i1}poprawnie?{\i0} {\i1}cdot 6){\i0} +(color {\i1}&=-11).\{y:i}Zostały ustawione.} {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}}

Jak widać tutaj, możemy zapisać pracę wybierając wiersz lub kolumnę, która ma wiele zer. Jeśli a i j {\i1}wyświetlacz a_{i}}jest{\displaystyle a_{ij}}obliczać C i j {\i1} {\displaystyle C_{ij}}.

{\displaystyle 3\times 3}Wzór determinanta 3 × 3 {\i1}wyświetlacza 3 razy 3{\i0} jest sumą produktów. Produkty te idą wzdłuż przekątnych, które "owijają się" do górnej części matrycy. Ta sztuczka nazywa się Rule of Sarrus.

Powiązane strony

Kontrola władz Edit this at Wikidata
  • BNF: cb11975737s (dane)
  • LCCN: sh85037299
  • NDL: 00562696

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest wyznacznik?

O: Wyznacznik to skalar (liczba), który wskazuje, jak zachowuje się macierz kwadratowa.

P: Jak można obliczyć wyznacznik macierzy?

O: Wyznacznik macierzy można obliczyć z liczb w macierzy.

P: Jak zapisuje się wyznacznik macierzy?

A: Wyznacznik macierzy zapisuje się jako det(A) lub |A| we wzorze.

P: Czy istnieją inne sposoby zapisywania wyznacznika macierzy?

A: Tak, zamiast det([a b c d]) i |[a b c d]|, można po prostu napisać det [a b c d] i |[a b c d]|.

P: Co to znaczy, gdy mówimy "skalar"?

O: Skalar to pojedyncza liczba lub wielkość, która ma wielkość, ale nie jest z nią związany kierunek.

P: Co to są macierze kwadratowe?

O: Macierze kwadratowe to macierze o równej liczbie wierszy i kolumn, takie jak macierze 2x2 lub 3x3.

Powiązane artykuły

Autor

AlegsaOnline.com Wyznacznik macierzy — definicja, własności i zastosowania

URL: https://pl.alegsaonline.com/art/26906

Udostępnij