Wyznacznik

Wyznacznikiem kwadratowej macierzy jest skalar (liczba), który mówi Ci coś o tym, jak zachowuje się ta macierz. Możesz obliczyć wyznacznik na podstawie liczb w macierzy.

"Determinant macierzy A" {\i1} $A$ "jest napisane jako det ( A ) {\i1} {\i1}det(A)}lub $\det(A)$ A {\i1} $|A|$ {\i1}w formule. $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ ...piszemy po prostu det... a b c d... i b c d... a $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ b c d... i b c d...

Tłumaczenie ustne

Istnieje kilka sposobów, aby zrozumieć, co determinant mówi o macierzy.

Interpretacja geometryczna

$n\times n$ Matryca n × n {\i1}wyświetlacza n {\i1}może być postrzegana jako opisująca mapę liniową w wymiarach n {\i1}wyświetlacza n{\i0}. W tym przypadku wyznacznik mówi o czynniku, o który ta macierz skaluje (rośnie lub kurczy) region n {\i0} - przestrzeń wymiarową.

Na przykład, $2\times 2$ matryca 2 × 2 {\i1}wyświetlacza 2 razy 2 {\i0} {\i1}wyświetlacza A $A$ widziany jako mapa liniowa, zmieni kwadrat w przestrzeni dwuwymiarowej w równoległobok. Powierzchnia tego równoległoboku będzie det ( A ) {y:i}det(A) {y: $\det(A)$ i}krotnie większa od powierzchni kwadratu.

W ten sam sposób, $3\times 3$ matryca 3 × 3 razy 3 $B$ , widziana jako mapa liniowa, zmieni sześcian w przestrzeni trójwymiarowej w równoległościan. Objętość tego równoległościanu będzie większa od objętości sześcianu.

Wyznacznik może być negatywny. Mapa liniowa może rozciągać i skalować objętość, ale może również odbijać ją nad osią. Ilekroć to nastąpi, znak determinanta zmienia się z pozytywnego na negatywny lub z negatywnego na pozytywny. Determinant negatywny oznacza, że objętość została odzwierciedlona na nieparzystej liczbie osi.

Interpretacja "układu równań"

Możesz zobaczyć matrycę jako opisującą układ równań liniowych. Układ ten ma unikalne, nietrywialne rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy wyznacznikiem nie jest 0. (Nietrywialne oznacza, że rozwiązanie nie jest tylko wszystkie zerami).

Jeśli wyznacznikiem jest zero, to albo nie ma żadnego unikalnego, nietrywialnego rozwiązania, albo jest ich nieskończenie wiele.

Dla macierzy 2 × 2 (styropian 2 razy 2) $2\times 2$ . ${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ wyznacznikiem jest obszar paralelogramu. (Obszar jest równy a d - b c {\i1}wyświetlacz ad-bc} $ad-bc$ .)

Pojedyncze matryce

Matryca ma odwrotną matrycę dokładnie wtedy, gdy wyznacznikiem nie jest 0. Z tego powodu, matryca z niezerowym wyznacznikiem jest nazywana odwracalną. Jeśli wyznacznikiem jest 0, to matrycę nazywa się nieodwracalną lub pojedynczą.

Geometrycznie można myśleć o pojedynczej matrycy jako o "spłaszczeniu" równoległościanu w równoległobok, lub równoległobok w linię. Wówczas objętość lub obszar wynosi 0 i nie istnieje żadna mapa liniowa, która przywróciłaby stary kształt.

Obliczanie wyznacznika

Istnieje kilka sposobów na obliczenie wyznacznika.

Formuły dla małych matryc

Dla $2\times 2$ matryc 1 × 1 $1\times 1$ {\i1}oraz 2 × 2 {\i1} {\i1}podstawowych, można zapamiętać formuły:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\i1}a, qquad {\i1}a&b {\i1}a&b {\i1}a&b {\i1}a&b {\i1}a&b {\i1}c&d {\i1}-ad-bc. } $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

Dla $3\times 3$ matryc 3 × 3 {\i1} {\i1}podstawowych 3 razy 3 {\i0} formuła jest:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\i1}det {\i1}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

Możesz użyć Reguły Sarrusa (patrz obrazek), aby zapamiętać tę formułę.

Rozszerzenie współczynnika korekcyjnego

W przypadku większych macierzy, wyznacznik jest trudniejszy do obliczenia. Jednym ze sposobów jest rozszerzenie kofaktora.

Powiedzmy, że mamy n × n {\i1}splastyle n × $n\times n$ {\i0} {\i1}matrycę A {\i1} $A$ . Po pierwsze, wybieramy dowolny wiersz lub kolumnę matrycy. Dla każdej liczby a i j $a_{ij}$ w tym wierszu lub kolumnie obliczamy coś, co nazywa się jego kofaktorem C i j C. $C_{ij}$ . Wtedy det ( A ) = ∑ a i j C i j {\i1}det(A)=sum a_{ij}C_{ij}} $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

Aby obliczyć taki kofaktor C i j {\i1} $C_{ij}$ Wymażemy wiersz i i kolumnę j $j$ z matrycy A, $i$ a kolumnę j ze styropianu A $A$ . To daje nam mniejszą ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\i1 ) {\i1} $(n-1)\times (n-1)$ matrycę. Nazywamy ją M {\i1} {\i1}stylem M{\i1} $M$ . Współczynnik C $C_{ij}$ i j jest równy ( - 1 ) i + j det ( M ) ( -1 ) ^(i+j) ^(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ .

Oto przykład rozszerzenia kofaktora lewej kolumny $3\times 3$ matrycy 3 × 3 {\i1}:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. ={color {red}1}cdot C_{11}+{color {red}2}cdot C_{21}+{color {red}0}cdot C_{31} {\i1}&=left(color {red}1}cdot (-1){\i1+1}det {\i1}begin{bmatrix}1&1}3&4 end{bmatrix} {y:i}right)+left{color {red}2 {y:i}cdot (-1){2+1}det {y:i}begin{bmatrix}3&2 {y:i}end{bmatrix}right)+left{color {red}0}cdot (-1){3+1}det {y:i}begin{bmatrix}3&{\i1}poprawnie?{\i0} {\i1}&=(color {\i1}cdot 1cdot 1){\i0} +(color {\i1}poprawnie?{\i0} {\i1}cdot 6){\i0} +(color {\i1}&=-11).\{y:i}Zostały ustawione.} ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

Jak widać tutaj, możemy zapisać pracę wybierając wiersz lub kolumnę, która ma wiele zer. Jeśli a i j {\i1}wyświetlacz a_{i}}jest $a_{ij}$ obliczać C i j {\i1} $C_{ij}$ .

$3\times 3$ Wzór determinanta 3 × 3 {\i1}wyświetlacza 3 razy 3{\i0} jest sumą produktów. Produkty te idą wzdłuż przekątnych, które "owijają się" do górnej części matrycy. Ta sztuczka nazywa się Rule of Sarrus.

Powiązane strony

Kontrola władz

BNF: cb11975737s (dane)
LCCN: sh85037299
NDL: 00562696

Pytania i odpowiedzi

P: Co to jest wyznacznik?

O: Wyznacznik to skalar (liczba), który wskazuje, jak zachowuje się macierz kwadratowa.

P: Jak można obliczyć wyznacznik macierzy?

O: Wyznacznik macierzy można obliczyć z liczb w macierzy.

P: Jak zapisuje się wyznacznik macierzy?

A: Wyznacznik macierzy zapisuje się jako det(A) lub |A| we wzorze.

P: Czy istnieją inne sposoby zapisywania wyznacznika macierzy?

A: Tak, zamiast det([a b c d]) i |[a b c d]|, można po prostu napisać det [a b c d] i |[a b c d]|.

P: Co to znaczy, gdy mówimy "skalar"?

O: Skalar to pojedyncza liczba lub wielkość, która ma wielkość, ale nie jest z nią związany kierunek.

P: Co to są macierze kwadratowe?

O: Macierze kwadratowe to macierze o równej liczbie wierszy i kolumn, takie jak macierze 2x2 lub 3x3.